對偶系統

數學中，域${\displaystyle \mathbb {K} }$上的對偶系統或對偶對是指三元組${\displaystyle (X,Y,b)}$，包含${\displaystyle \mathbb {K} }$上的2個向量空間X、Y，以及非退化雙線性映射${\displaystyle b:X\times Y\to \mathbb {K} }$。

對偶理論是對對偶系統的研究，在泛函分析中占有重要地位，並通過希爾伯特空間廣泛應用於量子力學中。

定義、記號與慣例

配對

域${\displaystyle \mathbb {K} }$上的配對（pairing或pair）是一個三元組${\displaystyle (X,Y,b)}$，也可以用${\displaystyle b(X,Y)}$表示， 包含${\displaystyle \mathbb {K} }$上的兩個向量空間X、Y及雙線性映射${\displaystyle b:X\times Y\to \mathbb {K} }$，稱作與配對關聯的雙線性映射^[1]，或配對的映射，或其雙線性形式。簡單起見，本文只涉及${\displaystyle \mathbb {K} }$是實數${\displaystyle \mathbb {R} }$或複數${\displaystyle \mathbb {C} }$的例子。

${\displaystyle \forall x\subseteq X}$，定義 $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}b(x,\,\cdot \,):\,&Y&&\to &&\,\mathbb {K} \\&y&&\mapsto &&\,b(x,y)\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle \forall y\subseteq Y}$，定義 $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}b(\,\cdot \,,y):\,&X&&\to &&\,\mathbb {K} \\&x&&\mapsto &&\,b(x,y).\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle \forall b(x,\,\cdot \,)}$是Y上的線性泛函，${\displaystyle \forall b(\,\cdot \,,y)}$是X上的線性泛函。令 $${\displaystyle b(X,\,\cdot \,):=\{b(x,\,\cdot \,):x\in X\}\qquad {\text{ and }}\qquad b(\,\cdot \,,Y):=\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\}}$$ 其中每個集合構成一個線性泛函的向量空間。

通常記${\displaystyle \langle x,y\rangle }$而非${\displaystyle b(x,y)}$，這樣配對不必寫成${\displaystyle (X,Y,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$，而可以寫成${\displaystyle \left\langle X,Y\right\rangle }$。不過，本文將用${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$表示求值映射（定義見下），以避免混淆。

對偶對

若雙線性形式b是非退化的，則稱配對${\displaystyle (X,Y,b)}$是${\displaystyle \mathbb {K} }$上的對偶系統或對偶對^[2] ，滿足下面兩條分離公理：

1. Y分離（區分）X的點：若${\displaystyle x\in X}$使得${\displaystyle b(x,\,\cdot \,)=0}$，則${\displaystyle x=0}$；等價地，對所有非零的${\displaystyle x\in X}$，映射${\displaystyle b(x,\,\cdot \,):Y\to \mathbb {K} }$不等同於${\displaystyle 0}$（即${\displaystyle \exists y\in Y}$使得${\displaystyle \forall x\in X,\ b(x,y)\neq 0}$）；
2. X分離（區分）Y的點：若${\displaystyle y\in Y}$使得${\displaystyle b(\,\cdot \,,y)=0}$，則${\displaystyle y=0}$；等價地，對所有非零的${\displaystyle y\in Y}$，映射${\displaystyle b(\,\cdot \,,y):X\to \mathbb {K} }$不等同於${\displaystyle 0}$（即${\displaystyle \exists x\in X}$使得${\displaystyle \forall y\in Y,\ b(x,y)\neq 0}$）。

這樣b是非退化的，可以說b將X、Y置於（分離）對偶中（places in (separated) duality），b是三元組${\displaystyle (X,Y,b)}$的對偶配對（duality pairing）。^[1][2]

全子集

若${\displaystyle \forall x\in X}$, $${\displaystyle b(x,s)=0\quad \forall s\in S}$$能推出${\displaystyle x=0}$，則稱${\displaystyle S\in Y}$為全集。 X的全子集定義相似（見腳註）。^{[note 1]}因此，若且唯若X是X的全子集，X分離Y中所有點，對Y亦然。

正交性

若${\displaystyle b(x,y)=0}$，稱向量x、y正交，記作${\displaystyle x\perp y}$。若${\displaystyle b(R,S)=\{0\}}$，稱兩子集${\displaystyle R\subseteq X}$、${\displaystyle S\subseteq Y}$正交，記作${\displaystyle R\perp S}$；即${\displaystyle \forall r\in R}$、${\displaystyle s\in S}$，${\displaystyle b(r,s)=0}$。子集正交於向量的定義與之類似。

子集${\displaystyle R\subseteq X}$的正交補或零化子是 $${\displaystyle R^{\perp }:=\{y\in Y:R\perp y\}:=\{y\in Y:b(R,y)=\{0\}\}}$$. 於是，若且唯若${\displaystyle R^{\perp }=\{0\}}$，R是X的全子集。

極集

主條目：極集

給定在${\displaystyle \mathbb {K} }$上定義了對偶對的三元組${\displaystyle (X,Y,b)}$，子集${\displaystyle A\subseteq X}$的絕對極集或極集是集合$${\displaystyle A^{\circ }:=\left\{y\in Y:\sup _{x\in A}|b(x,y)|\leq 1\right\}.}$$對稱地，子集${\displaystyle B\subseteq Y}$的絕對極集或極集記作${\displaystyle B^{\circ }}$，定義為 $${\displaystyle B^{\circ }:=\left\{x\in X:\sup _{y\in B}|b(x,y)|\leq 1\right\}.}$$

為了使用有助於跟蹤對偶性兩側不對稱的標記，子集${\displaystyle B\subseteq B}$的絕對極也可以稱為B的絕對預極（absolute prepolar）或預極（prepolar），可表為${\displaystyle {}^{\circ }B}$。^[3]

極${\displaystyle B^{\circ }}$必然是凸集，包含${\displaystyle 0\in Y}$，若B平衡，則${\displaystyle B^{\circ }}$也平衡；若B是X的向量子空間，則${\displaystyle B^{\circ }}$是Y的向量子空間。^[4]

若A是X的向量子空間，則${\displaystyle A^{\circ }=A^{\perp }}$，還等於A的實極。若${\displaystyle A\subseteq X}$，則A的雙極（bipolar，記作${\displaystyle A^{\circ \circ }}$）是A正交補的極，即集${\displaystyle {}^{\circ }\left(A^{\perp }\right)}$。相似地，若${\displaystyle B\subseteq Y}$，則B的雙極是${\displaystyle B^{\circ \circ }:=\left({}^{\circ }B\right)^{\circ }}$。

