Метакомпактний простір

У математиці, зокрема загальній топології, топологічний простір називається метакомпактним, якщо для кожного його відкритого покриття існує точково скінченне подрібнення. Тобто, для будь-якого відкритого покриття топологічного простору, існує подрібнення, яке знову є відкритим покриттям із властивістю, що кожна точка є елементом лише у скінченній кількості множин подрібнення.

Топологічний простір називається зліченно метакомпактним, якщо для кожного зліченного відкритого покриття існує точково скінченне подрібнення.

Формальне означення

Нехай ${\displaystyle {\mathcal {U}}=(U_{i})_{i\in I}}$ є відкритим покриттям топологічного простору ${\displaystyle X}$, тобто сім'єю відкритих підмножин для яких ${\displaystyle \textstyle X=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$ і ${\displaystyle {\mathcal {V}}=(V_{j})_{j\in J}}$ є сім'єю відкритих підмножин, що задовольняє умови:

• ${\displaystyle X=\bigcup _{j\in J}V_{j}}$,   тобто ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ теж є відкритим покриттям простору ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \forall j\in J:\exists i\in I:V_{j}\subset U_{i}}$, тобто ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ є подрібненням покриття ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$
• ${\displaystyle \forall x\in X:|\{j\in J;x\in V_{j}\}|<\infty }$,   тобто покриття ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ є точково скінченним.

Приклади

• Кожен паракомпактний простір є метакомпактним. Це означає, наприклад, що всі компактні простори і метричні простори є метакомпактними.
• Прикладом метакомпактного простору, що не є паракомпактним є дошка Дьєдоне.^[1][2] Дошка Дьєдоне є також прикладом того, що метакомпактний простір може не бути нормальним.
• Простим прикладом простору, що не є метакомпактним але є зліченно метакомпактним) є площина Немицького.
• Стрілка Зоргенфрея є паракомпактним, а тому і метакомпактним простором, проте добуток двох стрілок (площина Зоргенфрея) не є метакомпактним простором.
• Зліченно компактний простір Лінделефа є метакомпактним і кожен сепарабельний метакомпактний простір є простором Лінделефа.

Властивості

• Замкнутий підпростір метакомпактного простору теж є метакомпактним.
• Кожен метакомпактний простір є ортокомпактним.
• Нормальний метакомпактний простір є зліченно паракомпактним^[3] але може не бути паракомпактним.
• Кожен метакомпактний нормальний простір задовольняє властивість стиснення: для довільного відкритого покриття ${\displaystyle {\mathcal {U}}=(U_{i})_{i\in I}}$ існує таке покриття ${\displaystyle {\mathcal {V}}=(V_{i})_{i\in I}}$ індексоване тією ж множиною, що ${\displaystyle V_{i}\subset U_{i}}$ і для всіх замикань також ${\displaystyle {\bar {V}}_{i}\subset U_{i}.}$ Якщо покриття ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ є точково скінченним, то таким є і ${\displaystyle {\mathcal {V}}.}$
• Добуток компактного простору і метакомпактного простору є метакомпактним.
• Для того, щоб цілком регулярний простір X був компактним, необхідно і достатньо, щоб X був метакомпактним і псевдокомпактним.

Розмірність Лебега

Топологічний простір X має розмірність Лебега n, якщо для кожного відкритого покриття X існує подрібнення, таке що жодна точка простору X належить не більш ніж n + 1 множині із подрібнення і якщо n є мінімальним значенням, для якого це справджуєть. Якщо такого мінімального n не існує то простір має нескінченну розмірнісь Лебега. Усі простори скінченної міри Лебега є очевидно метакомпактними.