Dadansoddiad mathemategol

Dadansoddi mathemategol yw'r gangen o fathemateg sy'n dibynnu ar y cysyniadau o derfannau a damcaniaethau perthnasol, megis deilliant, yr integru, differu, mesur, y gyfres anfeidraidd, a ffwythiannau dadansoddol.

Dadansoddiad mathemategol

Enghraifft o:	disgyblaeth academaidd, pwnc gradd, damcaniaeth mathemategol
Math	Mathemateg bur
Rhan o	mathemateg
Yn cynnwys	calcwlws, dadansoddiad swyddogaethol, Dadansoddiad cymhlyg, Dadansoddi real, theory of differential equations, hafaliad annatod, calcwlws o amrywiadau, harmoneg dadansoddiadol, damcaniaeth systemau dynamegol, theori ergodig, global analysis, nonstandard analysis, Profion Cydgyfeiriant
Ffeiliau perthnasol ar Gomin Wicimedia

Yr atynnydd, yn codi o hafaliad differol. Mae'r hafaliad differol yn faes bwysig o fewn dadansoddi mathemategol, gyda llawer iawn o gymhwysiadau o fewn gwyddoniaeth a thechnoleg.

Yn aml, fe astudir y pynciau hyn yng nghyd-destyn rhifau real, rhifau cymhlyg, a'u ffwythiannau. Fodd bynnag, gellir hefyd eu diffinio yng nghyd-destyn unrhyw set o wrthrychau mathemategol sydd â diffiniad o agosatrwydd (gofod topologaidd) neu o bellter (gofod metrig). Man cychwyn yr astudiaeth o ddadansoddi yw datblygiad trwyadl o galcwlws.

Isbynciau

Fe rennir dadansoddi erbyn hyn i'r isbynciau canlynol:

• Dadansoddi real, yr astudiaeth ffurfiol a thrwyadl o ddifferu ac integru ffwythiannau â gwerthoedd real. Mae hyn yn cynnwys astudiaeth o derfannau, cyfresi pŵer, a mesurau
• Dadansoddi ffwythiannol, astudiaeth o ofodau o ffwythiannau, sy'n cyflwyno cysyniadau megis gofodau Banach a gofodau Hilbert.
• Dadansoddi cymhlyg, astudiaeth o ffwythiannau o'r plân cymhlyg i'r plân cymhlyg, sy'n cymhlyg-ddifferadwy
• Dadansoddi differol
• Dadansoddi an-safonol, sy'n ymchwilio'r rhifau gor-real a'u ffwythiannau, a'n rhoi triniaeth trwyadl o rifau anfeidrol bach a mawr. Fe'u dosbarthir yn aml fel Theori Modelau

Fel arfer ystyrir Dadansoddi clasurol yn unrhyw waith nad yw'n defnyddio dulliau dadansoddi ffwythiannol, ac fe'i gelwir weithiau yn ddadansoddi caled; mae'n cyfeirio hefyd, nid yn annisgwyl, o'r pynciau mwy traddodiadol. Fe rhannir astudiaeth hafaliadau differol â meusydd eraill megis systemau dynamig, ond mae'r gogyffwrdd â dadansoddi 'unionsyth' yn un fawr.

Hanes

Defnyddiodd Archimedes y dull dihysbydd i gyfrifo'r ardal y tu mewn i gylch trwy ddod o hyd i arwynebedd polygonau rheolaidd gyda mwy a mwy o ochrau. Roedd hon yn enghraifft gynnar ond anffurfiol o derfan, un o'r cysyniadau mwyaf sylfaenol mewn dadansoddiad mathemategol.

Hynafol

Datblygodd dadansoddiad mathemategol yn ffurfiol yn yr 17g yn ystod y Chwyldro Gwyddonol,^[1] ond gellir olrhain llawer o'i syniadau yn ôl i fathemategwyr cynharach. Roedd canlyniadau cynnar y dadansoddiad yn ymhlyg yn nyddiau cynnar mathemategwyr Groeg hynafol. Er enghraifft, mae swm geometrig anfeidrol ymhlyg ym mharadocs Zeno o Elea o'r ddeuoliaeth. Yn ddiweddarach, defnyddiodd Eudoxus ac Archimedes y cysyniad o derfanau a chydgyfeiriant drwy'r dull dihysbydd (<i>exhaustion</i>) i gyfrifo arwynebedd a chyfaint ardaloedd a solidau. Mae'r defnydd penodol o anfeidrolion (infinitesimals) yn ymddangos yn Null Mecanyddol Theoremau gan Archimedes, gwaith a ailddarganfuwyd yn yr 20g.^[2]

