Matriz invertíbel

En matemáticas, en particular en álxebra linear, unha matriz cadrada de orde n dise que é invertíbel, non singular, non dexenerada ou regular se existe outra matriz cadrada de orde n, chamada matriz inversa de A e denotada por ${\displaystyle A^{-1}}$ se ${\displaystyle A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I_{n}}$, onde ${\displaystyle I_{n}}$ é a matriz identidade de orde n e o produto utilizado é o produto de matrices usual.

Unha interpretación espacial dunha matriz 3x3 é a de 3 planos secantes só na orixe. As coordenadas da matriz serían os coeficientes dos tres vectores normais ao plano nunha base dada.

Unha matriz cadrada non invertíbel dise que é singular ou dexenerada. Unha matriz é singular se e só se o seu determinante é nulo. A matriz singular ${\displaystyle A}$ caracterízase porque a súa multiplicación pola matriz columna ${\displaystyle X}$ é igual a cero para algún ${\displaystyle X}$ non nulo. O conxunto destes vectores (e ao subespazo vectorial formado por eles) chamarase ${\displaystyle kerA}$ (de kernel, núcleo en inglés), para unha matriz invertíbel ${\displaystyle kerA}$ é o vector nulo.

A inversión de matrices é o proceso de atopar a matriz inversa dunha matriz dada.

Exemplos

Matriz de dúas filas (matriz adxunta)

Dada unha matriz de tamaño 2 x 2 con determinante non nulo, temos

${\displaystyle A^{-1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}}$

e esta está definida a condición de que ${\displaystyle ad-bc\neq 0}$ con${\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {R} }$. Así por exemplo a inversa da matriz

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&1\\5&3\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}2&1\\5&3\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}3&-1\\-5&2\end{bmatrix}},}$

xa que

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&1\\5&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}3&-1\\-5&2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$

Matriz de tres filas

Véxase tamén: menor (álxebra linear).

Dada unha matriz ${\displaystyle A}$ de tamaño ${\displaystyle 3\times 3}$ con determinante non nulo:

${\displaystyle A^{-1}={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}{\begin{bmatrix}\,A&\,B&\,C\\\,D&\,E&\,F\\\,G&\,H&\,I\\\end{bmatrix}}^{T}={\frac {1}{\det(A)}}{\begin{bmatrix}\,A&\,D&\,G\\\,B&\,E&\,H\\\,C&\,F&\,I\\\end{bmatrix}}}$

onde se definen

${\displaystyle {\begin{matrix}A=(ei-fh)&D=-(bi-ch)&G=(bf-ce)\\B=-(di-fg)&E=(ai-cg)&H=-(af-cd)\\C=(dh-eg)&F=-(ah-bg)&I=(ae-bd)\\\end{matrix}}}$

Coa notación de cofactores teríamos

${\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{bmatrix}A=C_{11}&B=C_{12}&C=C_{13}\\D=C_{21}&E=C_{22}&F=C_{23}\\G=C_{31}&H=C_{32}&I=C_{33}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\operatorname {det} (\mathbf {A} )}}\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}.}$

Se temos

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}3&0&2\\2&0&-2\\0&1&1\\\end{bmatrix}}.}$

${\displaystyle \det(A)=3\cdot 2-2\cdot (-2)-0\cdot 0=10.}$

${\displaystyle C={\begin{bmatrix}2&-2&2\\2&3&-3\\0&10&0\\\end{bmatrix}}}$; ${\displaystyle \quad C^{T}={\begin{bmatrix}2&2&0\\-2&3&10\\2&-3&0\\\end{bmatrix}}.}$

${\displaystyle A^{-1}={\begin{bmatrix}0.2&0.2&0\\-0.2&0.3&1\\0.2&-0.3&0\\\end{bmatrix}}.}$

Propiedades da Matriz Inversa

Sexa ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ unha matriz de rango máximo

• A matriz inversa de ${\displaystyle A}$ é única.
• Se ${\displaystyle B\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ e ${\displaystyle C\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ daquela a matriz inversa do produto ${\displaystyle BC}$ é

${\displaystyle \left(BC\right)^{-1}={C}^{-1}{B}^{-1}}$

• Se a matriz ${\displaystyle A}$ é invertíbel, tamén o é a súa transposta, e a inversa da súa transposta é a transposta da súa inversa, é dicir

