正二十面體

正二十面體是一種正多面體，由20個正三角形組成。同時，它也是柏拉圖立體、三角面多面體以及康威多面體。正二十面體是所有五種凸正多面體面數最多的。正二十面體可以由正五角反稜柱構成，具體來說正二十面體可以視為在正五角反稜柱的兩個五邊形底面各疊上一個正五角錐所產生的組合形狀，因此正二十面體也是一種雙錐反柱體。^[1]

正二十面體

(按這裡觀看旋轉模型)
類別	柏拉圖立體 正多面體
對偶多面體	正十二面體
識別
名稱	正二十面體
參考索引	U22, C25, W4
鮑爾斯縮寫 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	ike
數學表示法
施萊夫利符號	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}}$ {3,5}
威佐夫符號 （英語：Wythoff symbol）	5 | 2 3
康威表示法	I sT
性質
面	20
邊	30
頂點	12
歐拉特徵數	F=20, E=30, V=12 （χ=2）
二面角	138.189685°
組成與佈局
面的種類	正三角形
面的佈局 （英語：Face configuration）	20個{3}
頂點圖	3.3.3.3.3
對稱性
對稱群	Ih
特性
正凸三角面多面體
圖像
3.3.3.3.3 （頂點圖） （展開圖）

正二十面體有20個面、30個邊和12個頂點，其對偶多面體是正十二面體。這兩種立體之間的關係，在歷史上，是透過比較它們的測量得到的。它的頂點佈局（英語：Vertex_configuration）為3.3.3.3.3或3⁵，在施萊夫利符號中可用{3,5}來表示。^[2]

有不少多面體是基於正二十面體建構的，其中一個顯著的例子是星形二十面體，這些立體共有五十九種，其皆可透過米勒的規則、以正二十面體作為核建構而來。^[3]另一個顯著的例子是大十二面體，其可以透過將正二十面體刻面得到。此外的例子還有詹森多面體，許多詹森多面體可透過移除正二十面體的局部結構——如五角錐——來構建。^[4]

正二十面體可以在自然界中找到。一個較廣爲人知的例子是生物學中的衣殼，不少病毒的衣殼為正二十面體形。^[5]正二十面體的其他應用包括在地圖製圖學中的地圖投影^[6]；從古至今皆有出現過二十面骰子^[7]，近代主要用於桌遊。

性質

正二十面體是一個柏拉圖立體，由20個面、30條邊和12個頂點組成^[8]。其20個面皆為全等的正三角形，^[9]並且有43,380種不同的展開圖。^[10]正二十面體每個頂點都是5個正三角形的公共頂點，頂點圖可以用正五邊形表示，記為3.3.3.3.3或3^5[11]，在施萊夫利符號中可用{3,5}^[2]或${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}}$來表示^[12]；其中{3,5}意指幾何體由三角形組成，每個頂點周圍都有5個三角形^[14]，因此其對偶多面體為正十二面體^[15]——每個面都是正五邊形、每個五邊形都是三面角——這樣的表面佈局下，若要將正二十面體的表面塗色而相鄰的面的顏色不同，則至少需要3種顏色^[16]。

• 
  從展開圖摺疊回正二十面體的連續動畫
• 
  正二十面體展開圖的另一種形式
• 
  表面塗上三種顏色的正二十面體

外接球與內切球

正二十面體與其外接球

若有一個邊長為a的正二十面體，則它的外接球（同時過該正二十面體所有頂點的球）的半徑為：^[8]

${\displaystyle r_{u}={\frac {a}{2}}{\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}={\frac {a}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}=a\sin {\frac {2\pi }{5}}\approx 0.9510565163\cdot a}$ （OEIS數列A019881）

它的內切球（同時和該正二十面體所有面相切的球）的半徑為：^[8]

${\displaystyle r_{i}={\frac {\varphi ^{2}a}{2{\sqrt {3}}}}={\frac {\sqrt {3}}{12}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)a\approx 0.7557613141\cdot a}$ （OEIS數列A179294）

