拓撲空間

拓撲空間（英語：Topological space）是一種賦予「一點附近」這個概念的抽象數學結構；拓撲空間也是一個集合，其元素稱為點，由此可以定義出如收斂、連通、連續等概念。拓撲空間在現代數學的各個分支都有應用，是一個居於中心地位的、統一性的概念。拓撲空間有獨立研究的價值，研究拓撲空間的數學分支稱為拓撲學。

定義動機

拓撲結構最實用的動機，在於怎麼去定義「一點的附近」，用以定義函數極限。

對於度量空間 ${\displaystyle (M,\,d)}$ 內的任一點 ${\displaystyle x}$，可定義中心為 ${\displaystyle x}$，半徑為 ${\displaystyle r>0}$ 的開球

${\displaystyle B(x;r):=\left\{y\in M\,{\bigg |}\,d(x,\,y)<r\right\}}$

然後把開球視為點 ${\displaystyle x}$ 附近的「開放邊界區域」。但考慮到「區域」應該是有任意形狀的，那一般的「開放邊界區域」，應該是任取裡面的點 ${\displaystyle x}$ ，都會有一個夠小的開球 ${\displaystyle B(x;r)}$ 完全落在這個區域裡，也就是說，可以定義 ${\displaystyle (M,\,d)}$ 的開子集 ${\displaystyle O\subseteq M}$ 為滿足如下條件的子集合

${\displaystyle (\forall x\in O)(\exists r>0)[\,B(x;r)\subseteq O\,]}$

這樣定義的開集有一些有趣的性質：

(1) 任二開集的交集也是開集

任取兩個 ${\displaystyle (M,\,d)}$ 的開子集 ${\displaystyle O_{1},\,O_{2}\subseteq M}$ ，若 ${\displaystyle x\in O_{1}\cap O_{2}}$ ，根據定義存在 ${\displaystyle r_{1},\,r_{2}>0}$ 使得

${\displaystyle B(x;r_{1})\subseteq O_{1}}$

${\displaystyle B(x;r_{2})\subseteq O_{2}}$

這樣若取 ${\displaystyle r=\min {\{r_{1},\,r_{2}\}}}$ ，則會有：

${\displaystyle B(x;r)\subseteq O_{1}\cap O_{2}}$

也就是說， ${\displaystyle O_{1}\cap O_{2}}$ 也是個開集。

(2) 任意個開集的聯集也會是開集

若 ${\displaystyle {\mathfrak {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(M)}$ 是一群開集所構成的集合，也就是說

${\displaystyle \forall O\{(O\in {\mathfrak {A}})\Rightarrow (\forall x\in O)(\exists r>0)[\,B(x;r)\subseteq O\,]\}}$

如果取

${\displaystyle a\in \bigcup {\mathfrak {A}}}$

換句話說：

${\displaystyle \exists O[\,(O\in {\mathfrak {A}})\wedge (a\in O)\,]}$

這樣的話，顯然有

${\displaystyle (\exists r>0)\left[\,B(a;r)\subseteq \bigcup {\mathfrak {A}}\,\right]}$

所以 ${\displaystyle \bigcup {\mathfrak {A}}}$ 也會是一個開集。

以上的性質促使人們在不依託度量情況下，去定義一個描述「一點的附近」的結構，換句話說，去抽象的定義一群開集是這麼樣的特殊集合，任二開集的交集是開的且任意開集的聯集也是開的。

正式定義

上圖為三點集合{1,2,3}上四個拓撲的例子和兩個反例。左下角的集合並不是個拓撲空間，因為缺少{2}和{3}的聯集{2,3}；右下角的集合也不是個拓撲空間，因為缺少{1,2}和{2,3}的交集{2}。

拓撲結構一詞涵蓋了開集系，閉集系，鄰域系，開核，閉包，導來集，濾子等若干概念。可以從這些概念出發，給出若干種等價結構，但大部分書籍都以開集系為準。

開集系

根據定義動機一節可以作如下的定義：

 ${\displaystyle X}$ 的子集族 ${\displaystyle {\mathfrak {O}}\subseteq {\mathcal {P}}(M)}$ 若滿足以下開集公理

正式定義	直觀解釋
${\displaystyle X,\,\varnothing \in {\mathfrak {O}}}$	${\displaystyle X}$ 本身和空集合也是開的
${\displaystyle \forall O_{1}\forall O_{2}[\,(O_{1},\,O_{2}\in {\mathfrak {O}})\Rightarrow (O_{1}\cap O_{2}\in {\mathfrak {O}})\,]}$	有限個開集的交集也是開的
${\displaystyle \forall {\mathfrak {A}}\left[\,({\mathfrak {A}}\subseteq {\mathfrak {O}})\Rightarrow \left(\bigcup {\mathfrak {A}}\in {\mathfrak {O}}\right)\,\right]}$	任意個開集的聯集也是開的

