Ознаки збіжності

Ознаки збіжності рядів — ознаки, що доводять або спростовують збіжність числового ряду. Нехай дано ряд

${\displaystyle U_{1}+U_{2}+U_{3}+U_{4}+U_{5}+\dots +U_{n}+\cdots .\qquad (1)}$

Частковими сумами цього ряду будуть:

${\displaystyle S_{1}=U_{1},\qquad S_{2}=U_{1}+U_{2},\qquad S_{3}=U_{1}+U_{2}+U_{3},\qquad \dots ,\qquad S_{n}=U_{1}+U_{2}+\dots +U_{n}.}$

Ряд (1) є збіжним, якщо існує скінченна границя послідовності його часткових сум, тобто

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}=S.}$

Число ${\displaystyle S}$ є сумою ряду, отже:

${\displaystyle U_{1}+U_{2}+U_{3}+U_{4}+U_{5}+\dots +U_{n}+\dots =\sum _{n=1}^{\infty }U_{n}=S.}$

Коли ж границя часткових сум не існує або дорівнює нескінченності, то ряд є розбіжним.

Класифікація ознак збіжності

Ознаки збіжності рядів поділяються на необхідні й достатні.

Необхідна умова збіжності означає:

• якщо вона виконується, то ряд може бути або збіжним або розбіжним,
• якщо вона не виконується, то ряд є розбіжним.

Можна сказати, що необхідна умова збіжності ряду є достатньою умовою його розбіжності.

Достатня умова збіжності означає:

• якщо вона виконується, то ряд є збіжним,
• якщо вона не виконується, то ряд може бути або збіжним або розбіжним.

У залежності від того, збіжність яких рядів доводиться, ознаки поділяються на ознаки збіжності для знакододатних рядів, знакопереміжних рядів, функціональних рядів, рядів Фур'є.

Список ознак

Необхідна умова збіжності

Докладніше: Границя доданків ряду

Якщо границя послідовності утвореної членами ряду є невизначеною або відмінною від нуля, так що ${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }a_{n}\neq 0}$, то ряд є розбіжним. У цьому сенсі, часткові суми ряду утворюють фундаментальну послідовність лише тоді , коли ця границя існує та рівна нулю. Ця ознака не є достатньою: про збіжність або розбіжність ряду не можна стверджувати на основі цієї ознаки, якщо граничне значення члену ряду рівне нулю.

Критерій збіжності

Докладніше: Критерій збіжності додатного ряду

Додатній ряд ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$ збігається тоді й лише тоді, коли послідовність його часткових сум ${\displaystyle S(n)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}}$ обмежена зверху.

Ознаки порівняння

Докладніше: Пряма ознака порівняння

Якщо ряд ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ є абсолютно збіжним та ${\displaystyle |a_{n}|\leq |b_{n}|}$ для достатньо великих ${\displaystyle n}$, то ряд ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ є абсолютно збіжним.

Докладніше: Гранична ознака порівняння

Якщо ${\displaystyle \{a_{n}\},\{b_{n}\}>0}$ (тобто всі елементи обох послідовностей додатні) та границя ${\displaystyle \lim \limits _{t\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$ існує, є скінченною та відмінною від нуля, тоді ряд ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ є розбіжним тоді й лише тоді, коли ряд ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ є розбіжним.

Ознака д'Аламбера

Докладніше: Ознака д'Аламбера

Припустимо, що існує таке ${\displaystyle r}$, що ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=r.}$

Якщо ${\displaystyle r<1}$, то ряд є абсолютно збіжним. Якщо ${\displaystyle r>1}$, то ряд є розбіжним. Якщо ${\displaystyle r=1}$, то ряд може бути як збіжним, так і розбіжним.

Радикальна ознака Коші

Докладніше: Радикальна ознака Коші

Нехай ${\displaystyle r=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},}$ де ${\displaystyle \limsup }$ позначає верхню границю послідовності (можливо ${\displaystyle \infty }$; якщо границя існує, то вона має таке ж значення).

Якщо ${\displaystyle r<1}$, то ряд є збіжним. Якщо ${\displaystyle r>1}$, то ряд є розбіжним. Якщо ${\displaystyle r=1}$, то ряд може бути як збіжним, так і розбіжним. Радикальна ознака є більш сильною ніж ознака д'Аламбера: якщо збіжність (розбіжність) доведена на основі ознаки д'Аламбера то вона завжди може бути доведена і на основі радикальної ознаки Коші , але не навпаки.^[1] Наприклад, ряд ${\displaystyle 1+1+0{,}5+0{,}5+0{,}25+0{,}25+0{,}125+0{,}125+\cdots =4}$ є збіжним за радикальною ознакою, але за ознакою д'Аламбера про збіжність (розбіжність) цього ряду стверджувати не можна.