對偶的定義與結果

給定對${\displaystyle (X,Y,b)}$，定義新對${\displaystyle (Y,X,d)}$，其中${\displaystyle \forall x\in X,\ \forall y\in Y,\ d(y,x):=b(x,y)}$。^[1] 對偶理論有個一貫的主題：任何對${\displaystyle (X,Y,b)}$都有相應的對偶對${\displaystyle (Y,X,d)}$。

約定與定義：給定配對${\displaystyle (X,Y,b)}$的任何定義，將其應用於配對${\displaystyle (Y,X,d)}$，就能得到對偶定義。這約定也適用於定理。

例如，若X分離Y的點（或者說S是Y的全子集）定義如上，則此約定立即產生了對偶定義：Y分離X的點（或者說S是X的全子集）。 下面的寫法幾乎無處不在，可讓我們不用為d指定符號。

約定與記號：若配對${\displaystyle (X,Y,b)}$的定義及其記號取決於X和Y的順序（例如，X上的麥奇拓撲${\displaystyle \tau (X,Y,b)}$），那麼交換X、Y順序就意味著定義適用於${\displaystyle (Y,X,d)}$（接上例，拓撲${\displaystyle \tau (Y,X,b)}$實際上是拓撲${\displaystyle \tau (Y,X,d)}$）。

再比如，一旦定義了X上的弱拓撲${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$，則此對偶定義就會自動應用到配對${\displaystyle (Y,X,d)}$，從而得到Y上弱拓撲的定義——${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$而非${\displaystyle \sigma (Y,X,d)}$。

${\displaystyle (X,Y)}$及${\displaystyle (Y,X)}$的識別

雖然從技術上將這是不正確的，也是對符號的濫用，但本文將遵守幾乎普遍的管理，及將配對${\displaystyle (X,Y,b)}$與${\displaystyle (Y,X,d)}$互換處理，並用${\displaystyle (Y,X,b)}$表示${\displaystyle (Y,X,d)}$。

例子

配對的限制

設${\displaystyle (X,Y,b)}$是配對，M是X的向量子空間，N是Y的向量子空間。則，${\displaystyle (X,Y,b)}$對${\displaystyle M\times N}$的限制就是配對${\displaystyle \left(M,N,b{\big \vert }_{M\times N}\right)}$。若${\displaystyle (X,Y,b)}$是對偶，則限制就有可能不對偶（如，若${\displaystyle Y\neq \{0\}}$、${\displaystyle N=\{0\}}$）。

本文將使用通常做法，用${\displaystyle (M,N,b)}$表示限制${\displaystyle \left(M,N,b{\big \vert }_{M\times N}\right)}$。

向量空間上的規範對偶

設X是向量空間，令${\displaystyle X^{\#}}$表示X的代數對偶空間（即，X上所有線性泛函的空間）。則有規範對偶${\displaystyle \left(X,X^{\#},c\right)}$，其中${\displaystyle c\left(x,x^{\prime }\right)=\left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }(x)}$，稱之為${\displaystyle X\times X^{\#}}$上的求值映射或自然/規範雙線性泛函。

注意${\displaystyle \forall x^{\prime }\in X^{\#}}$，${\displaystyle c\left(\,\cdot \,,x^{\prime }\right)}$只是表示${\displaystyle x^{\prime }}$的另一種方式，即${\displaystyle c\left(\,\cdot \,,x^{\prime }\right)=x^{\prime }(\,\cdot \,)=x^{\prime }.}$

若N是${\displaystyle X^{\#}}$的一個向量子空間，則${\displaystyle \left(X,X^{\#},c\right)}$對${\displaystyle X\times N}$的限制稱作規範配對。若此配對是對偶，則稱為規範對偶。顯然X總是分離N的點，因此若且唯若N分離X中的點，規範配對是對偶系統。 下列記號現在在對偶理論中幾乎無處不在。

求值映射記作${\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }(x)}$（而非c），將${\displaystyle (X,N,c)}$改為${\displaystyle \langle X,N\rangle }$。

假設：按慣例，若X是向量空間，N是X上線性泛函的向量空間，則除非另有說明，否則將假定它們同規範配對${\displaystyle \langle X,N\rangle }$相關聯。

若N是${\displaystyle X^{\#}}$的向量子空間，則若且唯若N分離X的點（或等價地，N是全的，${\displaystyle \forall n\in N,\ n(x)=0}$能推出${\displaystyle x=0}$），X分離N的點（或等價地，${\displaystyle (X,N,c)}$是對偶），^[1]

拓撲向量空間上的規範對偶

設X是拓撲向量空間，有連續對偶空間${\displaystyle X^{\prime }}$。 則，規範對偶${\displaystyle \left(X,X^{\#},c\right)}$對${\displaystyle X\times X^{\prime }}$的限制確定了配對${\displaystyle \left(X,X^{\prime },c{\big \vert }_{X\times X^{\prime }}\right)}$，其中X分離${\displaystyle X^{\prime }}$的點。 若${\displaystyle X^{\prime }}$分離X的點（例如，若X是豪斯多夫局部凸空間，則恆為真），則此配對形成了對偶。^[2]

假設：正如通常所作，只要X是拓撲向量空間，則除非另有說明，否則將假定其與規範配對${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }$相關聯，無需注釋。

拓撲向量空間的極與對偶

下列結果表明，拓撲向量空間上的連續線性泛函恰是在原點鄰域上有界的線性泛函。

定理^[1] — 令X是拓撲向量空間，有代數對偶 ${\displaystyle X^{\#}}$，並令${\displaystyle {\mathcal {N}}}$為X在原點鄰域的基。 在規範對偶${\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle }$下，X是連續對偶空間是所有${\displaystyle N^{\circ }}$的並，因為N的範圍是${\displaystyle {\mathcal {N}}}$（其中極位於${\displaystyle X^{\#}}$）。

內積空間與復共軛空間

預希爾伯特空間${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$，若且唯若H是${\displaystyle \mathbb {R} }$上的向量空間，或H是0維，${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$是對偶對。這裡假定半雙線性形式${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$在第二坐標上是共軛齊次的，在第一坐標上是齊次的。

1. 若${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$是實希爾伯特空間，則${\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$形成對偶系統。
2. 若${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$是復希爾伯特空間，則若且唯若${\displaystyle \operatorname {dim} H=0}$，${\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$形成對偶系統。若H非平凡，則${\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$甚至不是配對，因為內積是半雙線性的，而非雙線性的。^[1]

設${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$是復預希爾伯特空間，純量乘法用並列或${\displaystyle \cdot }$表示。 定義映射 $${\displaystyle \,\cdot \,\perp \,\cdot \,:\mathbb {C} \times H\to H\quad {\text{ by }}\quad c\perp x:={\overline {c}}x,}$$ 其中右式使用了H的純量乘法。令${\displaystyle {\overline {H}}}$表示H的復共軛向量空間，其中${\displaystyle {\overline {H}}}$表示加群${\displaystyle (H,+)}$（所以${\displaystyle {\overline {H}}}$中的向量加法與H中的相同），但${\displaystyle {\overline {H}}}$中的純量乘法是映射${\displaystyle \,\cdot \,\perp \,\cdot \,}$（而非H被賦予的純量乘法）。