則稱 ${\displaystyle {\mathfrak {O}}}$ 為 ${\displaystyle X}$ 的開集系（其中的元素稱為開集）或拓撲，${\displaystyle (X,\,{\mathfrak {O}})}$ 則被稱為一拓撲空間，${\displaystyle X}$ 內的元素 ${\displaystyle x\in X}$ 則稱為拓撲空間 ${\displaystyle (X,\,{\mathfrak {O}})}$ 的點。

開集系的代號 ${\displaystyle {\mathfrak {O}}}$ 是字母「O」的德文尖角體，取名自德語形容詞「offen」（開的）。

從開集系出發定義其它概念：（${\displaystyle A\subseteq X}$ 為 ${\displaystyle X}$ 的子集）

• 閉集：若 ${\displaystyle X-A}$ 是開集，則稱 ${\displaystyle A}$ 是閉集。
• 鄰域：若存在開集 ${\displaystyle O}$ 使得 ${\displaystyle x\in O\subseteq A}$ ，則稱 ${\displaystyle A}$ 是點 ${\displaystyle x}$ 的鄰域。
• 開核：${\displaystyle A}$ 的開核（或內部）${\displaystyle A^{\circ }}$ 定義為${\displaystyle A}$ 內所有開集之並，也就是
  ${\displaystyle A^{\circ }:=\bigcup \left\{O\in {\mathfrak {O}}\,{\big |}\,O\subseteq A\right\}}$

閉集系

${\displaystyle X}$ 的子集族 ${\displaystyle {\mathfrak {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$ 若滿足如下閉集公理：

正式定義	直觀解釋
${\displaystyle X,\,\varnothing \in {\mathfrak {F}}}$	${\displaystyle X}$ 本身和空集合也是閉的
${\displaystyle \forall F_{1}\forall F_{2}[\,(F_{1},\,F_{2}\in {\mathfrak {F}})\Rightarrow (F_{1}\cup F_{2}\in {\mathfrak {F}})\,]}$	有限個閉集的聯集是閉的
${\displaystyle \forall {\mathfrak {B}}\left[\,({\mathfrak {B}}\subseteq {\mathfrak {F}})\Rightarrow \left(\bigcap {\mathfrak {B}}\in {\mathfrak {F}}\right)\,\right]}$	任意個閉集的交集是閉的

則稱 ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ 為 ${\displaystyle X}$ 的閉集系（其中的元素稱為閉集）。

閉集系的代號 ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ 是字母「 F」 的德文尖角體，取名自法語動詞「fermer」（關閉）的過去分詞「fermé」（封閉的）。

根據德摩根定理和量詞符號的意義，以下的子集族

${\displaystyle {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {F}}=\left\{O\in {\mathcal {P}}(X)\,{\big |}\,X-O\in {\mathfrak {F}}\right\}}$

為開集系，類似地，對於開集系 ${\displaystyle {\mathfrak {O}}}$ ，以下的子集族

${\displaystyle {\mathfrak {F}}_{\mathfrak {O}}=\left\{F\in {\mathcal {P}}(X)\,{\big |}\,X-F\in {\mathfrak {O}}\right\}}$

為閉集系，所以閉集系跟拓撲是等價的結構。

從閉集系出發定義其它概念：（${\displaystyle A\subseteq X}$ 為 ${\displaystyle X}$ 的子集）

• 開集：${\displaystyle X-A}$ 是閉集，則稱 ${\displaystyle A}$ 是開集。
• 閉包：${\displaystyle A}$ 的閉包${\displaystyle {\overline {A}}}$ 定義為包含A的所有閉集之交，也就是
  ${\displaystyle {\overline {A}}:=\bigcap \left\{F\in {\mathfrak {F}}\,{\big |}\,A\subseteq F\right\}}$

鄰域系

函數 ${\displaystyle {\mathfrak {U}}:X\to {\mathcal {P}}[{\mathcal {P}}(X)]}$（ ${\displaystyle {\mathcal {P}}[{\mathcal {P}}(X)]}$ 指 ${\displaystyle X}$ 的冪集的冪集，也就是由所有子集族所構成的集合）若對任意 ${\displaystyle x\in X}$ 滿足如下鄰域公理：