另外，它的中分球（同時和該正二十面體所有邊相切的球）的半徑為：^[8]

${\displaystyle r_{m}={\frac {a\varphi }{2}}={\frac {1}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)a=a\cos {\frac {\pi }{5}}\approx 0.80901699\cdot a}$ （OEIS數列A019863）

其中${\displaystyle \phi }$ （也稱作${\displaystyle \tau }$）為黃金比例。^[9]

體積與表面積

正二十面體3D模型

若用${\displaystyle A}$表示表面積、${\displaystyle V}$表示體積，而${\displaystyle a}$是正二十面體的邊長，則有：^[8]

${\displaystyle A=5{\sqrt {3}}a^{2}\approx 8.66025404a^{2},}$ （OEIS數列A010527）

${\displaystyle V={\frac {5}{12}}(3+{\sqrt {5}})a^{3}\approx 2.18169499a^{3}.}$ （OEIS數列A102208）

後者約為正四面體的20倍，因為正二十面體以外接球球心為中心可以切割出20個四面體，每個四面體的體積是底面積${\displaystyle {\frac {{\sqrt {3}}a^{2}}{4}}}$乘上高${\displaystyle r_{i}}$再乘三分之一。

正二十面體佔其外接球體積的比率為：

${\displaystyle f={\frac {V}{\frac {4\pi r_{u}^{3}}{3}}}={\frac {20(3+{\sqrt {5}})}{(2{\sqrt {5}}+10)^{\frac {3}{2}}\pi }}\approx 0.6054613829.}$

如何確定內接於同一球體的正二十面體和其對偶多面體——正十二面體——兩個形狀中何者體積較大？這個問題可以追溯到古希臘，且已被海龍、帕普斯和斐波那契等人解決。^[18]阿波羅尼奧斯發現了一個奇怪的結果：這兩個形狀的體積比與其表面積比相同。^[20]兩者的體積公式都涉及到了黃金比例只是次方不同。^[22]

二面角

正二十面體的二面角可以透過正五角錐與正五角反稜柱的角度來計算，由於正二十面體可以透過將正五角錐與正五角反稜柱底面對底面疊合來構造^[23]，因此，正二十面體的二面角則為正五角錐與正五角反稜柱底面與側面夾角之和。正五角反稜柱五邊形面與三角形面間的夾角，即底面與側面的二面角約為100.8度、正五角錐五邊形面與三角形面間的夾角，即底面與側面的二面角約為37.4度，因此可以得到正二十面體的二面角約為${\displaystyle {{37.4}+{100.8}}=138.2}$度。^[25][27]

具體數值約為三分之負根號五的反餘弦值：^[28][9]

${\displaystyle \cos ^{-1}\left(-{\frac {\sqrt {5}}{3}}\right)\approx 2.411865\approx 138.189685^{\circ }}$

直角坐標系

正二十面體的頂點能共同分成五組，每組擁有三個同心、相互垂直的黃金矩形。

一個由塑膠棒和磁鐵與金屬球連接的正二十面體模型

在直角坐標系中，一個邊長為二、幾何中心在原點的正二十面體的坐標分別為：^[29]

${\displaystyle (0,\pm 1,\pm \varphi )}$

${\displaystyle (\pm 1,\pm \varphi ,0)}$

${\displaystyle (\pm \varphi ,0,\pm 1)}$

其中${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$是黃金比例（或記為${\displaystyle \tau }$）。值得注意的是，這些頂點能共同形成五組，每組擁有三個同心、相互垂直的黃金矩形，其邊形成博羅梅安環（英語：Borromean rings），其中，前者是因為正二十面體與黃金比例有密切的關係。 如果原始的二十面體的邊長為1，那麼它的對偶——正十二面體的邊長就是${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}}$，正好是一個黃金比例。^[9]此外正二十面體也與正八面體相關。正八面體的12條邊可經由黃金比例細分出能夠構成正二十面體的一系列頂點。具體的做法為：先使沿著八面體邊的向量連成一個有界的環，再沿著向量的方向以黃金比例作分割。^[30]

