十二律

十二律是中國傳統音樂使用的音律，後來逐漸傳入到朝鮮、日本、越南等東南亞國家。律，本指用來定音的竹管，古人用十二個不同長度的律管，吹出十二個高度不同的標準音高，以定出音階的高低，故這十二個標準音高也叫十二律。

中國古代以「三分損益法」定律，將十二個音逐個導出；而前五個音與主音的數學關係較為簡單，同時也是常用音階，故又與十二個音並稱五音十二律。

音調

十二律分為陰陽兩類，奇數六律為陽律，叫做六律；偶數六律為陰呂，稱為六呂，合稱律呂。一般所說的六律包括陰陽各六的十二律。

律名	相對黃鐘之音程	相對黃鐘之頻率比例	音訊
黃鐘	主音/純一度	${\displaystyle 1:1}$	播放ⓘ
大呂	半音	${\displaystyle 3^{7}:2^{11}}$	播放ⓘ
太簇	大二度	${\displaystyle 3^{2}:2^{3}}$	播放ⓘ
夾（ㄐㄧㄚˊ）鐘	小三度	${\displaystyle 3^{9}:2^{14}}$	播放ⓘ
姑洗（ㄒㄧㄢˇ）	大三度	${\displaystyle 3^{4}:2^{6}}$	播放ⓘ
仲呂	完全四度	${\displaystyle 3^{11}:2^{17}}$	播放ⓘ
蕤（ㄖㄨㄟˊ）賓	增四度	${\displaystyle 3^{6}:2^{9}}$	播放ⓘ
林鐘	純五度	${\displaystyle 3:2}$	播放ⓘ
夷則	小六度	${\displaystyle 3^{8}:2^{12}}$	播放ⓘ
南呂	大六度	${\displaystyle 3^{3}:2^{4}}$	播放ⓘ
無射（ㄧˋ）	小七度	${\displaystyle 3^{10}:2^{15}}$	播放ⓘ
應（ㄧㄥˋ）鐘	大七度	${\displaystyle 3^{5}:2^{7}}$	播放ⓘ

三分損益法

相傳三分損益法為管仲所發明。^[1]

司馬遷的《史記》「律書第三」中寫到：「……九九八十一以為宮。三分去一，五十四以為徵。三分益一，七十二以為商。三分去一，四十八以為羽。三分益一，六十四以為角。」

意思是取一根用來定音的竹管，長為81單位，定為「宮音」。然後將81乘上2/3，就得到54單位，定為「徵音」。將徵音的竹管長度54乘上4/3，得到72單位，定為「商音」。將商音72乘2/3，得48單位，為「羽音」。羽音48乘4/3，得64單位，為「角音」。而這宮、商、角、徵、羽五個音高，被稱為中國的五音。

中國音樂中用來定音律的「三分損益法」的確立是考「中聲」而量之以制。儒家的「中聲」指音高、速度適中的有節制的音樂，「琴瑟尚宮，鍾尚羽，石尚角，匏竹利制，大不逾宮，細不過羽」^[2]，要舍卻彈奏中的「煩手」（複雜多變）。《左傳》有鮮明排斥過度追求音響、速度變化的「淫聲」、以能使人保持平和「中聲」為美的思想^[3]。 「畢氏學派」中的「五度相生律」與三分損益法相似，但是五度相生律與三分益損法上下生成次序有不同，產生的音階相對應為中國音階中的燕調式，與中國流行的宮調式不同。

三分損益與十二律的相關物理

在聲學中，聲高指物體振動的頻率。取一簡單物體用來定音高時（如竹管、絲絃），則它的頻率與其長度是成反比的關係。如果物體的材質固定，長度愈長，聲音愈低。

除此之外，當長度減為一半時，頻率將變為原先的兩倍；長度增成為原先的兩倍時，頻率成為原先的一半。將這種互為二倍數的特殊比例，定義為彼此互為「八度音」。由此，便可以從九九八十一的長度出發，試算前述藉由「三分損益」求得的長度，所得到的十二律（宮調）：

黃鐘（C）：${\displaystyle 81}$ （${\displaystyle n=0}$）

林鐘（G，由黃鐘三分損而來）：${\displaystyle {81\times {\frac {2}{3}}}=54}$ （${\displaystyle n=0+7=7}$）

太簇（D，由林鐘三分益而來）：${\displaystyle {54\times {\frac {4}{3}}}=72}$ （${\displaystyle n=7-5=2}$）

南呂（A，由太簇三分損而來）：${\displaystyle {72\times {\frac {2}{3}}}=48}$ （${\displaystyle n=2+7=9}$）

姑冼（E，由南呂三分益而來）：${\displaystyle {48\times {\frac {4}{3}}}=64}$ （${\displaystyle n=9-5=4}$）

應鐘（B，由姑冼三分損而來）：${\displaystyle {64\times {\frac {2}{3}}}=42{\frac {2}{3}}\approx 42.66666666667}$ （${\displaystyle n=4+7=11}$）

蕤賓（F♯，由應鐘三分益而來）：${\displaystyle {42{\frac {2}{3}}\times {\frac {4}{3}}}=56{\frac {8}{9}}\approx 56.88888888889}$ （${\displaystyle n=11-5=6}$）

大呂（C♯，由蕤賓三分益而來）：${\displaystyle {56{\frac {8}{9}}\times {\frac {4}{3}}}=75{\frac {23}{27}}\approx 75.85185185185}$ （${\displaystyle n=6-5=1}$）