正式定義	直觀解釋
${\displaystyle \forall U\{\,[\,U\in {\mathfrak {U}}(x)\,]\Rightarrow (x\in U)\,\}}$	${\displaystyle x}$ 屬於 ${\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)}$ 的任意元素（${\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)}$ 裡的元素都是 ${\displaystyle x}$ 的鄰域）
${\displaystyle \forall U\forall V\{\,[\,U,\,V\in {\mathfrak {U}}(x)\,]\Rightarrow [\,U\cap V\in {\mathfrak {U}}(x)\,]\,\}}$	${\displaystyle x}$ 的任二鄰域的交集也是 ${\displaystyle x}$ 的鄰域
${\displaystyle (\forall V\subseteq X)[\,\forall U\in {\mathfrak {U}}(x)\,]\{\,(U\subseteq V)\Rightarrow [\,V\in {\mathfrak {U}}(x)\,]\,\}}$	包含任何 ${\displaystyle x}$ 的鄰域的任意子集也是 ${\displaystyle x}$ 的鄰域
${\displaystyle [\,\forall U\in {\mathfrak {U}}(x)\,][\,\exists V\in {\mathfrak {U}}(x)\,]\{\,(V\subseteq U)\wedge (\forall y\in V)[\,U\in {\mathfrak {U}}(y)\,]\,\}}$	${\displaystyle x}$ 的每個鄰域內有個 ${\displaystyle x}$ 的鄰域，使的大鄰域都是小鄰域裡面點的領域

這樣任意 ${\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)}$ 被稱為 ${\displaystyle x}$ 的鄰域系， ${\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)}$ 裡的元素 ${\displaystyle U\in {\mathfrak {U}}(x)}$ 則稱為 ${\displaystyle x}$ 的鄰域。

換句話說，函數 ${\displaystyle {\mathfrak {U}}}$ 將 ${\displaystyle X}$ 的每個點 ${\displaystyle x\in X}$ 映射至 ${\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)}$ ，而 ${\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)}$ 則是所有 ${\displaystyle x}$ 的鄰域所構成的集族。

鄰域系的代號 ${\displaystyle {\mathfrak {U}}}$ 是字母「 U」 的德文尖角體，取名自德語動詞「 umgeben」（環繞）的名詞化「Umgebung」（周圍、環境）。

若取以下的子集族

${\displaystyle {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {U}}=\left\{O\in {\mathcal {P}}(X)\,{\big |}\,(\forall x)\{\,(x\in O)\Rightarrow [\,O\in {\mathfrak {U}}(x)\,]\,\}\right\}}$

因為 ${\displaystyle X}$ 包含任意鄰域， ${\displaystyle X}$ 本身顯然為任意 ${\displaystyle x\in X}$ 的領域，故 ${\displaystyle X\in {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {U}}}$ ；另外空集合 ${\displaystyle \varnothing }$ 沒有任何屬於它的點，所以根據實質條件的意義，${\displaystyle \varnothing \in {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {U}}}$。

若取 ${\displaystyle O_{1},\,O_{2}\in {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {U}}}$ ，根據鄰域公理的第二項有 ${\displaystyle O_{1}\cap O_{2}\in {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {U}}}$ ；若取 ${\displaystyle {\mathfrak {B}}\subseteq {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {U}}}$ ，且 ${\displaystyle x\in \bigcup {\mathfrak {B}}}$ ，那換句話說

${\displaystyle \exists O[\,(O\in {\mathfrak {B}})\wedge (x\in O)\,]}$

這樣的話有

${\displaystyle \exists O[\,(O\in {\mathfrak {B}})\wedge (x\in O)\wedge (O\in {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {U}})\,]}$

那這樣根據鄰域公理第三項，${\displaystyle \bigcup {\mathfrak {B}}\in {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {U}}}$，所以 ${\displaystyle {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {U}}}$ 的確是個開集合系。

類似地對於開集系 ${\displaystyle {\mathfrak {O}}}$ ，若對任意 ${\displaystyle x\in X}$ 取

${\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)=\left\{U\in {\mathcal {P}}(X)\,{\big |}\,\exists O[\,(O\in {\mathfrak {O}})\wedge (O\subseteq U)\wedge (x\in O)\,]\right\}}$

那 ${\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)}$ 也會符合上面四款鄰域系公理（注意到第四項取 ${\displaystyle V=U^{\circ }}$ ），所以對所有 ${\displaystyle x\in X}$ 定義了鄰域系等同於定義了一個拓撲。

從鄰域系出發定義其它概念：（${\displaystyle A\subseteq X}$ 為 ${\displaystyle X}$ 的子集）

• 開集：對任意 ${\displaystyle x\in A}$ ，有 ${\displaystyle A\in {\mathfrak {U}}(x)}$，則稱 ${\displaystyle A}$ 是開集。（開集本身是它所有點的鄰域）
• 開核：${\displaystyle A^{\circ }=\left\{x\in X\,{\big |}\,\exists U\{\,[\,U\in {\mathfrak {U}}(x)\,]\wedge (U\subseteq A)\,\}\right\}}$（開核裡的每一點，都有一個包含於 ${\displaystyle A}$ 的領域。）
• 閉包：${\displaystyle {\overline {A}}=\left\{x\in X\,{\big |}\,\forall U\{[\,U\in {\mathfrak {U}}(x)\,]\Rightarrow (U\cap A\neq \varnothing )\}\right\}}$。（閉包裡每一點的領域，都跟 ${\displaystyle A}$ 有交集。）