映射${\displaystyle b:H\times {\overline {H}}\to \mathbb {C} }$定義為${\displaystyle b(x,y):=\langle x,y\rangle }$，在兩個坐標中都是線性的^{[note 2]}，因此${\displaystyle \left(H,{\overline {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle \right)}$形成對偶對。

其他例子

1. 設${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2},\ Y=\mathbb {R} ^{3},\ \forall \left(x_{1},y_{1}\right)\in X{\text{ and }}\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)\in Y,}$令$${\displaystyle b\left(\left(x_{1},y_{1}\right),\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)\right):=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}.}$$則${\displaystyle (X,Y,b)}$是配對，使X區分Y的點，但Y不區分X的點。此外，${\displaystyle X^{\perp }:=\{y\in Y:X\perp y\}=\{(0,0,z):z\in \mathbb {R} \}.}$
2. 令${\displaystyle 0<p<\infty ,\ X:=L^{p}(\mu ),\ Y:=L^{q}(\mu )}$（其中q滿足${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}$），${\displaystyle b(f,g):=\int fg\,\mathrm {d} \mu .}$則${\displaystyle (X,Y,b)}$是對偶系統。
3. 令X、Y是同一域${\displaystyle \mathbb {K} }$上的向量空間，則雙線性形式${\displaystyle b\left(x\otimes y,x^{*}\otimes y^{*}\right)=\left\langle x^{\prime },x\right\rangle \left\langle y^{\prime },y\right\rangle }$使${\displaystyle X\times Y}$與${\displaystyle X^{\#}\times Y^{\#}}$對偶。^[2]
4. 序列空間X及其Beta-對偶空間${\displaystyle Y:=X^{\beta }}$，雙線性映射定義為${\displaystyle \forall x\in X,\ y\in X^{\beta },\ \langle x,y\rangle :=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}y_{i}}$形成對偶系統。

弱拓撲

主條目：弱拓撲和弱-*拓撲

設${\displaystyle (X,Y,b)}$是${\displaystyle \mathbb {K} }$上一對向量空間。若${\displaystyle S\subseteq Y}$，則X上由S（和b）誘導的弱拓撲是X上最弱的拓撲向量空間拓撲，記作${\displaystyle \sigma (X,S,b)}$或${\displaystyle \sigma (X,S)}$，使y在S上取值時所有映射${\displaystyle b(\,\cdot \,,y):X\to \mathbb {K} }$連續。^[1]若S在語境中不明確，則應假定是Y的全部，這時稱之為X上（由Y誘導的）的弱拓撲。 ${\displaystyle X_{\sigma (X,S,b)},\ X_{\sigma (X,S)},}$或（若無混淆）${\displaystyle X_{\sigma }}$用於表示賦有弱拓撲${\displaystyle \sigma (X,S,b)}$的X。 重要的是，弱拓撲完全取決於函數b、${\displaystyle \mathbb {C} }$上的通常拓撲與X上的向量空間結構，而與Y的代數結構無關。 同樣，若${\displaystyle R\subseteq X}$，則Y上由R（和b）誘導的弱拓撲的對偶定義記作${\displaystyle \sigma (Y,R,b)}$或${\displaystyle \sigma (Y,R)}$（細節見腳註）。^{[note 3]}

定義與符號：若${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$附在一個拓撲定義上（如${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$-收斂、${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$-有界、${\displaystyle \operatorname {cl} _{\sigma (X,Y,b)}(S)}$等等），則就意味著當定義的第一個空間（即X）攜帶${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$拓撲。若無混淆，可以不提及b甚至X、Y。例如，若Y中序列${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$「${\displaystyle \sigma }$-收斂」或「弱收斂」，這意味著它收斂於${\displaystyle (Y,\sigma (Y,X,b))}$，而若它是X中的序列，則意味著它收斂於${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$）。

拓撲${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$是局部凸的，因為它由${\displaystyle p_{y}(x):=|b(x,y)|}$定義的半範數族${\displaystyle p_{y}:X\to \mathbb {R} }$確定，其中y在Y上取值。^[1] 若${\displaystyle x\in X,\ \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$是X中的網，則若${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$在${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$中收斂到x，${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$-收斂於x。^[1]網${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$，若且唯若${\displaystyle \forall y\in Y,\ b\left(x_{i},y\right)}$收斂到${\displaystyle b(x,y)}$，${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$-收斂到x。

若${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$是希爾伯特空間中的正交規範向量列，則${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$弱收斂到0，但不會規範收斂（norm-convergence）到0（或任意向量）。^[1]

若${\displaystyle (X,Y,b)}$是配對，N是Y的一個適當的向量子空間，使得${\displaystyle (X,N,b)}$是對偶對，則${\displaystyle \sigma (X,N,b)}$比${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$嚴格粗。^[1]

有界子集

子集${\displaystyle S\subseteq X}$，若且唯若$${\displaystyle \sup _{}|b(S,y)|<\infty \quad {\text{ for all }}y\in Y,}$$，其中${\displaystyle |b(S,y)|:=\{b(s,y):s\in S\}}$，稱S${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$-有界。

豪斯多夫性

若${\displaystyle (X,Y,b)}$是配對，則下列條件等價：

1. X分離Y的點；
2. 映射${\displaystyle y\mapsto b(\,\cdot \,,y)}$定義了Y到X的代數對偶空間的單射；^[1]
3. ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$是豪斯多夫空間。^[1]

弱表示定理

下列定理對對偶理論至關重要，因為它完全表徵了${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$的連續對偶空間。

弱表示定理^[1] — 令${\displaystyle (X,Y,b)}$是域${\displaystyle \mathbb {K} }$上的配對，則${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$的連續對偶空間是$${\displaystyle b(\,\cdot \,,Y):=\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\}.}$$另外，

1. 若f是${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$上的連續線性泛函，則${\displaystyle \exists y\in Y}$使${\displaystyle f=b(\,\cdot \,,y)}$；若這樣的y存在，則若且唯若X分離Y的點時，這樣的y是唯一的。

• 注意，X是否分離Y中的點並不取決於y的特定選擇。

1. ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$的連續對偶空間可以視作商空間${\displaystyle Y/X^{\perp }}$，其中${\displaystyle X^{\perp }:=\{y\in Y:b(x,y)=0\ \ \forall x\in X\}}$。

