Стискальне відображення

Стискальним відображенням у метричному просторі називається відображення яке, умовно кажучи, зменшує відстані між точками.

Нехай ${\displaystyle F\subset \mathbb {M} }$ — підмножина метричного простору ${\displaystyle (\mathbb {M} ,\rho )}$ і на F визначено відображення ${\displaystyle f:F\to F}$. Воно називається стискуючим на F, якщо ${\displaystyle \exists \alpha \in (0;1):}$ для ${\displaystyle {\forall }x,y\in F\to {\rho (Ax,Ay)\leqslant \alpha {\cdot }\rho (x,y)}}$.

Довільне стискуюче відображення є відображенням Ліпшиця і, як наслідок, рівномірно неперервним відображенням.

Довільне стискальне відображення має щонайбільше одну нерухому точку, тобто точку ${\displaystyle \mathbb {} x^{*}:f(x^{*})=x^{*}}$. Це включає випадки неіснування нерухомих точок. Згідно з теоремою Банаха якщо дане відображення задано на замкнутій підмножині повного метричного простору то існує єдина нерухома точка, причому ітераційна послідовність x, f (x), f (f (x)), f (f (f (x))), ... збігається до цієї точки в метриці цього простору.

Див. також

• Коротке відображення
• Розтягувальне відображення

Джерела

• Ляшко І.І., Ємельянов В.Ф., Боярчук О.К. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Вища школа, 1992. — 496 с. — ISBN 5-11-003757-4.(укр.)
• Ляшко І. І., Боярчук О. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. Математичний аналіз в прикладах і задачах. — 2025. — 1200+ с.(укр.)
• Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Либідь, 1993. — 320 с. — ISBN 5-325-00380-1.(укр.)
• М.І.Жалдак, Г.О.Михалін, С.Я.Деканов. Математичний аналіз. Функції багатьох змінних: Навчальний посібник. — К. : НПУ імені М. П. Драгоманова, 2007. — 430 с.(укр.)