閉包公理

${\displaystyle X}$的冪集${\displaystyle P(X)}$上的一元運算${\displaystyle c:P(X)\to P(X)}$（即將${\displaystyle X}$的子集A映射為${\displaystyle X}$的子集${\displaystyle c(A)}$）稱為閉包運算（像稱為原像的閉包）。若且唯若運算${\displaystyle c}$滿足下述的閉包公理：

• A₁：${\displaystyle A\subseteq c(A)}$；
• A₂：${\displaystyle c(c(A))=c(A)}$；
• A₃：${\displaystyle c(A\cup B)=c(A)\cup c(B)}$；
• A₄：${\displaystyle c(\varnothing )=\varnothing }$。

集合${\displaystyle A}$的閉包通常記為${\displaystyle {\overline {A}}}$。

從閉包出發定義其它概念：

• 從閉包定義閉集：${\displaystyle X}$的子集${\displaystyle A}$是閉集，若且唯若${\displaystyle A={\overline {A}}}$。
• 從閉包定義開核：${\displaystyle X}$的子集${\displaystyle A}$的開核${\displaystyle A^{\circ }=X-{\overline {X-A}}}$。
• 從閉包定義鄰域：${\displaystyle X}$的子集${\displaystyle U}$是點${\displaystyle x}$的鄰域，若且唯若${\displaystyle x\notin {\overline {X-U}}}$。

開核公理

${\displaystyle X}$的冪集${\displaystyle P(X)}$上的一元運算${\displaystyle o:P(X)\to P(X)}$（即將${\displaystyle X}$的子集A映射為${\displaystyle X}$的子集${\displaystyle o(A)}$）稱為開核運算（像稱為原像的開核或內部）。若且唯若運算${\displaystyle o}$滿足如下開核公理：

• I₁：${\displaystyle o(A)\subseteq A}$；
• I₂：${\displaystyle o(o(A))=o(A)}$；
• I₃：${\displaystyle o(A\cap B)=o(A)\cap o(B)}$；
• I₄：${\displaystyle o(X)=X}$。

集合${\displaystyle A}$的開核通常記為${\displaystyle A^{\circ }}$。 （顯然，開核運算是閉包運算的對偶概念）。

從開核出發定義其它概念：

• 從開核定義開集：${\displaystyle X}$的子集${\displaystyle A}$是開集，若且唯若${\displaystyle A=A^{\circ }}$。
• 從開核定義鄰域：${\displaystyle X}$的子集${\displaystyle U}$是點${\displaystyle x}$的鄰域，若且唯若${\displaystyle x\in U^{\circ }}$。
• 從開核定義閉包：${\displaystyle X}$的子集${\displaystyle A}$的閉包${\displaystyle {\overline {A}}=X-(X-A)^{\circ }}$。

導來集公理

${\displaystyle X}$的冪集${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$上的一元運算${\displaystyle d:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(X)}$（即將${\displaystyle X}$的子集${\displaystyle A}$映射為${\displaystyle X}$的子集${\displaystyle d(A)}$）稱為導來集運算（像稱為原像的導來集），若且唯若${\displaystyle d}$滿足以下導來集公理：

• D₁：${\displaystyle d(\varnothing )=\varnothing }$；
• D₂：${\displaystyle d(d(A))\subseteq d(A)\cup A}$；
• D₃：${\displaystyle \forall x\in X,\ d(A)=d(A-\{x\})}$；
• D₄：${\displaystyle d(A\cup B)=d(A)\cup d(B)}$

從導來集出發定義其它概念：

• 從導來集定義閉集：${\displaystyle X}$的子集${\displaystyle A}$是閉集，若且唯若${\displaystyle d(A)\subseteq A}$。

拓撲之間的關係

主條目：拓撲比較

同一個全集可以擁有不同的拓撲，有些是有用的，有些是平庸的，這些拓撲之間可以形成一種偏序關係。當拓撲${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}}$的每一個開集都是拓撲${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{2}}$的開集時，稱拓撲${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{2}}$比拓撲${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}}$更細，或稱拓撲${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}}$比拓撲${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{2}}$更粗。