• 無論X是否分離Y的點，或Y是否分離X中的點，這都是正確的。

因此，${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$的連續對偶空間是 $${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))^{\prime }=b(\,\cdot \,,Y):=\left\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\right\}.}$$

關於規範配對，若X是拓撲向量空間，其連續對偶空間${\displaystyle X^{\prime }}$分離X的點（即使${\displaystyle \left(X,\sigma \left(X,X^{\prime }\right)\right)}$豪斯多夫，這可推出X也必豪斯多夫），則${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)}$的連續對偶空間等於x在X中取值時所有「點x處得值」的映射集合（即將${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime }}$送到${\displaystyle x^{\prime }(x)}$的映射）。 通常寫成 $${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)^{\prime }=X\qquad {\text{ or }}\qquad \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }=X.}$$ 這一重要事實就是為什麼連續對偶空間上極拓撲的成果（如${\displaystyle X^{\prime }}$上的強對偶拓撲${\displaystyle \beta \left(X^{\prime },X\right)}$）能應用到原拓撲向量空間X的。例如，將X視作${\displaystyle \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}$意味著${\displaystyle \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}$上的拓撲${\displaystyle \beta \left(\left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime },X_{\sigma }^{\prime }\right)}$可被視作X上的拓撲。 此外，若${\displaystyle X^{\prime }}$被賦予比${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$更細的拓撲，那麼${\displaystyle X^{\prime }}$的連續對偶空間必然包含${\displaystyle \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}$（作為子集）。 例如，${\displaystyle X^{\prime }}$被賦予強對偶拓撲（於是記作${\displaystyle X_{\beta }^{\prime }}$），則 $${\displaystyle \left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime }~\supseteq ~\left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }~=~X}$$

這允許X被賦予由強對偶拓撲${\displaystyle \beta \left(\left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime },X_{\beta }^{\prime }\right)}$在X上誘導的子空間拓撲（此拓撲也稱作強雙對偶拓撲，見於自反空間理論：豪斯多夫局部凸拓撲向量空間X，若${\displaystyle \left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime }=X}$則稱其是半自反空間，若在此之外，其在X上的強雙對偶拓撲${\displaystyle \beta \left(\left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime },X_{\beta }^{\prime }\right)}$還等於X的原/初拓撲，則稱其是自反空間。

正交、商與子空間

若${\displaystyle (X,Y,b)}$是配對，則對X的任意子集S：

1. ${\displaystyle S^{\perp }=(\operatorname {span} S)^{\perp }=\left(\operatorname {cl} _{\sigma (Y,X,b)}\operatorname {span} S\right)^{\perp }=S^{\perp \perp \perp }}$，且此集合是${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$-閉的；^[1]
2. ${\displaystyle S\subseteq S^{\perp \perp }=\left(\operatorname {cl} _{\sigma (X,Y,b)}\operatorname {span} S\right)}$；^[1]

• 因此，若S是X的${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$-閉向量子空間，則${\displaystyle S\subseteq S^{\perp \perp }.}$

1. 若${\displaystyle \left(S_{i}\right)_{i\in I}}$是X的${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$-閉向量子空間族，則

$${\displaystyle \left(\bigcap _{i\in I}S_{i}\right)^{\perp }=\operatorname {cl} _{\sigma (Y,X,b)}\left(\operatorname {span} \left(\bigcup _{i\in I}S_{i}^{\perp }\right)\right).}$$^[1]

1. 若${\displaystyle \left(S_{i}\right)_{i\in I}}$是X的子集族，則

${\displaystyle \left(\bigcup _{i\in I}S_{i}\right)^{\perp }=\bigcap _{i\in I}S_{i}^{\perp }.}$^[1]

若X是賦范空間，則根據規範對偶性，${\displaystyle S^{\perp }}$在${\displaystyle X^{\prime }}$中對范是封閉的，${\displaystyle S^{\perp \perp }}$在X中對范是封閉的。^[1]

子空間

設M是X的向量子空間，並令${\displaystyle (M,Y,b)}$表示${\displaystyle (X,Y,b)}$對${\displaystyle M\times Y}$的限制。 M上的弱拓撲${\displaystyle \sigma (M,Y,b)}$與M從${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$繼承的子空間拓撲相同。

另外，${\displaystyle \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right)}$是配對空間（paired space）（其中${\displaystyle Y/M^{\perp }}$是${\displaystyle Y/\left(M^{\perp }\right)}$），其中${\displaystyle b{\big \vert }_{M}:M\times Y/M^{\perp }\to \mathbb {K} }$定義為 $${\displaystyle \left(m,y+M^{\perp }\right)\mapsto b(m,y).}$$

拓撲${\displaystyle \sigma \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right)}$等於M繼承自${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$的子空間拓撲。^[5] 此外，若${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$是對偶系統，則${\displaystyle \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right)}$也是。^[5]

商

設M是X的向量子空間，則${\displaystyle \left(X/M,M^{\perp },b/M\right)}$是配對空間，其中${\displaystyle b/M:X/M\times M^{\perp }\to \mathbb {K} }$定義為 $${\displaystyle (x+M,y)\mapsto b(x,y).}$$

拓撲${\displaystyle \sigma \left(X/M,M^{\perp }\right)}$等同於${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$在${\displaystyle X/M}$上誘導的一般的商拓撲。^[5]

極與弱拓撲

弱X是局部凸空間，且若H是連續對偶空間${\displaystyle X^{\prime }}$的子集，則若且唯若對X中某桶B，有${\displaystyle H\subseteq B^{\circ }}$時，H是${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$-有界的。^[1]

下列結果對定義極拓撲非常重要。 若${\displaystyle (X,Y,b)}$是配對，${\displaystyle A\subseteq X,}$則^[1]

1. A的極${\displaystyle A^{\circ }}$是${\displaystyle (Y,\sigma (Y,X,b))}$的閉子集。

1. 下列集合的極相同：(a) A；(b) A的凸殼；(c) A的平衡殼；(d) A的${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$-閉合；(e) A的凸平衡殼的${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$-閉合。

1. 雙極定理：A的雙極${\displaystyle A^{\circ \circ }}$等於A的凸平衡殼的${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$-閉合。

• 雙極定理「是處理對偶性時不可或缺的工具」。^[4]

1. 若且唯若${\displaystyle A^{\circ }}$吸收於Y時，A是${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$-有界的。
2. 若Y還分離X的點，則若且唯若A是${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$-全有界時，A是${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$-有界的。

若${\displaystyle (X,Y,b)}$是配對，${\displaystyle \tau }$是X上與對偶一致的局部凸拓撲，則若且唯若B是Y的某${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$-有界子集的極時，${\displaystyle B\subseteq X}$是${\displaystyle (X,\tau )}$中的桶。^[6]