Інтегральна ознака Маклорена — Коші

Докладніше: Інтегральна ознака Маклорена — Коші

Ряд можна порівнювати із інтегралом, для того, щоб визначити збіжність або розбіжність. Нехай ${\displaystyle f\colon [1,\infty )\rightarrow \mathbb {R} _{+}}$ невід'ємна та монотонно-спадна функція, така що ${\displaystyle f(n)=a_{n}}$. Якщо ${\displaystyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,{\rm {d}}x=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\,{\rm {d}}x<\infty ,}$ то ряд є збіжним. Але якщо інтеграл є розбіжним, то ряд також є розбіжним. Іншими словами, ряд ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ є збіжним тоді і лише тоді, коли відповідний невласний інтеграл є збіжним.

Ознака збіжності узагальнених гармонічних рядів

Докладніше: Гармонічний ряд

Загальновживаним наслідком інтегральної ознаки є ознака збіжності для узагальненого гармонічного ряду. Нехай ${\displaystyle k>0}$. Тоді ${\displaystyle \sum _{n=k}^{\infty }\left({\frac {1}{n^{p}}}\right)}$ збігається, якщо ${\displaystyle p>1}$. При ${\displaystyle p=1}$, ${\displaystyle k=1}$ отримуємо гармонічний ряд, який є розбіжним. При ${\displaystyle p=2}$, ${\displaystyle k=1}$ отримуємо ряд обернених квадратів (задача Базеля) і цей ряд є збіжним до ${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}}$. У загальному випадку, для ${\displaystyle p>1}$, ${\displaystyle k=1}$ ряд співпадає з дзета-функцією Рімана від ${\displaystyle p}$, тобто ${\displaystyle \zeta (p)}$.

Ознака стиснення Коші

Докладніше: Ознака стиснення Коші

Нехай ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ є незростаючою послідовністю. Тоді сума ${\displaystyle A=\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ збігається тоді і лише тоді, коли сума ${\displaystyle A^{*}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }2^{n}a_{2^{n}}}$ збігається. Більше того, якщо вони збігаються, то справедлива нерівність ${\displaystyle A\leq A^{*}\leq 2A}$.

Ознака Абеля

Докладніше: Ознака Абеля

Нехай справедливі наступні твердження:

• ${\displaystyle \sum a_{n}}$ – збіжний ряд,
• ${\displaystyle \{b_{n}\}}$ є монотонною послідовністю та
• ${\displaystyle \{b_{n}\}}$ є обмеженою.

Тоді ряд ${\displaystyle \sum a_{n}b_{n}}$ також є збіжним.

Ознака абсолютної збіжності

Будь-який абсолютно збіжний ряд є збіжним.

Ознака Лейбніца

Докладніше: Теорема Лейбніца про збіжність знакозмінних рядів

Припустимо, що справедливі наступні твердження:

• ${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }a_{n}=0}$ та
• для будь-якого ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle a_{n+1}\leq a_{n}}$.

Тоді ряди ${\displaystyle \sum \limits _{n=k}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}}$ та ${\displaystyle \sum \limits _{n=k}^{\infty }(-1)^{n+1}a_{n}}$ є збіжними.

Ознака Діріхле

Докладніше: Ознака Діріхле

Якщо ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ послідовність дійсних чисел та ${\displaystyle \{b_{n}\}}$ послідовність комплексних чисел, які задовольняють такі умови:

• ${\displaystyle a_{n}\geq a_{n+1}}$,
• ${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }a_{n}=0}$,
• ${\displaystyle {\bigg |}\sum \limits _{n=1}^{N}b_{n}{\bigg |}\leq M}$, для всякого натурального ${\displaystyle N}$,

де ${\displaystyle M}$ – деяка стала, тоді ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}$ є збіжним.

Ознака Раабе–Дюамеля

Докладніше: Ознака Раабе–Дюамеля

Нехай ${\displaystyle a_{n}>0}$. Визначимо ${\displaystyle b_{n}}$ як ${\displaystyle b_{n}=n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}-1}}\right),}$ якщо ${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }b_{n}}$ існує, то можливі такі варіанти:

• ${\displaystyle L>1}$ — ряд є збіжним,
• ${\displaystyle L<1}$ — ряд є розбіжним,
• ${\displaystyle L=1}$ — за ознакою не можна стверджувати про збіжність (розбіжність) ряду.

