Система диференціальних рівнянь

Система диференціальних рівнянь — це скінченна множина диференціальних рівнянь. Така система може бути лінійною або нелінійною. Також система може складатися або з звичайних диференціальних рівнянь, або з рівнянь у частинних похідних.

Лінійні системи диференціальних рівнянь

Докладніше: Лінійне диференціальне рівняння

Див. також: Матричне диференціальне рівняння

Система звичайних диференціальних рівнянь першого порядку — це система, у якій кожне рівняння є рівнянням першого порядку і залежить від невідомих функцій лінійно. Розглянемо системи, де кількість рівнянь дорівнює кількості невідомих функцій. Її можна записати у вигляді:

${\displaystyle {\frac {dx_{j}}{dt}}=a_{j1}(t)x_{1}+\ldots +a_{jn}(t)x_{n}+g_{j}(t),\qquad j=1,\ldots ,n}$

де ${\displaystyle n}$ — додатне ціле число, а ${\displaystyle a_{ji}(t),g_{j}(t)}$ — довільні функції незалежної змінної (t).

У матричній формі система записується так:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\ldots &\vdots \\a_{n1}&&a_{nn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}g_{1}\\g_{2}\\\vdots \\g_{n}\end{bmatrix}},}$

або, просто

${\displaystyle \mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {g} (t)}$.

Однорідні системи диференціальних рівнянь

Лінійна система називається однорідною, якщо ${\displaystyle g_{j}(t)=0}$ для кожного ${\displaystyle j}$ і всіх значень ${\displaystyle t}$; інакше вона є неоднорідною. Якщо ${\displaystyle \mathbf {x_{1}} ,\ldots ,\mathbf {x_{p}} }$ — лінійно незалежні розв’язки системи, то будь-яка їхня лінійна комбінація ${\displaystyle C_{1}\mathbf {x_{1}} +\ldots +C_{p}\mathbf {x_{p}} }$ також є розв’язком.

Якщо всі коефіцієнти ${\displaystyle a_{ji}(t)}$ сталі, загальний розв’язок має вигляд:

${\displaystyle \mathbf {x} =C_{1}\mathbf {v_{1}} e^{\lambda _{1}t}+\ldots +C_{n}\mathbf {v_{n}} e^{\lambda _{n}t}}$

де ${\displaystyle \lambda _{i}}$ — власні значення матриці ${\displaystyle \mathbf {A} }$, а ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$ — відповідні власні вектори.

Лінійна незалежність розв’язків

Для довільної системи звичайних диференціальних рівнянь набір розв’язків ${\displaystyle \mathbf {x_{1}} (t),\ldots ,\mathbf {x_{n}} (t)}$ називається лінійно незалежним, якщо рівність

${\displaystyle C_{1}\mathbf {x_{1}} (t)+\ldots +C_{n}\mathbf {x_{n}} =0\quad \forall t}$

виконується лише тоді, коли ${\displaystyle C_{1}=\ldots =C_{n}=0}$.

Диференціальне рівняння другого порядку ${\displaystyle {\ddot {x}}=f(t,x,{\dot {x}})}$ можна звести до системи рівнянь першого порядку, ввівши ${\displaystyle y={\dot {x}}}$:

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {x}}&=&y\\{\dot {y}}&=&f(t,x,y)\end{cases}}}$

Дві функції є лінійно незалежними, якщо визначник

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x_{1}&x_{2}\\{\dot {x}}_{1}&{\dot {x}}_{2}\end{vmatrix}}\neq 0.}$

Це поняття узагальнюється на системи другого порядку, і дві функції вважаються лінійно незалежними, якщо виконуються ці умови.

Надлишкові системи диференціальних рівнянь

Як і будь-яка система рівнянь, система лінійних диференціальних рівнянь називається надлишковою, якщо кількість рівнянь перевищує кількість невідомих. Для існування розв’язку така система повинна задовольняти умовам сумісності.^[1]

Наприклад, для системи:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}=f_{i},1\leq i\leq m.}$

необхідні умови існування розв’язку:

${\displaystyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{k}}}-{\frac {\partial f_{k}}{\partial x_{i}}}=0,1\leq i,k\leq m.}$

Див. також: Задача Коші, Основний принцип Ернпрейза.

Нелінійні системи диференціальних рівнянь

Докладніше: Нелінійне диференціальне рівняння

Можливо, найвідомішим прикладом нелінійної системи є рівняння Нав'є — Стокса. На відміну від лінійних випадків, питання існування розв’язку нелінійної системи є складною проблемою.

Простим прикладом є рівняння Лотки — Вольтерри.

Диференціальні системи

Диференціальна система — це підхід до дослідження системи рівнянь з частинними похідними за допомогою геометричних понять, таких як диференціальні форми та векторні поля.

Наприклад, умови сумісності надлишкової системи можна коротко сформулювати в термінах диференціальних форм (форма є точною, якщо вона замкнена).

Див. також

• Система лінійних диференціальних рівнянь першого порядку зі сталими коефіцієнтами
• Фундаментальна матриця (лінійні диференціальні рівняння)
• Інтегральна геометрія
• Теорема продовження Картана — Кураніші