Yn Asia, defnyddiodd y mathemategydd Tsieineaidd Liu Hui y dull dihysbydd yn y 3g OC i ddod o hyd i arwynebedd cylch.^[3] O lenyddiaeth Jain, ymddengys bod Hindwiaid yn meddu ar y fformwlâu ar gyfer swm y gyfres rifyddeg a'rf gyfres geometrig mor gynnar â'r 4g CC^[4] gyda Ācārya Bhadrabāhu yn defnyddio swm y gyfres geometrig yn ei Kalpasūtra yn 433 CC.^[5] Mewn mathemateg Indiaidd, canfuwyd bod enghreifftiau penodol o gyfresi rhifyddeg i'w gweld ymhlyg mewn Llenyddiaeth Vedic mor gynnar â 2000 CC

Yr Oesoedd Canol

Sefydlodd Zu Chongzhi ddull a fyddai’n ddiweddarach yn cael ei alw’n egwyddor Cavalieri i ddod o hyd i gyfaint sffêr yn y 5g.^[6] Yn y 12g, rhoddodd y mathemategydd Indiaidd Bhāskara II enghreifftiau o ddeilliannau a defnyddiodd yr hyn a elwir bellach yn theorem Rolle.^[7]

Yn y 14g, datblygodd Madhava o Sangamagrama ehangiadau cyfres anfeidrol (infinite series expansions), a elwir bellach yn gyfres Taylor, o swyddogaethau fel sin, cosin, tangiad a gwrthdangiad.^[8] Ochr yn ochr â’i ddatblygiad o gyfres Taylor o ffwythiannau trigonometrig, amcangyfrifodd hefyd faint y termau gwallus a ddeilliodd o leihau'r cyfresi hyn, a rhoddodd frasamcan rhesymegol o rai cyfresi anfeidrol. Ehangodd ei ddilynwyr yn Ysgol Seryddiaeth a Mathemateg Kerala ei weithiau ymhellach, hyd at yr 16g.

Modern

Y sylfeini

Sefydlwyd sylfeini modern dadansoddiad mathemategol yn Ewrop yr 17g.^[1] Dechreuodd hyn pan ddatblygodd Fermat a Descartes geometreg ddadansoddol, sef rhagflaenydd calcwlws modern. Roedd dull digonolrwydd (<i>adequality</i>) Fermat yn caniatáu iddo bennu uchafsymiau a lleiafsymiau ffwythiannau a thangiadau cromliniau.^[9] Ystyrir mai cyhoeddi <i>La Géométrie</i> Descartes ym 1637, a gyflwynodd y system gyfesurynnol Gartesaidd, oedd dechrau dadansoddiad mathemategol. Ychydig ddegawdau yn ddiweddarach datblygodd Newton a Leibniz galcwlws anfeidrolion (infinitesimals) yn annibynnol i'w gilydd, a dyfodd trwy'r 18g, gan ymdoddi i fewn i bynciau dadansoddi fel calcwlws amrywiadau, hafaliadau gwahaniaethol cyffredin a rhannol, dadansoddiad Fourier, a ffwythiannau. Yn ystod y cyfnod hwn, cymhwyswyd technegau calcwlws i broblemau arwahanol.

Moderneiddio

Yn y 18g cyflwynodd Euler y syniad o ffwythiant fathemategol.^[10] Dechreuodd dadansoddiad go iawn ddod i'r amlwg fel pwnc annibynnol pan gyflwynodd Bernard Bolzano y diffiniad modern o barhad yn 1816,^[11] ond ni ddaeth gwaith Bolzano yn hysbys tan yr 1870au. Yn 1821, dechreuodd Cauchy roi calcwlws ar sylfaen resymegol gadarn trwy wrthod egwyddor cyffredinolrwydd algebra a ddefnyddiwyd yn helaeth mewn gwaith cynharach, yn enwedig gan Euler. Yn lle hynny, lluniodd Cauchy galcwlws o ran syniadau geometrig ac anfeidrolion. Felly, roedd ei ddiffiniad o barhad yn gofyn am newid anfeidrol yn x i gyfateb i newid anfeidrol yn y. Cyflwynodd hefyd y cysyniad a elwir yn "ddilyniant Cauchy", a dechreuodd theori ffurfiol dadansoddi cymhlyg. Astudiodd Poisson, Liouville, Fourier ac eraill hafaliadau gwahaniaethol rhannol a dadansoddi harmonig. Datblygodd cyfraniadau'r mathemategwyr hyn ac eraill, fel Weierstrass, y dull diffinio terfan (ε, δ), a thrwy hynny sefydlu maes dadansoddiad mathemategol modern.