夷則（G♯/A♭，由大呂三分損而來）：${\displaystyle {75{\frac {23}{27}}\times {\frac {2}{3}}}=50{\frac {46}{81}}\approx 50.56790123457}$ （${\displaystyle n=1+7=8}$）

夾鐘（D♯/E♭，由夷則三分益而來）：${\displaystyle {50{\frac {46}{81}}\times {\frac {4}{3}}}=67{\frac {103}{243}}\approx 67.42386831276}$ （${\displaystyle n=8-5=3}$）

無射（A♯/B♭，由夾鐘三分損而來）：${\displaystyle {67{\frac {103}{243}}\times {\frac {2}{3}}}=44{\frac {692}{729}}\approx 44.9492455418381344307}$ （${\displaystyle n=3+7=10}$）

仲呂（F，由無射三分益而來）：${\displaystyle {44{\frac {692}{729}}\times {\frac {4}{3}}}=59{\frac {2039}{2187}}\approx 59.93232738911751257430269776}$ （${\displaystyle n=10-5=5}$）

清黃鐘（黃鐘的高八度音，由仲呂三分損而來）：${\displaystyle {59{\frac {2039}{2187}}\times {\frac {2}{3}}}=39{\frac {6265}{6561}}\approx 39.954884926078341716201798506254}$ （${\displaystyle n=5+7=12}$）

• 注意，最後一個「清黃鐘」的長度${\displaystyle 39.9548849}$與直接取「黃鐘」長度的一半${\displaystyle 40.5}$仍有一段小小的差距，這就是「黃鐘不能還原」的問題；因為在連乘十二次${\displaystyle {\frac {2}{3}}}$或${\displaystyle {\frac {4}{3}}}$後，最後的值不可能達到原始的${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$（${\displaystyle {\frac {2^{6}\times 4^{6}}{3^{12}}}\approx 0.49327018427257211995310862353488}$）
• 另外，若在定律時不斷使用三分損益的操作，最後一定會出現除不盡的小數，使得實際製作時易產生誤差；然而現實上，準確度（Accuracy）與精密度（Precision）絕對有其極限，故經過十二次三分損益後已可以構成一個（不甚完美）的音階循環；這也是為何中西音樂理論中都不約而同發展為以「12音階」為主流的原因，之後才會出現如純律、十二平均律等不同的改進或修正方法

從上面所計算出來的結果，對照《史記·律書》中的文字，便可發現當中的抄錄錯誤。宋代沈括的《夢溪筆談》，便記載了《律書》當中出現「七分」之類的文字，當為「十分」的誤寫。因此原文中的黃鐘「八寸七分一」為「八寸十分一」（81分）才合理。以下列出古音十二律與史記的文字記載比較，並附上與西方「參考音名」與「十二平均律的誤差」計算。

大塚寅藏著『新案日本數字符　明清樂獨學』所附「和漢洋十二音律對照表」

中國音名	三分損益（由原文更正後）	西方音名	十二平均律	三分損益與十二平均律之偏差（%）
黃鐘	81	C	81	-
林鐘	54	G	54.0610	0.11
太簇	72	D	72.1628	0.23
南呂	48	A	48.1629	0.34
姑洗	64	E	64.2898	0.45
應鐘	42.6667	B	42.9083	0.56
蕤賓	56.8889	F♯	57.2757	0.68
大呂	75.8519	C♯	76.4538	0.79
夷則	50.5679	G♯	51.0268	0.90
夾鐘	67.4239	D♯	68.1126	1.01
無射	44.9492	A♯	45.4597	1.12
仲呂	59.9323	F	60.6814	1.23

若不照音高排列，而是如上表照三分損益法排列十二律，則會發現其順序與五度圈自C開始往順時鐘方向的音位排列恰巧一樣。

音律與曆法的配合

由於音律與一年中的月分恰好都定有十二個，於是在中國上古時代，人們便把十二律和十二月聯繫起來，又名十二月律。例如大秦景教流行中國碑中有「太蔟月」即正月。依照《禮記·月令》上的記載，它們之間的對應為：

孟春之月，律中太簇；
仲春之月，律中夾鐘；
季春之月，律中姑洗；
孟夏之月，律中仲呂；
仲夏之月，律中蕤賓；
季夏之月，律中林鐘；
孟秋之月，律中夷則；
仲秋之月，律中南呂；
季秋之月，律中無射；
孟冬之月，律中應鐘；
仲冬之月，律中黃鐘；
季冬之月，律中大呂。

所謂「律中」就是「音律的對應」，其徵驗的方法則是憑「吹灰」。據說古人將十二根律管裡塞入葭莩的灰，只要到了某個月分，相對應的那一隻律管中的灰就會自動地飛揚出來，這便是「吹灰候氣」、「夷則為七月之律」等詞彙的典故。當然以今日的觀點，吹灰候氣並沒有現實的根據。

值得注意的一點，十二律中最基本的是黃鐘，而中國曆法最基本的則是含有冬至的月份。《月令》中所列出的，正是以黃鐘對應冬至所在的仲冬月分——子月（大雪至小寒之月）。

另外，《周髀算經》提及由於中國古代使用天干地支，以六十年甲子為一個週期，而60又有2、3、4、5、6、10、12、15、20、30等因數，所以不同時期規律出現的天象，會在60年內集中重複，這些看似奇異的現象實際上是可以用數理邏輯解釋清楚的。