${\displaystyle \left(A^{T}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{T}}$

• E, evidentemente:

${\displaystyle \left((A^{-1})^{-1}\right)=A}$

• Unha matriz con coeficientes nos reais é invertíbel se e só se o determinante de ${\displaystyle A}$ é distinto de cero. A maiores, a inversa satisfai a igualdade:

${\displaystyle {A^{-1}}={1 \over {\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}\operatorname {adj} (A)\ }$

onde ${\displaystyle {\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}$ é o determinante de ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle \operatorname {adj} {(A)}\ }$é a matriz de adxuntos de ${\displaystyle A}$, entendida como á matriz de cofactores transposta. (adj do inglés adjugate).

• O conxunto de matrices ${\displaystyle n\times n}$ con compoñentes sobre o corpo ${\displaystyle \mathbf {K} }$ que admiten inversa, co produto de matrices, ten unha estrutura isomorfa ao grupo linear ${\displaystyle {\text{GL}}(n,\mathbf {K} )}$ de orde. Neste grupo a operación de inversa é un automorfismo ${\displaystyle (\cdot )^{-1}:{\text{GL}}(n,\mathbf {K} )\to {\text{GL}}(n,\mathbf {K} )}$.

Demostración da unicidade da inversa

Supoñamos que ${\displaystyle B}$ e ${\displaystyle C}$ son inversas de ${\displaystyle A}$

${\displaystyle AB=BA=I,\quad {\text{e}}\quad AC=CA=I}$

Multiplicando ambas as relacións por ${\displaystyle C}$

${\displaystyle (BA)C=IC=C,\quad {\text{e}}\quad (BA)C=B(AC)=BI=B}$

De modo que ${\displaystyle B=C}$ e próbase que a inversa é única.

Demostración do criterio de invertibilidade das matrices cadradas

Probarase a dupla implicación.

Suficiencia${\displaystyle (\Rightarrow )}$

Supoñamos que existe ${\displaystyle B}$ tal que ${\displaystyle AB=BA=I}$. Entón ao aplicar a función determinante obtense

${\displaystyle \det \left(AB\right)=\det \left(BA\right)=\det \left(I\right).}$

Utilizando a propiedade multiplicativa do determinante e sabendo que ${\displaystyle \det(I)=1}$ temos

${\displaystyle \det \left(A\right)\det \left(B\right)=1,}$

polo que deducimos que ${\displaystyle \det(A)}$ é distinto de cero.

Necesidade${\displaystyle (\Leftarrow )}$

Supoña que o determinante de ${\displaystyle A}$ é diferente de cero. Sexa ${\displaystyle a_{ij}}$ o elemento ij da matriz ${\displaystyle A}$ e sexa ${\displaystyle A_{ij}}$ a matriz ${\displaystyle A}$ sen a liña ${\displaystyle i}$ e a columna ${\displaystyle j}$ (comunmente coñecido como ${\displaystyle j}$-ésimo menor de A). Entón temos que

${\displaystyle \det(A)=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det(A_{ij}).}$

A maiores, se ${\displaystyle k\neq j}$, entón podemos deducir que

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ik}\det(A_{ij})=0,}$

xa que a parte esquerda da relación é o determinante de ${\displaystyle A}$ coa columna ${\displaystyle j}$ substituída pola columna ${\displaystyle k}$ e, de novo debido ás propiedades do determinante, sabemos que unha matriz con dúas filas iguais ten determinante cero.

Das dúas ecuacións anteriores podemos obter

${\displaystyle \delta _{jk}\det \left(A\right)=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}\det \left(A_{ij}\right)a_{ik}.}$

onde ${\displaystyle \delta _{jk}}$ é o delta de Kronecker.

Polo tanto, sabendo qie ${\displaystyle (I)_{ij}=\delta _{ij}}$ temos que

${\displaystyle \det \left(A\right)I=\left({\mbox{adj}}(A)\right)A,}$

é dicir, que ${\displaystyle A}$ ten inversa pola esquerda

${\displaystyle {\frac {\left({\text{adj}}(A)\right)^{T}}{\det \left(A\right)}}.}$

Como ${\displaystyle \left({\text{adj}}(A)\right)^{T}={\text{adj}}\left(A^{T}\right)}$, así ${\displaystyle A^{T}}$ tamén ten unha inversa pola esquerda que é

${\displaystyle {\frac {\left({\text{adj}}(A^{T})\right)^{T}}{\det \left(A^{T}\right)}}={\frac {{\text{adj}}(A)}{\det \left(A\right)}}.}$

Daquela

${\displaystyle {\frac {{\text{adj}}(A)}{\det \left(A\right)}}A^{T}=I,}$

logo, aplicando a transposta

${\displaystyle A{\frac {\left({\text{adj}}(A)\right)^{T}}{\det \left(A\right)}}=I,}$

que é o que se quería demostrar.