Yng nghanol y 19g cyflwynodd Riemann ei theori'rintegryn. Yn nhraean olaf y ganrif gwelwyd rhifeddiad dadansoddiad (arithmetization of analysis) gan Weierstrass, a oedd o'r farn bod rhesymu geometrig yn gamarweiniol yn ei hanfod, a chyflwynodd y diffiniad "epsilon-delta" o derfan. Yna, dechreuodd mathemategwyr boeni eu bod yn tybio bodolaeth continwwm o rifau real heb brawf. Adeiladodd Dedekind y rhifau real trwy doriadau Dedekind, lle mae rhifau anghymarebol yn cael eu diffinio'n ffurfiol, sy'n llenwi'r "bylchau" rhwng rhifau cymarebol, a thrwy hynny greu set gyflawn: continwwm o rifau real, a oedd eisoes wedi'u datblygu gan Simon Stevin o ran ehangiadau degol. Tua'r adeg honno, arweiniodd yr ymdrechion i fireinio theoremau integreiddio Riemann at astudio "maint" y set o doriannau'r ffwythiannau real.

Hefyd, dechreuwyd ymchwilio i "angenfilod " ("monsters"). Yn y cyd-destun hwn, datblygodd Jordan ei ddamcaniaeth o fesur, datblygodd Cantor yr hyn a elwir bellach yn theori-set naïf, a phrofodd René-Louis Baire theorem categori Baire. Yn gynnar yn yr 20g, ffurfiolwyd calcwlws gan ddefnyddio theori set gwirebol. Datrusodd Henri Lebesgue y broblem o fesur, a chyflwynodd David Hilbert ofod Hilbert, i ddatrys hafaliadau cyfanrifau. Roedd y syniad o 'ofod fector wedi'i normaleiddio' yn cael ei drafod, ac yn y 1920au creodd Banach ddadansoddiad ddadansoddi ffwythiannol.

Cysyniadau pwysig

Gofod metrig

Mewn mathemateg, set yw gofod metrig lle diffinnir y syniad o bellter (a elwir yn 'fetrig') rhwng elfennau o'r set.

Mae llawer o'r dadansoddiad yn digwydd mewn rhywfaint o ofod metrig; y rhai a ddefnyddir amlaf yw'r llinell real, yr plân cymhlyg, gofod Ewclidaidd, gofodau fector eraill, a'r cyfanrifau. Mae enghreifftiau o ddadansoddi heb fetrig yn cynnwys theori mesur (sy'n disgrifio maint yn hytrach na phellter) a dadansoddiad ffwythiannol (sy'n astudiaeth o ofodau fector topolegol nad oes angen iddynt fod ag unrhyw ymdeimlad o bellter).

Yn ffurfiol, mae gofod metrig yn bâr mewn trefn ${\displaystyle (M,d)}$ lle ${\displaystyle M}$ yn set a ${\displaystyle d}$ yn fetrig ar ${\displaystyle M}$, hy, mae'n ffwythiant

${\displaystyle d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R} }$

ac ar gyfer pob ${\displaystyle x,y,z\in M}$, mae'r canlynol yn dal:

1. ${\displaystyle d(x,y)=0}$ os ac yn unig os yw ${\displaystyle x=y}$  (identity of indiscernibles),
2. ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$  (cymesuredd), a
3. ${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$  (anghydraddoldeb triongl).

Trwy gymryd y trydydd eiddo a gosod ${\displaystyle z=x}$, gellir dangos hynny ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$   (heb fod yn negyddol).

Dilyniannau a therfanau

Mae dilyniant yn rhestr drefnus. Fel set, mae'n cynnwys aelodau (a elwir hefyd yn elfennau, neu'n dermau). Yn wahanol i set, mae trefn yn bwysig, a gall yr un elfennau ymddangos sawl gwaith mewn gwahanol safle yn y dilyniant. Yn fwyaf manwl gywir, gellir diffinio dilyniant fel ffwythiant y mae ei pharth yn set y gellir ei threfnu'n llwyr, fel y rhifau naturiol.