僅依賴於特定開集的存在而成立的結論，在更細的拓撲上依然成立；類似的，僅依賴於特定集合不是開集而成立的結論，在更粗的拓撲上也依然成立。

最粗的拓撲是由空集和全集兩個元素構成的拓撲，最細的拓撲是離散拓撲，這兩個拓撲都是平庸的。

在有些文獻中，我們也用大小或者強弱來表示這裡粗細的概念。

連續映射與同胚

類似定義拓撲空間，連續映射也有基於開集，閉集，開核，閉包和鄰域等概念的等價定義。

定義 — 
${\displaystyle (X,\,{\mathfrak {O}}_{X})}$ 與 ${\displaystyle (Y,\,{\mathfrak {O}}_{Y})}$ 都是拓撲空間，如果函數 ${\displaystyle f:X\to Y}$ 滿足：

${\displaystyle (\forall B\in {\mathfrak {O}}_{Y})[f^{-1}(B)\in {\mathfrak {O}}_{X}]}$

稱 ${\displaystyle f}$ 為 ${\displaystyle {\mathfrak {O}}_{X}}$-${\displaystyle {\mathfrak {O}}_{Y}}$ 連續。

若更進一步，${\displaystyle f}$ 為對射而有反函數 ${\displaystyle f^{-1}:Y\to X}$ 且 ${\displaystyle f^{-1}}$ 為 ${\displaystyle {\mathfrak {O}}_{Y}}$-${\displaystyle {\mathfrak {O}}_{X}}$ 連續，則稱 ${\displaystyle f}$ 為 ${\displaystyle {\mathfrak {O}}_{X}}$-${\displaystyle {\mathfrak {O}}_{Y}}$ 同胚映射，且稱${\displaystyle X}$ 與 ${\displaystyle Y}$ 是同胚的。

性質

• ${\displaystyle f}$對任何閉集的原像是閉集。
• 對點${\displaystyle f(x)}$的任一鄰域${\displaystyle V}$，都存在點${\displaystyle x}$的一個鄰域${\displaystyle U}$，使得${\displaystyle f(U)\subset V}$，則稱${\displaystyle f(x)}$在點${\displaystyle x}$連續，而連續映射即點點連續的映射。
• 對任一集合${\displaystyle A}$，${\displaystyle f({\overline {A}})\subseteq {\overline {f(A)}}}$成立。
• 對任一集合${\displaystyle A}$，${\displaystyle f^{-1}(A^{\circ })\subseteq (f^{-1}(A))^{\circ }}$成立。

拓撲空間範疇

拓撲空間作為物件，連續映射作為態射，構成了拓撲空間範疇，它是數學中的一個基礎性的範疇。試圖通過不變量來對這個範疇進行分類的想法，激發和產生了整個領域的研究工作，包括同倫論、同調論和K-理論。

相關概念

基本概念

給定拓撲空間${\displaystyle (X,\tau )}$，A是X的子集，有以下概念（繼續使用上面的符號）：

內部，內點

A的開核o(A)又稱為A的內部，其元素稱為A的內點。

外部，外點

X - c(A)稱為A的外部，其元素稱為A的外點。

邊界，邊界點

c(A)∩c(X-A)稱為A的邊界，其元素稱為A的邊界點。

觸點

A的閉包c(A)中的點稱為A的觸點。

稠密性，稠密集

稱A在X中是稠密的（或稱稠密集），若且唯若c(A) = X。

邊際集

稱A是X的邊際集，若且唯若X-A在X中是稠密的。

疏性，疏集

稱A在X中是疏的（或稱疏集），若且唯若c(A)是X中的邊際集。

第一範疇集，第二範疇集

稱A是X中的第一範疇集，若且唯若A可以表示為可數個疏集的並。稱A是X中的第二範疇集，若且唯若A不是X中的第一範疇集。

聚點，導來集

X中的點x稱為A的聚點，若且唯若x ∈ c(A - {x})（或者等價地，x的任意鄰域至少包含x以外的A的一個點）。A的所有聚點組成的集合稱為A的導來集。

孤立點

A中的點x稱為A的孤立點，若且唯若它不是A的聚點。

孤點集，離散集

稱A為孤點集或離散集，若且唯若A中所有的點都是A的孤立點。

自密集

稱A為自密集，若且唯若A中的點都是A的聚點（等價地，A中沒有A的孤立點）。

完備集

稱A為完備集，若且唯若A等於其導來集。

自密核

A的最大自密子集稱為A的自密核。

無核集

稱A是無核集，若且唯若A的自密核是∅（或等價地，A的任意非空子集都含有孤立點）。

網

網的目的在推廣序列及極限，網的收性稱作Moore-Smith收斂。其關鍵在於以有向集合代替自然數集${\displaystyle \mathbb {N} }$。

空間${\displaystyle X}$上的一個網${\displaystyle (x_{\alpha })_{\alpha \in A}}$是從有向集合${\displaystyle A}$映至${\displaystyle X}$的映射。

