Розподіл Фреше

Розподіл Фреше, також відомий як обернений розподіл Вейбулла^{[2] [3]}, є окремим випадком узагальненого розподілу екстремального значення. Він має кумулятивну функцію розподілу

${\displaystyle \Pr(X\leq x)=e^{-x^{-\alpha }}{\text{ if }}x>0.}$

Розподіл Фреше
Функція розподілу ймовірностей
Параметри	${\displaystyle \alpha \in (0,\infty )}$ форми. (Необов'язкові, ще два параметри) ${\displaystyle s\in (0,\infty )}$ масштаб (типове: ${\displaystyle s=1\,}$) ${\displaystyle m\in (-\infty ,\infty )}$ зсув мінімуму (типове: ${\displaystyle m=0\,}$)
Носій функції	${\displaystyle x>m}$
Розподіл імовірностей	${\displaystyle {\frac {\alpha }{s}}\;\left({\frac {x-m}{s}}\right)^{-1-\alpha }\;e^{-({\frac {x-m}{s}})^{-\alpha }}}$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	${\displaystyle e^{-({\frac {x-m}{s}})^{-\alpha }}}$
Середнє	${\displaystyle {\begin{cases}\ m+s\Gamma \left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)&{\text{for }}\alpha >1\\\ \infty &{\text{otherwise}}\end{cases}}}$
Медіана	${\displaystyle m+{\frac {s}{\sqrt[{\alpha }]{\log _{e}(2)}}}}$
Мода	${\displaystyle m+s\left({\frac {\alpha }{1+\alpha }}\right)^{1/\alpha }}$
Дисперсія	${\displaystyle {\begin{cases}\ s^{2}\left(\Gamma \left(1-{\frac {2}{\alpha }}\right)-\left(\Gamma \left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)\right)^{2}\right)&{\text{for }}\alpha >2\\\ \infty &{\text{otherwise}}\end{cases}}}$
Коефіцієнт асиметрії	${\displaystyle {\begin{cases}\ {\frac {\Gamma \left(1-{\frac {3}{\alpha }}\right)-3\Gamma \left(1-{\frac {2}{\alpha }}\right)\Gamma \left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)+2\Gamma ^{3}\left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)}{\sqrt {\left(\Gamma \left(1-{\frac {2}{\alpha }}\right)-\Gamma ^{2}\left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)\right)^{3}}}}&{\text{for }}\alpha >3\\\ \infty &{\text{otherwise}}\end{cases}}}$
Коефіцієнт ексцесу	${\displaystyle {\begin{cases}\ -6+{\frac {\Gamma \left(1-{\frac {4}{\alpha }}\right)-4\Gamma \left(1-{\frac {3}{\alpha }}\right)\Gamma \left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)+3\Gamma ^{2}\left(1-{\frac {2}{\alpha }}\right)}{\left[\Gamma \left(1-{\frac {2}{\alpha }}\right)-\Gamma ^{2}\left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)\right]^{2}}}&{\text{for }}\alpha >4\\\ \infty &{\text{otherwise}}\end{cases}}}$
Ентропія	${\displaystyle 1+{\frac {\gamma }{\alpha }}+\gamma +\ln \left({\frac {s}{\alpha }}\right)}$, де ${\displaystyle \gamma }$ — стала Ейлера—Маскероні.
Твірна функція моментів (mgf)	Примітка: ${\displaystyle k}$ момент існує за умови${\displaystyle \alpha >k}$[1]
Характеристична функція	[1]

де α > 0 є параметром форми. Його можна узагальнити надаючи йому параметру розташування m (мінімум) і параметра масштабу s > 0 з кумулятивною функцією розподілу

${\displaystyle \Pr(X\leq x)=e^{-\left({\frac {x-m}{s}}\right)^{-\alpha }}{\text{ if }}x>m.}$

Названий на честь Моріса Фреше , який написав статтю про цей розподіл у 1927 році, подальша робота була зроблена Фішером і Типпетом в 1928 і Гумбелем в 1958 році.

Характеристики

Єдиний параметр Фреше ${\displaystyle \alpha }$ має стандартизований момент

${\displaystyle \mu _{k}=\int _{0}^{\infty }x^{k}f(x)dx=\int _{0}^{\infty }t^{-{\frac {k}{\alpha }}}e^{-t}\,dt,}$

(з ${\displaystyle t=x^{-\alpha }}$) визначений тільки при ${\displaystyle k<\alpha }$:

${\displaystyle \mu _{k}=\Gamma \left(1-{\frac {k}{\alpha }}\right)}$

де ${\displaystyle \Gamma \left(z\right)}$ це Гамма-функція.