轉置

線性映射關於配對的轉置

參見：線性映射的轉置和轉置

令${\displaystyle (X,Y,b)}$和${\displaystyle (W,Z,c)}$是${\displaystyle \mathbb {K} }$上的配對，並令${\displaystyle F:X\to W}$是線性映射。

${\displaystyle \forall z\in Z,}$令${\displaystyle c(F(\,\cdot \,),z):X\to \mathbb {K} }$是由${\displaystyle x\mapsto c(F(x),z)}$定義的映射。 若滿足以下條件，就可以說F的轉置或伴隨是良定的（well-defined）：

1. X分離Y中的點（或等價地，從Y抵達代數對偶${\displaystyle X^{\#}}$的映射${\displaystyle y\mapsto b(\,\cdot \,,y)}$是單射），且
2. ${\displaystyle c(F(\,\cdot \,),Z)\subseteq b(\,\cdot \,,Y),}$其中${\displaystyle c(F(\,\cdot \,),Z):=\{c(F(\,\cdot \,),z):z\in Z\},\ b(\,\cdot \,,Y):=\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\}.}$

這樣，${\displaystyle \forall z\in Z}$存在（由條件2）唯一的（由條件1）${\displaystyle y\in Y}$，使${\displaystyle c(F(\,\cdot \,),z)=b(\,\cdot \,,y)}$，其中Y的這個元素將表為${\displaystyle {}^{t}F(z)}$。這定義了線性映射 $${\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}$$

稱作F的轉置或關於${\displaystyle (X,Y,b)}$和${\displaystyle (W,Z,c)}$的伴隨（注意不要與厄米伴隨混淆）。不難看出，上述兩個條件（即「轉置良定義」）也是${\displaystyle {}^{t}F}$良定的必要條件。 ${\displaystyle \forall z\in Z}$，${\displaystyle {}^{t}F(z)}$的定義條件是 $${\displaystyle c(F(\,\cdot \,),z)=b\left(\,\cdot \,,{}^{t}F(z)\right),}$$ 即， $${\displaystyle \forall x\in X,\ c(F(x),z)=b\left(x,{}^{t}F(z)\right).}$$

根據本文開頭提到的約定，這也定義了形式為${\displaystyle Z\to Y,}$^{[note 4]} ${\displaystyle X\to Z,}$^{[note 5]} ${\displaystyle W\to Y,}$^{[note 6]} ${\displaystyle Y\to W,}$^{[note 7]}等的線性映射的轉置（見腳註）。

轉置的性質

${\displaystyle (X,Y,b)}$和${\displaystyle (W,Z,c)}$是${\displaystyle \mathbb {K} }$上的配對，${\displaystyle F:X\to W}$是線性映射，其轉置${\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}$是良定義的。

• 若且唯若F的範圍在${\displaystyle \left(W,\sigma \left(W,Z,c\right)\right)}$中稠密時，${\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}$是單射（即${\displaystyle \operatorname {ker} {}^{t}F=\{0\}}$）。^[1]
• 若除了${\displaystyle {}^{t}F}$良定義外，${\displaystyle {}^{t}F}$的轉置也良定義，則${\displaystyle {}^{tt}F=F}$。
• 設${\displaystyle (U,V,a)}$是${\displaystyle \mathbb {K} }$上的配對，${\displaystyle E:U\to X}$是線性映射，其轉置${\displaystyle {}^{t}E:Y\to V}$是良定義的，則${\displaystyle F\circ E:U\to W}$的轉置${\displaystyle {}^{t}(F\circ E):Z\to V}$也是良定義的，且${\displaystyle {}^{t}(F\circ E)={}^{t}E\circ {}^{t}F.}$
• 若${\displaystyle F:X\to W}$是向量空間同構，則${\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}$是雙射，${\displaystyle F^{-1}:W\to X}$的轉置${\displaystyle {}^{t}\left(F^{-1}\right):Y\to Z}$是良定義的，且${\displaystyle {}^{t}\left(F^{-1}\right)=\left({}^{t}F\right)^{-1}}$^[1]
• 令${\displaystyle S\subseteq X}$，${\displaystyle S^{\circ }}$表示A的絕對極，則^[1]
  1. ${\displaystyle [F(S)]^{\circ }=\left({}^{t}F\right)^{-1}\left(S^{\circ }\right)}$；
  2. 若${\displaystyle \forall T\subseteq W,\ F(S)\subseteq T}$，則${\displaystyle {}^{t}F\left(T^{\circ }\right)\subseteq S^{\circ }}$；
  3. 若${\displaystyle T\subseteq W}$使得${\displaystyle {}^{t}F\left(T^{\circ }\right)\subseteq S^{\circ }}$，則${\displaystyle F(S)\subseteq T^{\circ \circ }}$；
  4. 若${\displaystyle T\subseteq W}$，${\displaystyle S\subseteq X}$是弱閉圓盤，則若且唯若${\displaystyle F(S)\subseteq T}$時，${\displaystyle {}^{t}F\left(T^{\circ }\right)\subseteq S^{\circ }}$；
  5. ${\displaystyle \operatorname {ker} {}^{t}F=[F(X)]^{\perp }.}$

將絕對極換成實極，這些結果不變。

若X、Y是規範對偶下的賦范空間、${\displaystyle F:X\to Y}$是連續線性映射，則${\displaystyle \|F\|=\left\|{}^{t}F\right\|}$。^[1]

弱連續性

線性映射${\displaystyle F:X\to W}$，若${\displaystyle F:(X,\sigma (X,Y,b))\to (W,(W,Z,c))}$連續，則稱其（關於${\displaystyle (X,Y,b)}$和${\displaystyle (W,Z,c)}$）弱連續。

下面的結果表明，轉置映射的存在與弱拓撲密切相關。

命題 — 設X分離Y的點，${\displaystyle F:X\to W}$是線性映射。 則下列條件等價：

1. F是弱連續的（即${\displaystyle F:(X,\sigma (X,Y,b))\to (W,(W,Z,c))}$連續）；
2. ${\displaystyle c(F(\,\cdot \,),Z)\subseteq b(\,\cdot \,,Y)}$；
3. F的轉置是良定義的。

若F是弱連續的，則

• ${\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}$是弱連續的，即${\displaystyle {}^{t}F:(Z,\sigma (Z,W,c))\to (Y,(Y,X,b))}$連續；
• 若且唯若Z分離W的點，轉置${\displaystyle {}^{t}F}$良定義，這時${\displaystyle {}^{tt}F=F}$。

弱拓撲與規範對偶

設X是向量空間，${\displaystyle X^{\#}}$是其代數對偶。則X的所有${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\#}\right)}$-有界子集包含於有限維向量子空間，X的所有向量子空間是${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\#}\right)}$-閉的。^[1]