Un o briodweddau pwysicaf dilyniant yw cydgyfeiriant. Yn anffurfiol, mae dilyniant yn cydgyfarfod os oes ganddo derfan. Gan barhau'n anffurfiol, mae gan ddilyniant (unigol-anfeidrol) derfan os yw'n agosáu at ryw bwynt x, a elwir y terfan, wrth i n ddod yn fawr iawn. Hynny yw, ar gyfer dilyniant haniaethol (a_n) (gydag n yn rhedeg o 1 i anfeidredd deall) mae'r pellter rhwng a_n ac x yn agosau at 0 fel n → ∞, a ddynodir

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=x.}$

Prif ganghennau

Dadansoddiad real

Mae dadansoddiad real (hen enw: theori ffwythiannau newidyn real) yn gangen o ddadansoddiad mathemategol sy'n delio â rhifau real a ffwythiannau o werth real newidyn real.^[12][13] Yn benodol, mae'n delio â phriodweddau dadansoddol ffwythiannau a dilyniannau real, gan gynnwys cydgyfeiriant a therfanau dilyniannau rhifau real, calcwlws y rhifau real, a pharhad, llyfnder a phriodweddau cysylltiedig ffwythiannau o werth real.

Dadansoddiad cymhlyg

Dadansoddiad cymhlyg yw'r gangen o ddadansoddiad mathemategol sy'n ymchwilio i ffwythiannau rhifau cymhleth. Mae'n ddefnyddiol mewn llawer o ganghennau mathemateg, gan gynnwys geometreg algebraidd, theori rhif, mathemateg gymhwysol, yn ogystal ag oddi mewn i ffiseg, gan gynnwys hydrodynameg, thermodynameg, peirianneg fecanyddol, peirianneg drydanol, ac yn arbennig, theori maes cwantwm.

Dadansoddiad ffwythiannol

Mae dadansoddiad ffwythiannol yn gangen o ddadansoddiad mathemategol, y mae ei graidd yn cael ei ffurfio trwy astudio gofodau fector wedi'u impio â rhyw fath o strwythur sy'n gysylltiedig â therfan (ee cynnyrch mewnol, norm, topoleg, ac ati) a'r gweithredwyr llinol sy'n gweithredu ar y gofodau hyn. Mae gwreiddiau hanesyddol dadansoddiad ffwythiannol yn gorwedd o fewn yr astudiaeth o ofodau ffwythiannol a llunio priodweddau trawsnewid ffwythiannau fel trawsnewidiad Fourier.

Hafaliadau differol

Hafaliad mathemategol yw hafaliad differol ar gyfer ffwythiant anhysbys o un neu sawl newidyn sy'n cysylltu gwerthoedd y ffwythiant ei hun a'i deilliadau o wahanol orchmynion.^[14] Mae hafaliadau gwahaniaethol yn chwarae rhan amlwg mewn peirianneg, ffiseg, economeg, bioleg a disgyblaethau eraill.

Mae hafaliadau gwahaniaethol yn codi mewn sawl maes o fewn gwyddoniaeth a thechnoleg. Dangosir hyn mewn mecaneg glasurol, lle mae corff yn cael ei ddisgrifio gan ei safle a'i gyflymder wrth i'r gwerth amser amrywio. Mae deddfau Newton yn caniatáu i un fynegi'r newidynnau hyn yn ddeinamig fel hafaliad differol ar gyfer safle anhysbys y corff fel swyddogaeth amser. Mewn rhai achosion, gellir datrys yr hafaliad differol hwn (a elwir yn hafaliad mudiant).

Theori mesur

Mae mesur ar set yn ffordd systematig i neilltuo rhif i bob is -set addas o'r set honno, wedi'i dehongli'n fel ei maint.^[15] Yn yr ystyr hwn, mae 'mesur' yn gyffredinoliad o gysyniadau hyd, arwynebedd a chyfaint. Enghraifft arbennig o bwysig yw'r mesur Lebesgue ar ofod Ewclidaidd, sy'n neilltuo hyd confensiynol, arwynebedd a chyfaint geometreg Ewclidaidd i is-setiau addas o ddimeniwn- ${\displaystyle n}$ o ofod Ewclidaidd dimensiwn ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Er enghraifft, y mesur Lebesgue o'r cyfwng ${\displaystyle \left[0,1\right]}$ yn y rhifau real yw ei hyd (yn ystyr bob dydd o'r gair), yn benodol, 1.