若存在${\displaystyle x\in X}$，使得對每個${\displaystyle x}$的鄰域${\displaystyle U}$都存在${\displaystyle \beta \in A}$，使得${\displaystyle \alpha \geq \beta \Rightarrow x_{\alpha }\in U}$，則稱網${\displaystyle (x_{\alpha })_{\alpha \in A}}$收斂至${\displaystyle x}$。

幾乎所有點集拓撲學的基本概念都能表述作網的收斂性，請參閱主條目網

拓撲空間的例子

• 實數集R構成一個拓撲空間：全體開區間構成其上的一組拓撲基，其上的拓撲就由這組基來生成。這意味著實數集R上的開集是一組開區間的並（開區間的數量可以是無窮多個，但進一步可以證明，所有的開集可以表示為可數個互不相交的開區間的並）。從許多方面來說，實數集都是最基本的拓撲空間，並且它也指導著我們獲得對拓撲空間的許多直觀理解；但是也存在許多「奇怪」的拓撲空間，它們有悖於我們從實數集獲得的直觀理解。
• 更一般的，n維歐幾里得空間Rⁿ構成一個拓撲空間，其上的開集就由開球來生成。
• 任何度量空間都可構成一個拓撲空間，如果其上的開集由開球來生成。這中情況包括了許多非常有用的無窮維空間，如泛函分析領域中的Banach空間和希爾伯特空間。
• 任何局部體都自然地擁有一個拓撲，並且這個拓撲可以擴張成為這個域上的向量空間。
• 除了由全體開區間生成的拓撲之外，實數集還可以賦予另外一種拓撲—下限拓撲（lower limit topology）。這種拓撲的開集由下列點集構成—空集、全集和由全體半開區間[a, b)生成的集合。這種拓撲嚴格地細於上面定義的歐幾里得拓撲；在這種拓撲空間中，一個點列收斂於一點，若且唯若，該點列在歐幾里得拓撲中也收斂於這個點。這樣我們就給出了一個集合擁有不同拓撲的示例。
• 流形都是一個拓撲空間。
• 每一個單形都是一個拓撲空間。單形是一種在計算幾何學中非常有用的凸集。在0、1、2和3維空間中，相應的單形分別是點、線段、三角形和四面體。
• 每一個單體複形都是一個拓撲空間。一個單體複形由許多單形構成。許多幾何體都可以通過單體複形—來建立模型，參見多胞形（Polytope）。
• 扎里斯基拓撲是一種純粹由代數來定義的拓撲，這種拓撲建立在某個環的交換環譜之上或者某個代數簇之上。對Rⁿ或者Cⁿ來說，相應扎里斯基拓撲定義的閉集，就是由全體多項式方程式的解集合構成。
• 線性圖是一種能推廣圖的許多幾何性質的拓撲空間。
• 泛函分析中的許多算子集合可以獲得一種特殊的拓撲，在這種拓撲空間中某一類函數序列收斂於零函數。
• 任何集合都可以賦予離散拓撲。在離散拓撲中任何一個子集都是開集。在這種拓撲空間中，只有常數列或者網是收斂的。
• 任何集合都可以賦予平庸拓撲。在平庸拓撲中只有空集和全集是開集。在這種拓撲空間中，任和一個序列或者網都收斂於任何一個點。這個例子告訴我們，在某些極端情況下，一個序列或者網可能不會收斂於唯一的一個點。
• 有限補拓撲。設X是一個集合。X的所有有限子集的補集加上空集，構成X上的一個拓撲。相應的拓撲空間稱為有限補空間。有限補空間是這個集合上最小的T₁拓撲。
• 可數補拓撲。設X是一個集合。X的所有可數子集的補集加上空集，構成X上的一個拓撲。相應的拓撲空間稱為可數補空間。
• 如果Γ是一個序數，則集合[0, Γ]是一個拓撲空間，該拓撲可以由區間(a, b]生成，此處a和b是Γ的元素。

例子

1. X = {1,2,3,4} 和 X 內兩個子集組成的集族 τ = {∅, X} 會形成一個密著拓撲。
2. X = {1,2,3,4} 和 X 內六個子集組成的集族 τ = {∅,{2},{1,2},{2,3},{1,2,3},{1,2,3,4}} 會形成另一個拓撲。
3. X = ℤ（整數集合）及集族 τ 等於所有的有限整數子集加上 ℤ 自身不是一個拓撲，因為（例如）所有不包含零的有限集合的聯集是無限的，但不是 ℤ 的全部，因此不在 τ 內。
4. 1個元素的集上總拓撲數顯然只有1個。
5. 2個元素的集上總拓撲數顯然只有4個。
6. 3個元素的集上總拓撲數只有29個。
7. 4個元素的集上總拓撲數只有355個。
8. n個元素的集上總拓撲數規律還在研究中，不過已取得些成果。參見OEIS-A000798說明