球面坐標

A、B為兩個極點，兩個圓形為緯度±arctan(1/2)的位置，其餘10點落於此緯度上，每次極軸與赤道鏡射隔36度

正二十面體是具有D_5d二面體對稱性的一個雙五角錐反角柱，且頂點可以定義在球面坐標系上，其中兩個頂點在球的兩極，其餘在緯度${\displaystyle \pm \arctan({\frac {1}{2}})}$的位置。可以發現剩餘的10個頂點屬於反稜柱對稱，其產生的方式可以從一個定點為起始點，經度每36°做一次極軸與赤道鏡射，重複以上動作，直到回到起始點。^[32]

與黃金分割的關係

若以正二十面體的中心為原點，各頂點的坐標分別為${\displaystyle \{(0,\pm 1,\pm \Phi ),(\pm 1,\pm \Phi ,0),(\pm \Phi ,0,\pm 1)\}}$}，在此${\displaystyle \Phi ={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}}$，即黃金分割數。因此，這些頂點能共同形成五組，每組擁有三個同心、相互垂直的黃金矩形。^[29]

正交投影

正二十面體有3種特殊的正交投影，分別正對著一個面、一條棱、一個頂點。「正對於面」及「正對於頂點」之正交投影的對稱性分別對應到A₂和H₃的考克斯特平面^[33][34]。

正交投影

正對於	面	棱	頂點
考克斯特平面（英語：Coxeter plane）	A2	A3	H3
圖像
投影 對稱性	[6]	[2]	[10]
圖像	面法線	棱法線	對角線

對稱性

半正塗色和子對稱群

正二十面體作為扭棱四面體，可以通過旋轉正四面體的正三角形面，並在4個頂點處插入新的三角形，在原來的6條棱處插入新的一對三角形來構造

作為正多面體之一，正二十面體擁有較高的對稱性，其所有面都相同且不可區分。可是也可以想像將正二十面體的面「塗上」不同的「顏色」，使它其的不同面擁有不同的「幾何意義」，使其擁有不同的次級對稱性。正二十面體有三種不同的半正塗色方法，可以按照一個頂點引出的5個面的塗色來標記為11213、11212、11111。正二十面體可以被描述為扭棱正四面體，具有手征性正四面體對稱性（英語：tetrahedral symmetry）；它亦可以被描述成交錯截頂正八面體，有五角十二面體對稱性（英語：pyritohedral symmetry）。這個具有五角十二面體對稱的正二十面體也被叫做偽二十面體，是五角十二面體的對偶^[35]。

名稱	正二十面體	交錯 截角八面體	扭棱 正四面體	正五 雙錐反柱體
考克斯特-迪肯（英語：Coxeter-Dynkin diagram）
施萊夫利符號	{3,5}	h0,1{3,4}	s{3,3}
Wythoff符號（英語：Wythoff symbol）	5 | 3 2		| 3 3 2
對稱性（英語：List of spherical symmetry groups）	Ih [5,3] (*532)	Th [3+,4] (3*2)	T [3,3]+ (332)	D5d [2+,10] (2*5)
對稱群階	60	24	12	10
半正塗色	(11111)	(11212)	(11213)	(11122)&(22222)