Dadansoddiad rhifiadol

Dadansoddiad rhifiadol yw'r astudiaeth o algorithmau sy'n defnyddio brasamcan rhifiadol (yn hytrach na thriniaethau symbolaidd cyffredinol) ar gyfer problemau dadansoddi mathemategol (yn wahanol i fathemateg arwahanol).^[16]

Nid yw dadansoddiad rhifiadol modern yn ceisio atebion union, oherwydd yn aml ac yn ymarferol, mae'n amhosibl cael atebion union. Yn hytrach, mae llawer o'r dadansoddiad rhifiadol yn ymwneud â chael atebion bras wrth roi ffiniau rhesymol ar wallau.

Yn naturiol, caiff dadansoddiad rhifiadol ei gymhwyso i bob maes o fewn peirianneg a'r gwyddorau ffisegol, ond yn yr 21g, mae'r gwyddorau bywyd a hyd yn oed y celfyddydau wedi mabwysiadu elfennau o gyfrifiannau gwyddonol. Mae hafaliadau gwahaniaethol cyffredin yn ymddangos mewn mecaneg nefol (planedau, sêr a galaethau); mae algebra llinol rhifiadol yn bwysig ar gyfer dadansoddi data; mae hafaliadau gwahaniaethol stochastig a chadwyni Markov yn hanfodol wrth efelychu celloedd byw ar gyfer meddygaeth a bioleg.

Dadansoddiad fector

Mae calcwlws fector, neu ddandansoddiad fector, yn ymwneud â differu ac integreiddio meysydd fector, yn bennaf mewn gofod Euclidaidd 3-dimensiwn. Weithiau defnyddir y term "calcwlws fector" fel cyfystyron ar gyfer pwnc ehangach calcwlws aml-newidiol, sy'n rhychwantu calcwlws fector yn ogystal â differu rhannol ac integreiddio lluosog. Mae calcwlws fector yn chwarae rhan bwysig mewn geometreg differol ac wrth astudio hafaliadau differol rhannol. Fe'i defnyddir yn helaeth mewn ffiseg a pheirianneg, yn enwedig yn y disgrifiad o feysydd electromagnetig, meysydd disgyrchiant, a llif hylif.

Datblygwyd calcwlws fector o ddadansoddiad cwaternaidd gan J. Willard Gibbs ac Oliver Heaviside tua diwedd y 19g, a sefydlwyd y rhan fwyaf o'r nodiant a'r derminoleg gan Gibbs ac Edwin Bidwell Wilson yn eu llyfr 1901, Vector Analysis. Yn ei ffurf gonfensiynol, gan ddefnyddio traws-gynhyrchion, nid yw calcwlws fector yn cyffredinoli i ddimensiynau uwch, tra bod dull amgen algebra geometrig sy'n defnyddio cynhyrchion allanol yn gwneud hynny.

Pynciau eraill

• Mae calcwlws yr amrywiadau (calculus of variations) yn delio â ffwythiannau eithafol, yn hytrach na chalcwlws cyffredin sy'n delio â ffwythiannau'n unig.
• Mae dadansoddiad harmonig yn delio â chynrychioli ffwythiannau neu signalau fel arosodiad (<i>superposition</i>) tonnau sylfaenol.
• Mae dadansoddiad geometrig yn cynnwys defnyddio dulliau geometregol wrth astudio hafaliadau differol rhannol a chymhwyso theori hafaliadau differol rhannol i geometreg.
• Mae dadansoddiad Clifford, yn astudiaeth o ffwythiannau-gwerth Clifford sy'n cael eu dinistrio gan weithredwyr tebyg i Dirac neu ei debyg, a elwir yn gyffredinol yn 'ffwythiannau dadansoddol monogenig Clifford.
• Dadansoddiad <i id="mwAcM">p</i>-adig yw'r astudiaeth o ddadansoddiad yng nghyd-destun rhifau <i id="mwAcU">p</i>-adig, sy'n wahanol mewn rhai ffyrdd i'w cymheiriaid real a chymhyg.
• Dadansoddiad ansafonol, sy'n ymchwilio i'r rhifau uwch-real (hyperreal) a'u ffwythiannau ac yn rhoi triniaeth drylwyr o anfeidrolion (infinitesimals) a niferoedd anfeidrol fawr.
• Dadansoddiad cymeradwy, yr astudiaeth o ba rannau o ddadansoddiad y gellir eu cynnal mewn modd cymeradwy
• Calcwlws stocastig - syniadau dadansoddol wedi'u datblygu ar gyfer prosesau stocastig .
• Dadansoddiad â gwerth set - sy'n cymhwyso syniadau o ddadansoddiad a thopoleg i ffwythiannau i werth set.
• Dadansoddiad amgrwm, astudio setiau a ffwythiannau amgrwm.
• Dadansoddiad idempotent - dadansoddiad yng nghyd-destun idempotent semiring, lle mae diffyg gwrthdro ychwanegyn yn cael ei ddigolledu rhywfaint gan reol ddelfrydol A + A. = A.
  • Dadansoddiad trofannol - dadansoddiad o'r idempotent semiring a elwir yn semiring trofannol (neu algebra max-plus / algebra min-plus).