Зокрема:

• Для ${\displaystyle \alpha >1}$ математичне сподівання дорівнює ${\displaystyle E[X]=\Gamma (1-{\tfrac {1}{\alpha }})}$
• Для ${\displaystyle \alpha >2}$ в дисперсія становить ${\displaystyle {\text{Var}}(X)=\Gamma (1-{\tfrac {2}{\alpha }})-{\big (}\Gamma (1-{\tfrac {1}{\alpha }}){\big )}^{2}.}$

Квантиль ${\displaystyle q_{y}}$ порядку ${\displaystyle y}$ можна виразити оберненням функції розподілу,

${\displaystyle q_{y}=F^{-1}(y)=\left(-\log _{e}y\right)^{-{\frac {1}{\alpha }}}}$.

Зокрема, медіана - це:

${\displaystyle q_{1/2}=(\log _{e}2)^{-{\frac {1}{\alpha }}}.}$

Мода розподілу ${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\alpha +1}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}.}$

Особливо для 3-параметричного розподілу Фреше, перший квартиль дорівнює ${\displaystyle q_{1}=m+{\frac {s}{\sqrt[{\alpha }]{\log(4)}}}}$, а третій квартиль ${\displaystyle q_{3}=m+{\frac {s}{\sqrt[{\alpha }]{\log({\frac {4}{3}})}}}.}$

Також квантили для середнього та режиму:

${\displaystyle F(mean)=\exp \left(-\Gamma ^{-\alpha }\left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)\right)}$

${\displaystyle F(mode)=\exp \left(-{\frac {\alpha +1}{\alpha }}\right).}$

Застосування

Моделювання кумулятивною функцією розподілу Фреше екстремальних одно-денних дощів

• В гідрології, розподіл Фреше застосовується для моделювання екстремальних явищ, таких як річна максимальна одноденна кількість опадів і річкового стоку^[4]. Блакитний малюнок, зроблений на ПЗ CumFreq ілюструє моделювання розподілом Фреше річного денного максимуму опадів в Омані, на малюнку також показано 90% довірчий інтервал побудований на основі біноміального розподілу. Кумулятивні частоти спостережень кількости опадів представлені ґрафіком позицій в рамках сукупного частотного аналізу.

Однак, здебільшого в гідрології підгонку розподілу здійснюють через узагальнений розподіл екстремальних значень, що дозволяє уникнути припущення про відсутність нижньої межі розподілу (як того вимагає розподіл Фреше). ^{[джерело?]}

• Один тест для оцінки асимптотичної залежности чи незалежности багатовимірного розподілу полягає у перетворенні даних в стандартні відособлення Фреше за допомогою перетворення ${\displaystyle Z_{i}=-1/\log F_{i}(X_{i})}$ а потім відображення з картезіанських до псевдо-полярних координат ${\displaystyle (R,W)=(Z_{1}+Z_{2},Z_{1}/(Z_{1}+Z_{2}))}$. Значення ${\displaystyle R\gg 1}$ відповідають граничним даним, для яких принаймні один компонент екстремальний, тоді як ${\displaystyle W}$ близькі до 1 або 0 означає, що тільки один компонент екстремальний.

Пов'язані розподіли

• Якщо ${\displaystyle X\sim U(0,1)\,}$ (Рівномірний розподіл (безперервне)) тоді ${\displaystyle m+s(-\log(X))^{-1/\alpha }\sim {\textrm {Frechet}}(\alpha ,s,m)\,}$
• Якщо ${\displaystyle X\sim {\textrm {Frechet}}(\alpha ,s,m)\,}$ тоді ${\displaystyle kX+b\sim {\textrm {Frechet}}(\alpha ,ks,km+b)\,}$
• Якщо ${\displaystyle X_{i}\sim {\textrm {Frechet}}(\alpha ,s,m)\,}$ і ${\displaystyle Y=\max\{\,X_{1},\ldots ,X_{n}\,\}\,}$ тоді ${\displaystyle Y\sim {\textrm {Frechet}}(\alpha ,n^{\tfrac {1}{\alpha }}s,m)\,}$
• Функція розподілу розподілу Фреше є розв'язком рівняння максимального постулату стабільности
• Якщо ${\displaystyle X\sim {\textrm {Frechet}}(\alpha ,s,m=0)\,}$ тоді обернена випадкова величина має розподіл Вейбулла: ${\displaystyle X^{-1}\sim {\textrm {Weibull}}(k=\alpha ,\lambda =s^{-1})\,}$

Властивості

• Розподіл Фреше є максимальним стабільним розподілом
• Фреше розподілена випадкова величина зі знаком мінус є мінімальним стабільним розподілом

Див. також

• Type-2 Gumbel distribution
• Fisher–Tippett–Gnedenko theorem
• CumFreq (application software for probability distributions including Fréchet)