3點集 X={a,b,c}的拓撲總共有29個,可分為九類，具體如下：

1. {∅, X}
2. {∅,{a},X},{∅,{b},X},{∅,{c},X}
3. {∅,{a,b},X},{∅,{a,c},X},{∅,{b,c},X}
4. {∅,{a},{b,c},X},{∅,{b},{a,c},X},{∅,{c},{a,b},X}
5. {∅,{a},{a,b},X},{∅,{a},{a,c},X},{∅,{b},{a,b},X},{∅,{b},{b,c},X},{∅,{c},{a,c},X},{∅,{c},{b,c},X}
6. {∅,{a},{a,b},{a,c},X},{∅,{b},{a,b},{b,c},X},{∅,{c},{a,c},{b,c},X}
7. {∅,{a},{b},{a,b},X},{∅,{a},{c},{a,c},X},{∅,{b},{c},{b,c},X}
8. {∅,{a},{b},{a,b},{a,c},X},{∅,{a},{b},{a,b},{b,c},X},{∅,{a},{c},{a,b},{a,c},X},{∅,{a},{c},{a,c},{b,c},X},{∅,{b},{c},{a,b},{b,c},X},{∅,{b},{c},{a,c},{b,c},X}
9. {∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},X}

拓撲空間的構造

• 拓撲空間的任何一個子集都可以被賦予一個子空間拓撲，子空間拓撲中的開集是全空間上的開集和子空間的交。
• 對任何非空的拓撲空間族，我們可以構造出這些拓撲空間的積上的拓撲，這種拓撲稱為積拓撲。對於有限積來說，積空間上的開集可以由空間族中各個空間的開集的積生成出來。
• 商拓撲可以被如下地定義出來：若X是一個拓撲空間，Y是一個集合，如果f : X  →  Y是一個滿射，那麼Y獲得一個拓撲；該拓撲的開集可如此定義，一個集合是開的，若且唯若它的逆像也是開的。可以利用f自然投影確定下X上的等價類，從而給出拓撲空間X上的一個等價關係。
• Vietoris拓撲

拓撲空間的分類

依據點和集合分離的程度、大小、連通程度、緊性等。可以對拓撲空間進行各種各樣的分類。並且由於這些分類產生了許多不同的術語。

以下假設X為一個拓撲空間。

分離公理

詳細資料請參照分離公理以及相關條碼。有些術語在老的文獻中採用了不同地定義方式，請參照分離公理的歷史。

拓撲不可區分性

X中兩個點x，y稱為拓撲不可區分的，若且唯若如下結論之一成立：

• 對X中每個開集U，或者U同時包含x，y兩者，或者同時不包含它們。
• x的鄰域系和y的鄰域系相同。
• ${\displaystyle x\in {\overline {\{y\}}}}$，且${\displaystyle y\in {\overline {\{x\}}}}$。

可數公理

可分的

X稱為可分的，若且唯若它擁有一個可數的稠密子集。

第一可數

X稱為第一可數的，若且唯若其任何一個點都有一個可數的局部基。

第二可數

X稱為第二可數的，若且唯若其擁有一個可數的基。

連通性

連通

X稱為連通的，若且唯若它不是兩個無交的非空開集的並。（或等價地，該空間的閉開集（既開又閉的集合）只有空集和全空間兩者）。

局部連通

X稱為局部連通的，若且唯若它的每個點都存在一個特殊的局部基，這個局部基由連通集構成。

完全不連通

X稱為完全不連通的，若且唯若不存在多於一個點的連通子集。

路徑連通

X稱為路徑連通的，若且唯若其任意兩點x和y，存在從x到y的道路p，也即，存在一個連續映射p: [0,1] → X，滿足p（0）= x 且p（1）= y。路徑連通的空間總是連通的。

局部路徑連通

X稱為局部路徑連通的，若且唯若其每個點都有一個特殊的局部基，這個局部基由路徑連通集構成。一個局部路徑連通空間是連通的，若且唯若它是路徑連通的。

單連通

X稱為單連通的，若且唯若它是路徑連通且每個連續映射${\displaystyle f:\mathbb {S} ^{1}\rightarrow X}$都與常數映射同倫。