Métodos de inversión de matrices

Solución analítica

Inversión de matrices 2×2

Pódese facer do seguinte xeito: ^[1]

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}}$

Isto é posíbel sempre que ${\displaystyle ad-bc\neq 0}$, é dicir, o determinante da matriz non é cero.

Exemplo numérico:

${\displaystyle C={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}},\ C^{-1}={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{-2}}{\begin{bmatrix}\,\,\,\,\,4&-2\\-3&\,\,\,\,\,1\end{bmatrix}}}$

Inversión de matrices de orde superior

Para matrices de orde superior pódese utilizar a seguinte fórmula:

${\displaystyle {A^{-1}}={1 \over {\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}\ \operatorname {adj} (A)\ }$

Onde ${\displaystyle {\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}$ é o determinante de ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle \ \operatorname {adj} {(A)}\ }$ é a matriz adxunta de ${\displaystyle A}$.

Cando a matriz ten máis de tres filas, esta fórmula é moi ineficiente e leva a longos cálculos. Existen métodos alternativos para calcular a matriz inversa que son moito máis eficientes.

Métodos numéricos

O método de eliminación de Gauss-Jordan pódese usar para determinar se unha matriz dada é invertíbel e para atopar a súa inversa. Unha alternativa é a descomposición LU, que descompón unha matriz dada como produto de dúas matrices triangulares, unha inferior e outra superior, moito máis fácil de inverter. Usando o método de Gauss-Jordan, a matriz dada colócase á esquerda e a matriz de identidade á dereita. Despois, mediante o uso de pivotes, inténtase formar a matriz identidade da esquerda e a matriz que resulte á dereita será a matriz inversa da dada.

Por exemplo, considere a seguinte matriz: ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&4\\5&6&0\end{pmatrix}}}$

Para atopar a matriz inversa ${\displaystyle A^{-1}}$, seguimos estes pasos:

Formar a matriz aumentada ${\displaystyle [A|I]}$: ${\displaystyle [A|I]=\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&2&3&1&0&0\\0&1&4&0&1&0\\5&6&0&0&0&1\end{array}}\right)}$

Aplicar operacións elementais de fila:

Paso 1: Restar 5 veces a primeira fila da terceira fila: ${\displaystyle \left({\begin{array}{ccc|ccc}1&2&3&1&0&0\\0&1&4&0&1&0\\0&-4&-15&-5&0&1\end{array}}\right)}$

Paso 2: Sumar 4 veces a segunda fila á terceira fila:

${\displaystyle \left({\begin{array}{ccc|ccc}1&2&3&1&0&0\\0&1&4&0&1&0\\0&0&1&-5&4&1\end{array}}\right)}$

Paso 3: Restar 3 veces a terceira fila da primeira fila e 4 veces a terceira fila da segunda fila:

${\displaystyle \left({\begin{array}{ccc|ccc}1&2&0&16&-12&-3\\0&1&0&20&-15&-4\\0&0&1&-5&4&1\end{array}}\right)}$

Paso 4: Restar 2 veces a segunda fila da primeira fila:

${\displaystyle \left({\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&-24&18&5\\0&1&0&20&-15&-4\\0&0&1&-5&4&1\end{array}}\right)}$

No lado dereito da matriz aumentada temos a matriz inversa da orixinal.

Grupo linear

O conxunto de todas as matrices ${\displaystyle n\times n}$ que admite inverso é unha representación linear do grupo linear de orde n, denotado como ${\displaystyle {\textrm {GL}}(n)}$. Este grupo ten importantes aplicacións en álxebra e física. A maiores ${\displaystyle {\textrm {GL}}(n)\subset M_{n\times n}}$ é un conxunto aberto (coa topoloxía inducida de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n^{2}}}$).