構造

要構造一個正二十面體有很多種方法：

• 透過正五角反稜柱來構造（需為底面和側面都是正多邊形的反稜柱）：將兩個正五角錐（需為每個面都是正多邊形的正角錐）以五邊形底面對底面連接到正五角反稜柱的每個底面上即可構造出正二十面體。^[23][36][37]這種構造使得正二十面體成為複合體；錐體是基本幾何體，這意味著它們不能再被切成更小的凸多面體。這種構造過程稱為雙錐反柱體，與雙錐反柱體家族中的其他多面體一樣，因此這種立體又稱為雙五角錐反角柱。^[38]
• 透過立方體來構造：在立方體上的每個面分別放置兩個頂點，每個立方體面上的兩個頂點為離相對邊中點距離恰為黃金比例的點，這兩點連線，並令這十二個頂點描述三個互相垂直的平面，每四個頂點描述一個面，這十二個點即可構成正二十面體。^[40]
• 透過正八面體來構造：首先將正八面體三角形面與面之間的連結兩兩斷開，並向外扭曲擴張，直到擴張到足夠置入兩個新的正三角形大小縫隙後停止。停止扭曲擴張後，於空隙填入新的正三角形即完成正二十面體。這個過程稱為考克斯特扭稜變換，因此正二十面體也稱為扭稜正八面體。^[30]
• 透過正四面體來構造：其可以視為正四面體的擴張，也就是將正四面體的面向外分開，並圍繞著中心扭曲（不改變面的形狀），然後加入以每個原始立體頂點為中心的三角形，並在每個原始立體之邊的位置上加入成對的三角形來構成。^[42]:99。這個過程稱為克卜勒扭稜變換，因此正二十面體也稱為扭稜四面體。^[43][44]

根據上面的構造方式，可以得到正二十面體是柏拉圖立體，因為其20個面都是正三角形。這也導致正二十面體是僅有的八個凸三角面多面體之一。^[46][37]其一共有44,380種不同的展開方式。^[48]

• 
  透過正五角反稜柱來構造：由正五角錐和正五角反稜柱構造的正二十面體。其中正五角錐以紅色表示、正五角反角柱以黃色表示
• 
  透過立方體來構造：正二十面體中的三個互相垂直黃金比例矩形
• 
  透過正八面體來構造：由正八面體構造正二十面體的連續動畫
• 
  透過正四面體來構造：由正四面體構造正二十面體的連續動畫

相關多面體及鑲嵌

與正十二面體的關係

正十二面體是正二十面體的對偶多面體

在平面上，正多邊形內接到圓時，邊數越多，佔圓面積的百分比就越高；而在三維空間中，這個規則卻不可推廣——當正十二面體和正二十面體內接到一個球時，前者約佔66.4909%，後者僅佔60.5461%。^[49]

與其他幾何體的關係

正二十面體是正二十面體家族的一員：^[50]

正二十面體家族半正多面體

對稱群: [5,3]（英語：Icosahedral symmetry）, (*532)							[5,3]+, (532)
{5,3}	t0,1{5,3}	t1{5,3}	t0,1{3,5}	{3,5}	t0,2{5,3}	t0,1,2{5,3}	s{5,3}
半正多面體對偶
V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

作為扭棱正四面體和考克斯特扭棱正八面體^[30][43][44]，正二十面體也是正四面體家族和正八面體家族的一員：

正四面體家族半正多面體

對稱性: [3,3], (*332)							[3,3]+, (332)
{3,3}	t0,1{3,3}	t1{3,3}	t1,2{3,3}	t2{3,3}	t0,2{3,3}	t0,1,2{3,3}	s{3,3}
半正多面體對偶
V3.3.3	V3.6.6	V3.3.3.3	V3.6.6	V3.3.3	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3.3

半正正八面體家族多面體

對稱性: [4,3], (*432)							[4,3]+, (432)	[1+,4,3], (*332)	[4,3+], (3*2)
{4,3}	t0,1{4,3}	t1{4,3}	t1,2{4,3}	{3,4}	t0,2{4,3}	t0,1,2{4,3}	s{4,3}	h{4,3}	h1,2{4,3}
半正多面體的對偶
V4.4.4	V3.8.8	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3	V3.4.4.4	V4.6.8	V3.3.3.3.4	V3.3.3	V3.3.3.3.3

正二十面體在拓撲上與其它一系列的正三角形鑲嵌{3,n}和一系列的五階正鑲嵌{n,5}相關聯：

多面體				歐式鑲嵌	雙曲鑲嵌
{3,2}	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,9}	...	{3,∞)