弱完備性

若${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$是完備拓撲向量空間，例如X是${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$-完備或（若無歧義）弱完備的情形。 存在不弱完備的巴拿赫空間（儘管在其范拓撲中是完備的）。^[1]

若X是向量空間，則在規範對偶下，${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$是完備的。^[1] 相反，若Z是豪斯多夫局部凸拓撲向量空間，且有連續對偶空間${\displaystyle Z^{\prime }}$，則若且唯若${\displaystyle Z=\left(Z^{\prime }\right)^{\#}}$時，${\displaystyle \left(Z,\sigma \left(Z,Z^{\prime }\right)\right)}$是完備的；即，若且唯若將${\displaystyle z\in Z}$發送到z處求值映射（即${\displaystyle z^{\prime }\mapsto z^{\prime }(z)}$）的映射${\displaystyle Z\to \left(Z^{\prime }\right)^{\#}}$是雙射。^[1]

特別地，就規範對偶而言，若Y是${\displaystyle X^{\#}}$的向量子空間，使Y分離X中的點，則若且唯若${\displaystyle Y=X^{\#}}$，${\displaystyle (Y,\sigma (Y,X))}$是完備的。 換句話說，${\displaystyle X^{\#}}$不存在緊合向量子空間${\displaystyle Y\neq X^{\#}}$使得${\displaystyle (X,\sigma (X,Y))}$是豪斯多夫空間，且Y在弱-*拓撲（即逐點收斂的拓撲）中完備。 因此，若豪斯多夫局部凸拓撲向量空間X的連續對偶空間${\displaystyle X^{\prime }}$ 被賦以弱*-拓撲，若且唯若${\displaystyle X^{\prime }=X^{\#}}$（即X上所有線性泛函都連續）時，${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$是完備的。

Y與代數對偶的子空間的等同

若X分離Y的點、Z表示單射${\displaystyle y\mapsto b(\,\cdot \,,y)}$的範圍，則Z是X的代數對偶空間的向量子空間，且配對${\displaystyle (X,Y,b)}$與規範配對${\displaystyle \langle X,Z\rangle }$（其中${\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }(x)}$是自然求值映射）是規範等同（canonically identify）的。 特別地，這時我們將不失一般性地假設Y是X代數對偶的向量子空間，而b是求值映射。

約定：通常，只要${\displaystyle y\mapsto b(\,\cdot \,,y)}$是單射（尤其當${\displaystyle (X,Y,b)}$形成對偶對），通常不失一般性地假設Y是X的代數對偶空間的向量子空間，且b是自然求值映射，Y還可記作${\displaystyle X^{\prime }}$。

完全類似的是，若Y分離X中的點，則X就有可能等同於Y的代數對偶空間的向量子空間。^[2]

代數伴隨

在對偶是規範對偶${\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle }$和${\displaystyle \left\langle W,W^{\#}\right\rangle }$的特例下，線性映射${\displaystyle F:X\to W}$的轉置總是良定義的。 此轉置稱作F的代數伴隨，記作${\displaystyle F^{\#}}$； 即${\displaystyle F^{\#}={}^{t}F:W^{\#}\to X^{\#}.}$ 這樣，${\displaystyle \forall w^{\prime }\in W^{\#},\ F^{\#}\left(w^{\prime }\right)=w^{\prime }\circ F}$^[1][7]其中${\displaystyle F^{\#}\left(w^{\prime }\right)}$的定義條件是 $${\displaystyle \left\langle x,F^{\#}\left(w^{\prime }\right)\right\rangle =\left\langle F(x),w^{\prime }\right\rangle \quad \forall >x\in X,}$$ 或等價地${\displaystyle F^{\#}\left(w^{\prime }\right)(x)=w^{\prime }(F(x))\quad \forall x\in X.}$

若對整數n，${\displaystyle X=Y=\mathbb {K} ^{n}}$，${\displaystyle {\mathcal {E}}=\left\{e_{1},\ldots ,e_{n}\right\}}$是X的基，其對偶基${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\prime }=\left\{e_{1}^{\prime },\ldots ,e_{n}^{\prime }\right\},\ F:\mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {K} ^{n}}$是線性算子，F關於${\displaystyle {\mathcal {E}}}$的矩陣表示是${\displaystyle M:=\left(f_{i,j}\right)}$，則M的轉置是${\displaystyle F^{\#}}$關於${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\prime }}$的矩陣表示。

弱連續性與開性

設${\displaystyle \left\langle X,Y\right\rangle }$，${\displaystyle \langle W,Z\rangle }$是對偶系統的規範配對（所以${\displaystyle Y\subseteq X^{\#},\ Z\subseteq W^{\#}}$），並令${\displaystyle F:X\to W}$是線性映射。則若且唯若${\displaystyle F:X\to W}$滿足下列等價條件之一，F是弱連續的：^[1]

1. ${\displaystyle F:(X,\sigma (X,Y))\to (W,\sigma (W,Z))}$連續；
2. ${\displaystyle F^{\#}(Z)\subseteq Y}$
3. F的轉置${\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}$相對於${\displaystyle \left\langle X,Y\right\rangle }$和${\displaystyle \langle W,Z\rangle }$是良定義的。

若F是弱連續的，則${\displaystyle {}^{t}F::(Z,\sigma (Z,W))\to (Y,\sigma (Y,X))}$是連續的，於是${\displaystyle {}^{tt}F=F}$^[7]

拓撲空間之間的映射${\displaystyle g:A\to B}$，若${\displaystyle g:A\to \operatorname {Im} g}$是開映射（${\displaystyle \operatorname {Im} g}$是g的範圍），則稱之是相對開的。^[1]

設${\displaystyle \langle X,Y\rangle ,\ \langle W,Z\rangle }$是對偶系統，${\displaystyle F:X\to W}$是弱連續線性映射。則下列條件等價：^[1]

1. ${\displaystyle F:(X,\sigma (X,Y))\to (W,\sigma (W,Z))}$是相對開的；
2. ${\displaystyle {}^{t}F}$的範圍在Y中${\displaystyle \sigma (Y,X)}$-閉；
3. ${\displaystyle \operatorname {Im} {}^{t}F=(\operatorname {ker} F)^{\perp }}$

此外

• 若且唯若${\displaystyle {}^{t}F}$是滿射（或雙射），${\displaystyle F:X\to W}$是單射（或雙射）；
• 若且唯若${\displaystyle {}^{t}F::(Z,\sigma (Z,W))\to (Y,\sigma (Y,X))}$是相對開單射，${\displaystyle F:X\to W}$是滿射。

拓撲向量空間之間映射的轉置

若且唯若F是弱連續的，兩拓撲向量空間之間映射的轉置才被定義。

設${\displaystyle F:X\to Y}$是兩豪斯多夫局部凸拓撲向量空間之間的線性映射，則^[1]