Існує альтернативне формулювання цієї ознаки. Нехай ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ - послідовність дійсних чисел. Тоді, якщо існують такі ${\displaystyle b>1}$ та ${\displaystyle K}$ (натуральне число), що

${\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leq 1-{\frac {b}{n}}}$, для всіх ${\displaystyle n>K,}$

то ряд ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ є збіжним.

Ознака Бертрана

Докладніше: Ознака Бертрана

Нехай ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ послідовність додатних чисел. Визначимо ${\displaystyle b_{n}}$ як

${\displaystyle b_{n}=\ln {n}\left(n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-1\right).}$

Якщо

${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }b_{n}}$

існує, то можливі такі випадки:^[2][3]

• ${\displaystyle L>1}$ — ряд є збіжним,
• ${\displaystyle L<1}$ — ряд є розбіжним,
• ${\displaystyle L=1}$ — за ознакою не можна стверджувати про збіжність (розбіжність) ряду.

Ознака Гаусса

Докладніше: Ознака Гаусса

Нехай ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ послідовність додатних чисел. Якщо ${\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=1+{\frac {\alpha }{n}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{n^{\beta }}}\right),}$ для певного ${\displaystyle \beta >1}$, то ряд ${\displaystyle \sum a_{n}}$ є збіжним, якщо ${\displaystyle \alpha >1}$, і є розбіжним, якщо ${\displaystyle \alpha \leq 1}$.^[4]

Ознака Куммера

Нехай { a_n } - послідовність додатніх чисел. Тоді:^[5][6][7]

(1) ${\displaystyle \sum a_{n}}$ є збіжним тоді і тільки тоді коли існує послідовність ${\displaystyle b_{n}}$ додатніх чисел і дійсне число c > 0 таке що ${\displaystyle b_{k}(a_{k}/a_{k+1})-b_{k+1}\geq c}$.

(2) ${\displaystyle \sum a_{n}}$ є розбіжним тоді і тільки тоді коли існує послідовність ${\displaystyle b_{n}}$ додатніх чисел таких що ${\displaystyle b_{k}(a_{k}/a_{k+1})-b_{k+1}\leq 0}$

і ${\displaystyle \sum 1/b_{n}}$ розбігається.

Примітки

• Для деяких особливих типів рядів є більш спеціалізовані ознаки. Наприклад, для рядів Фур'є існує ознака Діні.

Приклади

Розглянемо ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\alpha }}}.}$

(i)

З ознаки стиснення Коші випливає, що (i) є скінченно збіжним, якщо

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\left({\frac {1}{2^{n}}}\right)^{\alpha }}$

(ii)

є скінченно збіжним. Оскільки

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\left({\frac {1}{2^{n}}}\right)^{\alpha }=\sum _{n=1}^{\infty }2^{n-na}=\sum _{n=1}^{\infty }2^{(1-a)n},}$

то (ii) є геометричним рядом зі знаменником ${\displaystyle 2^{(1-\alpha )}}$. (ii) є скінченно збіжним, коли знаменник геометричного ряду менший від одиниці (а саме, коли ${\displaystyle \alpha >1}$). Отже, (i) є скінченно збіжним тоді і лише тоді, коли ${\displaystyle \alpha >1}$.

Збіжність добутків

Хоча більшість ознак визначають збіжність (розбіжність) нескінченних рядів, вони також можуть бути застосовані для визначення збіжності чи розбіжності нескінченних добутків. Цього можна досягти шляхом застосування наступної теореми: нехай ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ послідовність додатних чисел. Тоді нескінченний добуток

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n})}$ є збіжним тоді і лише тоді, коли ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\quad {\text{є збіжним.}}}$ Аналогічно, якщо виконується умова ${\displaystyle 0<a_{n}<1}$, то ${\displaystyle \prod \limits _{n=1}^{\infty }(1-a_{n})}$ прямує до відмінної від нуля границі тоді і лише тоді, коли ряд ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ є збіжним. Це може бути доведено за допомогою логарифмування добутку та застосування ознаки граничного порівняння.^[8]

Див. також

• Числовий ряд
• Абсолютна збіжність
• Правило Лопіталя
• Правило зсуву^[en]