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ジョンソンの立体

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ジョンソンの立体
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ジョンソンの立体（ジョンソンのりったい、Johnson solid）、またはザルガラーの多面体（ザルガラーのためんたい、Zalgaller polyhedron）とは、整面凸多面体（せいめんとつためんたい、regular-faced convex polyhedron）のうち、正多面体、半正多面体、アルキメデスの角柱、アルキメデスの反角柱以外のもの。

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正四角錐 (J1)。最初のジョンソンの立体。
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三角広底球形屋根丸塔 (J92)。最後のジョンソンの立体。

整面凸多面体とは、全ての面が正多角形で全ての辺の長さが等しい凸多面体である。なお、「ザルガラーの多面体」は整面凸多面体の意味で使うこともある。

ジョンソンの立体は全部で92種類ある。正多面体以外のデルタ多面体、ミラーの立体も含む。

正多面体・半正多面体のリストアップは比較的簡単だが、ジョンソンの立体のリストアップは簡単ではない。1966年、アメリカの数学者ノーマン・ジョンソン(Norman Johnson)が全92種を記した一覧表を発表し、それぞれに番号と名前を与えたが、これで全てだとの証明はされなかった。3年後の1969年、ヴィクター・アブラモヴィッチ・ザルガラー(Victor Abramovich Zalgaller)がコンピュータを駆使して、この一覧表が完全であることを証明した。

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性質

面の種類は、1種類のもの（5種のデルタ多面体のみ）と複数種類のものとがある。

面の種類は、正三角形、正方形、正五角形、正六角形、正八角形、正十角形の6種類のみである。この性質は半正多面体にも共通する。これらの面は、正多面体が持つ3種類の面と、それらの辺の数を倍にしたものである。

正六角形、正八角形、正十角形の中では、最大1種類しか使われない。また、正 2n 角形（n ≥ 3）が使われているときは、正 n 角形も使われている。これらの性質は、半正多面体では成り立たない。

対称性はCyclicかDihedralである。これらは、正多面体や半正多面体のTetrahedralやOctahedralやIcosahedralより低い対称性であり、たとえば回転対称性については1本 (Cyclic) か2本 (Dihedral) しか軸を持たない。なお、アルキメデスの角柱やアルキメデスの反角柱の対称性はDihedralである。[疑問点 – ノート]

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一覧

要約
視点

番号と英語の名称はジョンソンによる。日本語訳にはいくらか揺れがあるので注意されたい。n 番目のジョンソンの立体を Jn と書く。

  • 1-6（6種）: 角錐、台塔、丸塔
  • 7-17（11種）: 角錐柱、角錐反柱、双角錐
  • 18-48（31種）: 台塔と丸塔の変形
  • 49-57（9種）: 側錐角柱
  • 58-64（7種）: 正多面体の変形
  • 65-83（19種）: 半正多面体の変形
  • 84-92（9種）: その他

対称性はシェーンフリース記号で書かれている。ほかの記号法についてはList of spherical symmetry groups（3次元点群の一覧）に詳しい。

さらに見る Jn, 名称 ...
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関連文献

  • 小林光夫, 鈴木卓治, 「正多角形を面にもつすべての凸多面体の頂点座標の計算」, 電気通信大学紀要, Vol.5 (No.2), 147-184 (1992). https://uec.repo.nii.ac.jp/records/8171

外部リンク

  • 正多面体、準正多面体、ザルガラー多面体、mxico
  • ジョンソン立体の分類
  • 立体２（☆ザルガラー多面体のところ） - 番号に前後あり。
  • Weisstein, Eric W. “Johnson Solid”. mathworld.wolfram.com (英語).
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