• 若F連續，則其是弱連續的，且${\displaystyle {}^{t}F}$是麥基連續的，也是強連續的；
• 若F是弱連續的，則其是麥基連續的，也是強連續的（定義見下）。
• 若F是弱連續的，則若且唯若${\displaystyle {}^{t}F:^{\prime }\to X^{\prime }}$將${\displaystyle Y^{\prime }}$的等度連續子集映射到${\displaystyle X^{\prime }}$的等度連續子集時，F才是連續的。
• 若X和Y是賦范空間，則若且唯若F是弱連續的（這時${\displaystyle \|F\|=\left\|{}^{t}F\right\|}$），F連續。
• 若F連續，則若且唯若${\displaystyle F:X\to Y}$是弱相對開的（即${\displaystyle F:\left(X,\sigma \left(X,X^{\prime }\right)\right)\to \left(Y,\sigma \left(Y,Y^{\prime }\right)\right)}$是相對開的）、且${\displaystyle \operatorname {Im} {}^{t}F={}^{t}F\left(Y^{\prime }\right)}$的等度連續子集都是${\displaystyle Y^{\prime }}$的某等度連續子集的像時，F是相對開的。
• 若F是連續單射，則若且唯若${\displaystyle X^{\prime }}$的等度連續子集都是${\displaystyle Y^{\prime }}$的某等度連續子集的像，${\displaystyle F:X\to Y}$是拓撲向量空間嵌入（或等價的拓撲嵌入）。

可度量化性與可分性

令X是局部凸空間，有連續對偶空間${\displaystyle X^{\prime }}$，並令${\displaystyle K\subseteq X^{\prime }}$。^[1]

1. 若K是等度連續或${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$-緊的，且${\displaystyle D\subseteq X^{\prime }}$使得${\displaystyle \operatorname {span} D}$在X中稠密，則K從${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },D\right)\right)}$繼承的子空間拓撲等同於K從${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)}$繼承的子空間拓撲。
2. 若X是可分的、K是等度連續的，則K被賦予由${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)}$誘導的子空間拓撲後是可度量化的。
3. 若X是可分、可度量化的，則${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)}$是可分的。
4. 若X是賦范空間，則若且唯若給定由${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)}$誘導的子空間拓撲，X的連續對偶空間的封閉單元（X的連續對偶空間）可度量時，X是可分的。
5. 若X是賦范空間，其連續對偶空間可分（給定通常的范拓撲）時，X可分。

極拓撲與同配對相容的拓撲

主條目：極拓撲

從弱拓撲開始，極基的使用會產生一系列局部凸拓撲。這樣的拓撲稱作極拓撲，弱拓撲是其中最弱的。

${\displaystyle (X,Y,b)}$將是${\displaystyle \mathbb {K} }$上的配對，${\displaystyle {\mathcal {G}}}$將是X的${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$-有界子集的非空集合。

極拓撲

主條目：極拓撲

給定X子集的集合${\displaystyle {\mathcal {G}}}$，Y上由${\displaystyle {\mathcal {G}}}$（與b）定義的極拓撲（或Y上的${\displaystyle {\mathcal {G}}}$-拓撲）是Y上唯一的拓撲向量空間拓撲，其中 $${\displaystyle \left\{rG^{\circ }:G\in {\mathcal {G}},r>0\right\}}$$ 形成了原點鄰域的子基。^[1] Y被賦予這${\displaystyle {\mathcal {G}}}$-拓撲時，就表示為${\displaystyle Y_{\mathcal {G}}}$。極拓撲都需要是局部凸的。^[1] ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$是關於子集包含的有向集合時（即若${\displaystyle \forall G,K\in {\mathcal {G}}}$，${\displaystyle \exists K\in {\mathcal {G}}}$使得${\displaystyle G\cup H\subseteq K}$），則此0處的鄰域子基實際上形成了0處的鄰域基。^[1]

下面列出了一些較重要的極拓撲。

符號：若${\displaystyle \Delta (X,Y,b)}$表示Y上的極拓撲，則唄賦予此拓撲的Y將記作${\displaystyle Y_{\Delta (Y,X,b)},\ Y_{\Delta (Y,X)}}$或${\displaystyle Y_{\Delta }}$（如對${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$我們有${\displaystyle \Delta =\sigma }$，這樣${\displaystyle Y_{\sigma (Y,X,b)},\ Y_{\sigma (Y,X)}}$和${\displaystyle Y_{\sigma }}$都表示賦予了${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$的Y）。

${\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {P}}X}$ （「…上一致收斂的拓撲」）	記作	名稱（「…的拓撲」）	又稱
X的有限子集 （或X有限子集的${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$-閉圓盤化殼）	${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle s(X,Y,b)}$	逐點/簡單收斂	弱/弱-*拓撲
${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$-緊圓盤	${\displaystyle \tau (X,Y,b)}$		麥基拓撲
${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$-緊凸子集	${\displaystyle \gamma (X,Y,b)}$	緊凸收斂
${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$-緊子集 （或平衡${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$-緊子集）	${\displaystyle c(X,Y,b)}$	緊收斂
${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$-有界子集	${\displaystyle b(X,Y,b)}$ ${\displaystyle \beta (X,Y,b)}$	有界收斂	強拓撲 最強的極拓撲

與極拓撲有關的定義

連續性 若${\displaystyle F:(X,\tau (X,Y,b))\to (W,\tau (W,Z,c))}$連續，則線性映射${\displaystyle F:X\to W}$是（關於${\displaystyle (X,Y,b)}$和${\displaystyle (W,Z,c)}$）麥基連續的。^[1]

若${\displaystyle F:(X,\beta (X,Y,b))\to (W,\beta (W,Z,c))}$是連續的，則線性映射${\displaystyle F:X\to W}$是（關於${\displaystyle (X,Y,b)}$和${\displaystyle (W,Z,c)}$）強連續的。^[1]

有界子集

X的子集，若在${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$（或${\displaystyle (X,\tau (X,Y,b))}$、${\displaystyle (X,\beta (X,Y,b))}$）中有界，則稱X是弱有界（或麥基有界、強有界）。

同配對相容的拓撲

弱${\displaystyle (X,Y,b)}$是${\displaystyle \mathbb {K} }$上的配對，${\displaystyle {\mathcal {T}}}$是X上的向量拓撲，則${\displaystyle {\mathcal {T}}}$是配對的拓撲，且若其局部凸、${\displaystyle \left(X,{\mathcal {T}}\right)}$的連續對偶空間${\displaystyle =b(\,\cdot \,,Y)}$，則稱之與配對${\displaystyle (X,Y,b)}$相容或一致。^{[note 8]} 若X分離Y的點，則Y可視作X的代數對偶的向量子空間，定義條件變為${\displaystyle \left(X,{\mathcal {T}}\right)^{\prime }=Y.}$^[1]有人（如[Trèves 2006]、[Schaefer 1999]）要求配對的拓撲也要是豪斯多夫的，^[2][8]若Y分離X的點（這些學者假設），則必須是豪斯多夫的。