Cymhwyso

Mae technegau dadansoddi hefyd i'w cael mewn meysydd eraill fel:

Y gwyddorau ffisegol

Mae'r mwyafrif helaeth o fecaneg glasurol, damcaniaeth perthnasedd a mecaneg cwantwm yn seiliedig ar ddadansoddiad cymhwysol, a hafaliadau differol yn benodol. Mae enghreifftiau o hafaliadau differol pwysig yn cynnwys ail gyfraith Newton, hafaliad Schrödinger, a hafaliadau maes Einstein .

Mae dadansoddiad ffwythiannol hefyd yn ffactor o bwys mewn mecaneg cwantwm.

Prosesu signalau

Wrth brosesu signalau, megis sain, tonnau radio, tonnau ysgafn, tonnau seismig, a hyd yn oed delweddau, gall dadansoddiad Fourier ynysu cydrannau unigol o donffurf cyfansawdd, gan eu cywasgu er mwyn eu canfod yn haws. Ceir grwp mawr o dechnegau prosesu signal sy'n cynnwys Fourier yn trawsnewid signal, trin y data a gwrthdroi'r trawsnewidiad.^[17]

Meysydd eraill o fewn mathemateg

Defnyddir technegau dadansoddi mewn sawl maes o fathemateg, gan gynnwys:

• Damcaniaeth rhif dadansoddol
• Cyfuniadeg dadansoddol
• Tebygolrwydd parhaus
• Entropi differol mewn theori gwybodaeth
• Gemau differol
• Geometreg differol, cymhwyso calcwlws i ofodau mathemategol penodol a elwir yn maniffoldiau sy'n meddu ar strwythur mewnol cymhlyg ond sy'n ymddwyn mewn modd syml yn lleol.
• Maniffoldiau differol
• Topoleg differol
• Hafaliadau differol rhannol

Darllen pellach

• Apostol, Tom M. (1974). Mathematical Analysis (arg. 2nd). Addison–Wesley. ISBN 978-0-201-00288-1.
• Binmore, Kenneth George (1981). The foundations of analysis: a straightforward introduction. Cambridge University Press.
• Johnsonbaugh, Richard; Pfaffenberger, William Elmer (1981). Foundations of mathematical analysis. New York: M. Dekker.
• Fusco, Nicola; Marcellini, Paolo; Sbordone, Carlo (1996). Analisi Matematica Due (yn Eidaleg). Nodyn:Ill. ISBN 978-88-207-2675-1.
• Rombaldi, Jean-Étienne (2004). Éléments d'analyse réelle : CAPES et agrégation interne de mathématiques (yn Ffrangeg). EDP Sciences. ISBN 978-2-86883-681-6.
• Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis (arg. 3rd). New York, USA: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054235-8.
• Rudin, Walter (1987). Real and Complex Analysis (arg. 3rd). New York, USA: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054234-1.
• Whittaker, Edmund Taylor; Watson, George Neville (1927-01-02). A Course Of Modern Analysis: An Introduction to the General Theory of Infinite Processes and of Analytic Functions; with an Account of the Principal Transcendental Functions (arg. 4th). at the University Press. ISBN 0-521-06794-4. (vi+608 pages) (reprinted: 1935, 1940, 1946, 1950, 1952, 1958, 1962, 1963, 1992)
• "Real Analysis - Course Notes" (PDF).
• ^[18]