Ортогональна матриця

Ортогональна матриця — невироджена квадратна матриця ${\displaystyle \ A}$ (зазвичай із дійсними елементами) така, що

${\displaystyle \ AA^{T}=A^{T}A=I}$,

де

${\displaystyle \ A^{T}}$ — транспонована матриця до матриці ${\displaystyle \ A}$,

${\displaystyle \ I}$ — одинична матриця,

Еквівалентне твердження:, її обернена матриця дорівнює транспонованій матриці:

${\displaystyle \!A^{-1}=A^{T}.}$

Ортогональна матриця є частковим випадком унітарної матриці.

Властивості

• Визначник ортогональної матриці дорівнює ${\displaystyle \ \pm 1}$.
• Скалярний добуток рядка матриці (чи стовпця) на інший рядок (чи стовпець) дорівнює нулю, а скалярний добуток на самого себе дорівнює одиниці (стовпці й рядки ортогональної матриці утворюють ортонормовані системи).

тобто, для ортогональної матриці ${\displaystyle \ A=(a_{ij})}$ справедливі формули:

${\displaystyle \ \sum _{i}a_{ij}a_{ik}=\delta _{jk},\qquad \sum _{i}a_{ji}a_{ki}=\delta _{jk},}$

де ${\displaystyle \ \delta _{jk}}$ — символ Кронекера.

• Ортогональні матриці відповідають лінійним операторам, що переводять ортонормований базис векторного простору в ортонормований.
• Довільна дійсна ортогональна матриця подібна блочно-діагональній матриці з блоками виду

${\displaystyle \ (\pm 1),\qquad {\begin{pmatrix}\cos \varphi &\sin \varphi \\-\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}.}$

• Ортогональні матриці порядку ${\displaystyle n}$ над полем ${\displaystyle k}$ утворюють групу за множенням. Це ортогональна група, що позначається ${\displaystyle \ O_{n}(k)}$ (якщо ${\displaystyle \ k}$ опущено — вважається ${\displaystyle k=\mathbb {R} }$).

Розклад матриці

• Ортогональна матриця з визначником +1 є матрицею повороту.
• Ортогональну матрицю з визначником -1 можна подати у вигляді добутку двох матриць: матриці повороту на матрицю симетрії відносно (гіпер)площини (перетворення Хаусхолдера).

Див. також

• Теорія матриць
• Унітарна матриця
• Перетворення Келі

Джерела

• Гантмахер Ф. Р., Крейн М. Г. Осциляційні матриці та ядра та малі коливання механічних систем. — 2025. — 400 с.(укр.)
• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2025. — 757 с.(укр.)