弱拓撲${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$同配對${\displaystyle (X,Y,b)}$相容（如弱表示定理所示），事實上是最弱的拓撲。還有一種與這種配對相容的最強拓撲，即麥基拓撲。 若N是非自反的賦范空間，則其連續對偶空間上通常的范拓撲同對偶${\displaystyle \left(N^{\prime },N\right)}$不相容。^[1]

麥基–阿倫定理

主條目：麥基–阿倫定理、麥基拓撲和麥基空間

下面是對偶理論中最重要的定理之一。

麥基–阿倫定理 I^[1] — 令${\displaystyle (X,Y,b)}$是配對，使X分離Y的點，並令${\displaystyle {\mathcal {T}}}$是X上的局部凸拓撲（不必豪斯多夫）。 則，若且唯若${\displaystyle {\mathcal {T}}}$是由某覆蓋了Y的^{[note 9]}${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$-緊圓盤集合${\displaystyle {\mathcal {G}}}$確定的極拓撲時，稱${\displaystyle {\mathcal {T}}}$與配對${\displaystyle (X,Y,b)}$相容。

由此可見，麥基拓撲${\displaystyle \tau (X,Y,b)}$是由Y中所有${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$-緊圓盤生成的極拓撲，是X上與配對 ${\displaystyle (X,Y,b)}$相容的最強局部凸拓撲。 給定拓撲與麥基拓撲相同的局部凸空間稱作麥基空間。 上述麥基-阿倫定理的一下結果也稱作麥基-阿倫定理。

麥基–阿倫定理 II^[1] — 令${\displaystyle (X,Y,b)}$是配對，使得X分離Y的點，並且${\displaystyle {\mathcal {T}}}$是X上的局部凸拓撲。則，若且唯若${\displaystyle \sigma (X,Y,b)\subseteq {\mathcal {T}}\subseteq \tau (X,Y,b)}$，${\displaystyle {\mathcal {T}}}$與配對相容。

麥基定理、桶與閉凸集

若X是（${\displaystyle \mathbb {R} }$或${\displaystyle \mathbb {C} }$上的）拓撲向量空間，則半空間（half-space）是形式為${\displaystyle \{x\in X:f(x)\leq r\}}$的集合。（r是實數，f是X上的連續實值線性泛函）

定理 — 若X是（${\displaystyle \mathbb {R} }$或${\displaystyle \mathbb {C} }$上的）局部凸空間、C是X的非空閉凸子集，則${\displaystyle C}$等於包含它的所有閉半空間的交。^[9]

上述定理說明，局部凸空間的閉子集和凸子集完全取決於連續對偶空間。於是，在任何與配對相容的拓撲中，閉子集和凸子集都相同；即，若${\displaystyle {\mathcal {T}}}$、${\displaystyle {\mathcal {L}}}$是X上的任意局部凸拓撲，且有同樣的連續對偶空間，則若且唯若X的凸子集在${\displaystyle {\mathcal {L}}}$拓撲中封閉，，此子集也在${\displaystyle {\mathcal {T}}}$拓撲中封閉。 這說明，X任意凸子集的${\displaystyle {\mathcal {T}}}$-閉等同於其${\displaystyle {\mathcal {L}}}$-閉，對X中任意${\displaystyle {\mathcal {T}}}$-閉圓盤A，${\displaystyle A=A^{\circ \circ }}$。^[1] 特別地，若B是X的一個子集，則若且唯若B是${\displaystyle (X,{\mathcal {L}})}$中的桶時，B也是${\displaystyle (X,{\mathcal {L}})}$中的桶。^[1]

下面的定理說明，桶（即閉吸收圓盤）恰是弱有界子集的極。

定理^[1] — 令${\displaystyle (X,Y,b)}$是配對，使得X分離Y的點，並令${\displaystyle {\mathcal {T}}}$為配對的某拓撲。 則若且唯若X的子集等於Y的某${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$-有界子集的極時，此子集是X中的桶。

若X是拓撲向量空間，則^[1][10]

1. X的閉吸收平衡子集B吸收X的所有凸緊子集（即存在正實數r使得${\displaystyle rB}$包含此集）。
2. 若X是豪斯多夫局部凸的，則X中每個桶都吸收X的每個凸有界完備子集。

所有這些都引出了麥基定理，這是對偶系統理論的核心定理之一。簡言之，定理支出，對符合相同對偶性的兩豪斯多夫局部凸拓撲，有界子集是相同的。

麥基定理^[10][1] — 設${\displaystyle (X,{\mathcal {L}})}$是豪斯多夫局部凸空間，有連續對偶空間${\displaystyle X^{\prime }}$，並考慮規範對偶${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }$。 若${\displaystyle {\mathcal {L}}}$是X上任意與對偶${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }$相容的拓撲，則${\displaystyle (X,{\mathcal {L}})}$的有界子集與${\displaystyle (X,{\mathcal {L}})}$的有界子集相同。

有限序列空間

令X表示純量${\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$的所有序列的空間，且對所有足夠大的i都有${\displaystyle r_{i}=0}$。 令${\displaystyle Y=X}$，定義雙線性映射${\displaystyle b:X\times X\to \mathbb {K} }$為 $${\displaystyle b\left(r_{\bullet },s_{\bullet }\right):=\sum _{i=1}^{\infty }r_{i}s_{i}.}$$ 則${\displaystyle \sigma (X,X,b)=\tau (X,X,b)}$。^[1] 此外，若且唯若存在正實數序列${\displaystyle m_{\bullet }=\left(m_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$，使得${\displaystyle \left|t_{i}\right|\leq m_{i},\ \forall t_{\bullet }=\left(t_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\in T}$、及所有指標i（或還有${\displaystyle m_{\bullet }\in X}$）時，子集${\displaystyle T\subseteq X}$是${\displaystyle \sigma (X,X,b)}$-有界（或${\displaystyle \beta (X,X,b)}$-有界）的。^[1]

由此可見，X的子集中有弱有界（即${\displaystyle \sigma (X,X,b)}$-有界）的，但沒有強有界（即無${\displaystyle \beta (X,X,b)}$-有界）的。

另見

• Beta對偶空間
• 雙正交系統
• 對偶空間
• 對偶拓撲
• 對偶 (數學)
• 內積
• L半內積
• 配對 (數學)
• 極集
• 極拓撲
• 約化對偶對
• 強對偶空間
• 線性映射空間泛函
• 弱拓撲