可縮

X稱為可縮的，若且唯若它同倫等價到一點。

超連通

X稱為超連通的，若且唯若任兩個非空開集的交集非空。超連通蘊含連通。

極連通

X稱為極連通的，若且唯若任兩個非空閉集的交集非空。極連通蘊含路徑連通。

平庸的

X稱為平庸的，若且唯若其開集只有本身與空集。

緊性

（詳細資料請參照緊集）

緊性

X稱為緊的，若且唯若其任意開覆蓋都有有限開覆蓋的加細。

林德洛夫性質

X稱為擁有林德洛夫性質，若且唯若其任意開覆蓋都有可數開覆蓋的加細。

仿緊

X稱為仿緊的，若且唯若其任意開覆蓋都有局部有限開覆蓋的加細。

可數緊

X稱為可數緊的，若且唯若其任意可數開覆蓋都有限開覆蓋的加細。

列緊

X稱為可數緊的，若且唯若其任意點列都包含收斂子列。

偽緊

X稱為偽緊的，若且唯若其上的任意實值連續函數都有界。

可度量化

可度量性意味著可賦予空間一個度量，使之給出該空間的拓撲。目前已有許多版本的度量化定理，其中最著名的是Urysohn度量化定理：一個第二可數的正則郝斯多夫空間可被度量化。由此可導出任何第二可數的流形皆可度量化。

擁有代數結構的拓撲空間

對於任一類代數結構，我們都可以考慮其上的拓撲結構，並要求相關的代數運算是連續映射。例如，一個拓撲群${\displaystyle G}$乃是一個拓撲空間配上連續映射${\displaystyle m:G\times G\rightarrow G}$（群乘法）及${\displaystyle i:G\rightarrow G}$（反元素），使之具備群結構。

同樣地，可定義拓撲向量空間為一個賦有拓撲結構的向量空間，使得加法與純量乘法是連續映射，這是泛函分析的主題；我們可以類似地定義拓撲環、拓撲域等等。

結合拓撲與代數結構，往往可以引出相當豐富而實用的理論，例如微分幾何探究的主齊性空間。在代數數論及代數幾何中，人們也常定義適當的拓撲結構以簡化理論，並得到較簡明的陳述；如數論中的局部體（一種拓撲域），伽羅瓦理論中考慮的Krull拓撲（一種特別的拓撲群），以及定義形式概形所不可少的I-進拓撲（一種拓撲環）等等。

擁有序結構的拓撲空間

拓撲空間也可能擁有自然的序結構，例子包括：

• 譜空間（spectral space）上的序結構。
• 特殊化預序：定義${\displaystyle x\leq y\Leftrightarrow \mathrm {cl} (x)\subset \mathrm {cl} (y)}$。常見於計算機科學。

外部連結

n個元素的集上總拓撲數規律

• 整數數列線上大全:OEIS-A000798.

參考書目

• John L. Kelley, General Topology (GTM 27). Springer-Verlag. ISBN 0387901256.
• James R. Munkres, Topology (second edition). Prentice Hall; ISBN 0131816292.
• 點集拓撲學初步 / 江澤涵著. - 上海: 上海科學技術出版社, 1979年1月。
• 點集拓撲學基礎 / 吳東興著. - 北京: 科學出版社, 1981年3月。
• 點集拓撲學原理 / 鮑姆著;蒲思立譯. - 北京: 人民教育出版社, 1981年6月。
• 一般拓撲學 / 李普舒茨著;陳昌平等譯. - 上海: 華東師大出版社, 1982年1月。
• 一般拓撲學 / 凱萊著;吳叢，吳讓泉譯. - 北京: 科學出版社, 1982年5月。
• 拓撲學引論 / 本特·門德爾森著;陳明蔚譯. - 南寧: 廣西人民出版社, 1983年1月。
• 基礎拓撲學 / 阿姆斯特朗著;孫以豐譯. - 北京: 北京大學出版社, 1983年1月。
• 點集拓撲學 / 方嘉琳編著. - 瀋陽: 遼寧人民出版社, 1983年4月。
• 拓撲學的基礎和方法 / 野口宏著;郭衛中，王家彥譯. - 北京: 科學出版社, 1986年3月。
• 拓撲學初步 / 蘇步青著. - 上海: 復旦大學出版社, 1986年4月。
• 拓撲學基礎教程 / 曼克勒斯著;羅嵩齡等譯. - 北京: 科學出版社, 1987年8月。
• 基礎拓撲學 / 何伯和，廖公夫著. - 北京: 高等教育出版社, 1991年1月。
• 一般拓撲學專題選講 / 蔣繼光著. - 成都: 四川教育出版社, 1991年3月。
• 拓撲學導論 / 鮑里索維奇等著;盛立人等譯. - 北京: 高等教育出版社, 1992年9月。
• 基礎拓撲學講義 / 尤承業編著. - 北京: 北京大學出版社, 1997年. ISBN 7-301-03103-3.