이항환
다음 두 조건을 만족시키는 가환환
를 이항환(二項環, 영어: binomial ring)이라고 한다.
- 덧셈군
의 꼬임 부분군이 자명군이다. 즉, 표준적 준동형
는 단사 함수이다.
- 모든 이항 계수
를 원소로 포함한다. 즉, 임의의
및
에 대하여,
가 되는
가 (유일하게) 존재한다.
이항환
위에
을 정의한다면, 이는 람다 환을 이룬다.[3]:Theorem 5.3 예를 들어, (한원소 공간 위의 위상 K군인[3]:9, Example 1.16) 정수환
는 이항환이며 따라서 람다 환을 이룬다.[3]:6, §1.2.1
이항환의 개념은 모든 애덤스 연산이 항등 함수인 람다 환의 개념과 동치이다.[4]
비트 벡터
가환환
위의 형식적 멱급수환
속의,
항의 계수가 1인 형식적 멱급수들로 구성된 부분 집합
![{\displaystyle \Lambda (R)=1+xR[[x]]\subseteq R[[x]]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d680a1eac9d96a40de834be4514d6c1e1671e37)
을 생각하자. 이는
-곱셈에 대하여 가환 모노이드를 이룬다.
위에 다음과 같은 가환환 및 람다 환 구조를 부여할 수 있다.[1]:7, §2[2]:§9.1
의 덧셈은
의 곱셈이다.
의 곱셈은 다음과 같다.[2]:§9.15

의 람다 연산은 다음과 같다.[2]:(16.8)

이 환은
계수의 (큰) 비트 벡터 환
과 동형이다. 비트 벡터는 통상적으로
위에 비트 다항식들을 통해 주어지는 특별한 가환환 구조로 정의된다. 이 경우

![{\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots )\mapsto {\frac {1}{(1-x_{1}t)(1-x_{2}t^{2})\cdots }}\in \mathbb {R} [[t]]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41ce56d7cba6b7003c5fbbe6532d081e25067eec)
는 환의 동형을 정의한다.[2]:(9.22)[3]:Theorem 4.16 이를 아르틴-하세 지수 함수(영어: Artin–Hasse exponential map)라고 한다.
이는 함자

를 정의하며, 이는 망각 함자

의 오른쪽 수반 함자이다.

대칭 다항식 환
가산 무한 개의 변수
의 형식적 멱급수환
을 생각하자.
의 원소는 유한 또는 무한 개의 항들의 합이며, 각 항은 유한 개의 변수
들의 곱이다.
가산 무한 개의 변수
의 대칭 다항식
은 다음 두 조건을 만족시키는 형식적 멱급수이다.[1]:§2.2[2]:(9.38), (9.39)
- 임의의 순열
에 대하여
이다. (여기서
는 양의 정수의 집합 위의 대칭군이다.)
에 속하는 항들의 계수의 집합은 유계 집합이다 (즉, 상계를 갖는다).
대칭 다항식들의 집합은
의 부분환을 이루며, 그 모든 원소는 기본 대칭 다항식
![{\displaystyle e_{i}({\vec {x}})=\sum _{1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{i}}x_{j_{1}}x_{j_{2}}\cdots x_{j_{i}}\in \mathbb {Z} [[{\vec {x}}]]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eacbb806b2a72b0103c7152e28d116027c1da1f7)
들의 유한 곱들의 유한 합으로 나타낼 수 있다. 즉, 이 환을
로 표기할 수 있다.
그 위에 다음과 같은 람다 환 구조를 정의할 수 있다.[2]:§16.65

그렇다면,
는 1변수 정수 계수 다항식환
위의 자유 람다 환이다.[1]:Theorem 2.1[2]:Theorem 16.74 즉, 자유 람다 환 함자
함자 아래
의 상이다. 또한,
아래 임의의 환 준동형
![{\displaystyle f\colon \mathbb {Z} [e]\to R}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c6d8ee70ef72e9bef14831edee0062c484bc528)

의 상은 다음과 같은 람다 환 준동형이다.
![{\displaystyle Sf\colon \mathbb {Z} [e_{1}({\vec {x}}),\dots ,e_{n}({\vec {x}})]\to R}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92739c4f99e534277c130165da21ab4d5a282e4f)