球面鑲嵌		雙曲面鑲嵌
{2,5}	{3,5}	{4,5}	{5,5}	{6,5}	{7,5}	{8,5}	...	{∞,5}

正二十面體和三個星形正多面體有著相同的頂點排布。其中與大十二面體還有相同的棱排布：

圖像	大十二面體	小星形十二面體	大二十面體
考克斯特-迪肯符號（英語：Coxeter-Dynkin diagram）

三階正二十面體堆砌模型。此處使用龐加萊圓盤模型上的線架來表示它，中心的正二十面體被塗上了顏色

雖然由於正二十面體的二面角太大（約138.189685°>120°^{[註 1]}），因此正二十面體不可能密鋪三維歐幾里得空間，但它可以密鋪適當的雙曲空間^[51][52]，稱為三階正二十面體堆砌（英語：Icosahedral honeycomb），每條棱處有三個正二十面體相交，每個頂點處有12個正二十面體相交，因此頂點圖是正十二面體，施萊夫利符號{3,5,3}，是四個三維雙曲空間中的正堆砌之一。

類別	柏拉圖立體					卡塔蘭立體
種子	{3,3}	{4,3}	{3,4}	{5,3}	{3,5}	aC	aD
倒角	cT	cC	cO（英語：Chamfered octahedron）	cD	cI	caC	caD

應用

正二十面體形狀在多個領域中皆有應用，例如，製圖學中有使用二十面體展開的地圖投影法。^[6]自然界中也有許多以二十面體為形狀的物體，例如部分病毒的蛋白質外殼。在娛樂領域中，正二十面體常被製作成骰子，另外亦存在以二十面體為外型的魔術方塊。^[53]

骰子

埃及托勒密王朝的二十面體骰子。骰面上刻有希臘字母

桌遊《Scattergories》的二十面體骰子。刻有不包括Q、U、V、X、Y和Z的英文字母

由於正二十面體非常均勻，且有20個面，因此適合製成骰子。^[55][56]二十面骰子在古代許多時期都有發現。一個例子是埃及托勒密王朝的骰子，後來在希臘和羅馬時期亦有發現二十面體形狀的骰子，其面上刻有希臘和羅馬字母。^[55][56]另一個例子是在蒂普蘇丹的寶藏中發現的二十面體形狀的骰子，其由黃金製成，每個面上都寫有數字。^[57]

在某些角色扮演的桌上遊戲中，二十面骰子通常用來決定一個動作的成敗。例如《龍與地下城》的二十面骰子（標記為 d20）就是用來決定一個玩家在某一輪中動作的成敗。二十面體骰子可以在面上標記「0」到「9」以填滿其20個面，這種情況下的二十面骰通常會作為十面骰（d10）使用；大多數現代版本的二十面體骰子上面的編號會從從「1」編到「20」。^[58]《Scattergories》是另外一種有使用到正二十面體骰子的桌上遊戲。玩家必須在規定的時間內，給出以骰子擲出之字母開頭，以及其所對應卡片的名稱或術語。^[60]

在生物學中

某些病毒，如疱疹病毒科、諾羅病毒、腺病毒和噬菌體等，擁有正二十面體的衣殼。^[61][62]該殼由具BMC結構域（英語：BMC domain）的不同蛋白質構成，可以包住酶和不穩定的中間產物。此外，在某些細菌中還發現具有二十面體形狀的胞器。^[63]

1904年，恩斯特·海克爾發表了一些關於新品種放射蟲的發現。恩斯特·海克爾將放射蟲新物種命名為「Circogonia二十面體」（Circogonia icosahedra）。這種放射蟲骨架的形狀像一個正二十面體。^[64][65]

• 
  二十面的骰子
• 
  Dogic（英語：Dogic），以正二十面體為外型的魔術方塊
• 
  電子顯微鏡下觀察的金原子
• 
  γ-硼的結構
• 
  噬菌體
• 
  「Circogonia二十面體」放射蟲