람다 환

가환대수학과 대수적 위상수학에서 람다 환(λ環, 영어: λ-ring)은 벡터 공간의 외대수 연산과 유사한 공리들을 만족시키는 일련의 연산들이 부여된 가환환이다.

정의

다항식 P_n, P_m,n

기본 대칭 다항식

${\displaystyle e_{i}\in \mathbb {Z} [x_{1},\dots ,x_{n}]\qquad \forall i\in \{0,1,\dots ,n\}}$

${\displaystyle e_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{i}\leq n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\cdots x_{i_{j}}}$

을 정의하자.

다항식

${\displaystyle P_{n}\in \mathbb {Z} [x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{n}]\qquad \forall n\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle P_{m,n}\in \mathbb {Z} [x_{1},\dots ,x_{mn}]\qquad \forall m,n\in \mathbb {N} }$

은 다음 성질에 의하여 유일하게 정의되는 정수 계수 다항식이다.^{[1]:8, §2.1}

${\displaystyle \sum _{n}P_{n}\left(e_{1}({\vec {x}}),\dots ,e_{n}({\vec {x}}),e_{1}({\vec {y}}),\dots ,e_{n}({\vec {y}})\right)t^{n}=\prod _{i,j=1}^{n}(1+x_{i}y_{j}t)\in \mathbb {Z} [t,{\vec {x}},{\vec {y}}]}$

${\displaystyle \sum _{m}P_{m,n}(x_{1},\dots ,x_{mn})t^{m}=\prod _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{n}\leq mn}(1+x_{i_{1}}x_{i_{2}}\cdots x_{i_{n}}t)\in \mathbb {Z} [t,x_{1},\dots ,x_{mn}]}$

여기서 다음과 같은 약자를 사용하였다.

${\displaystyle {\vec {x}}=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$

${\displaystyle {\vec {y}}=(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n})}$

람다 환

람다 환은 다음과 같은 데이터로 구성된다.^{[1]:7, Definition 2.1[2]:§16.4[3]:7, Definition 1.10}

• 가환환 ${\displaystyle R}$
• 각 자연수(음이 아닌 정수) ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$에 대하여, 함수 ${\displaystyle \lambda ^{n}\colon R\to R}$. 이들을 ${\displaystyle n}$차 람다 연산(영어: ${\displaystyle n}$th λ-operation)이라고 한다.

이 함수 ${\displaystyle \lambda ^{n}}$들은 다음과 같은 공리들을 만족시켜야 한다.

${\displaystyle \lambda ^{0}(r)=1\qquad \forall r\in R}$

${\displaystyle \lambda ^{1}(r)=r\qquad \forall r\in R}$

${\displaystyle \lambda ^{n}(1)=0\qquad \forall n\geq 2}$

(합의 람다 연산) ${\displaystyle \lambda ^{n}(r+s)=\sum _{i+j=n}\lambda ^{i}(r)\lambda ^{j}(s)\qquad \forall r,s\in R,\;n\in \mathbb {N} }$

(곱의 람다 연산) ${\displaystyle \lambda ^{n}(rs)=P_{n}(\lambda ^{1}(r),\dots ,\lambda ^{n}(r),\lambda ^{1}(s),\dots ,\lambda ^{n}(s))\qquad \forall r,s\in R,\;n\in \mathbb {N} }$

(람다 연산의 합성) ${\displaystyle \lambda ^{m}(\lambda ^{n}(r))=P_{m,n}(\lambda ^{1}(r),\dots ,\lambda ^{mn}(r))\qquad \forall r\in R\;n\in \mathbb {N} }$

람다 환의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다. 두 람다 환 ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle R'}$ 사이의 준동형은 대수 구조로서의 준동형이다. 즉, 환 준동형 ${\displaystyle f\colon R\to R'}$ 가운데 다음 조건을 만족시키는 것이다.^{[2]:§16.4[3]:10, Definition 1.25}

${\displaystyle f(\lambda ^{n}(r))=\lambda ^{n}(f(r))\qquad \forall r\in R,\;n\in \mathbb {N} }$

람다 환과 람다 환 준동형은 범주 ${\displaystyle \lambda {\text{-Ring}}}$를 이룬다.

애덤스 연산

코호몰로지 연산의 일종인 애덤스 연산을 위상 K군으로부터 임의의 람다 환에 대하여 일반화할 수 있다.^[1]:§2.2

람다 환 ${\displaystyle R}$에 대하여, 람다 연산의 생성 함수를 정의하자.^{[2]:(16.10)[3]:7, (1.7)}

${\displaystyle \lambda _{t}(r)=\sum _{i=0}^{\infty }\lambda ^{i}(r)t^{i}\in R[[t]]}$

그렇다면, ${\displaystyle R}$ 위의 애덤스 연산

${\displaystyle \Psi ^{n}\colon R\to R\qquad \forall n\in \mathbb {Z} ^{+}}$

${\displaystyle \Psi _{t}(r)=\sum _{i=1}^{\infty }\Psi ^{i}(r)t^{i}\in R[[t]]}$

은 다음과 같다.^[2]:§16.20

${\displaystyle \Psi _{t}(r)=-t{\frac {\operatorname {d} }{\mathrm {d} t}}\ln \left(\lambda _{-t}(r)\right)\qquad \forall r\in R}$

즉, 애덤스 연산을 람다 연산으로부터 정의할 수 있으며 반대로 람다 연산을 애덤스 연산으로부터 정의할 수도 있다.

성질

람다 환 ${\displaystyle R}$에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.

• ${\displaystyle \lambda _{t}\colon (R,+)\to R[[t]]^{\times }}$는 아벨 군의 준동형을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.^{[3]:7, Proposition 1.13}

  ${\displaystyle \lambda _{t}(r+s)=\lambda _{t}(r)\lambda _{t}(s)\qquad \forall r,s\in R}$

  ${\displaystyle \lambda _{t}(0)=1}$

  ${\displaystyle \lambda _{t}(-r)=\lambda _{t}(r)^{-1}\qquad \forall r\in R}$

• 정수 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$에 대하여, ${\displaystyle \lambda _{t}(n)=(1+t)^{n}}$이다.

범주론적 성질

람다 환의 범주에서 가환환의 범주 ${\displaystyle \operatorname {CRing} }$로 가는 망각 함자

${\displaystyle F\colon \lambda {\text{-Ring}}\to \operatorname {CRing} }$

는 왼쪽 수반 함자와 오른쪽 수반 함자를 동시에 갖는다.^[2]:§16.1

${\displaystyle S\dashv F\dashv \Lambda }$

여기서

• 함자 ${\displaystyle S\colon \colon \operatorname {CRing} \to \lambda {\text{-Ring}}}$는 자유 람다 환(영어: free λ-ring) 함자이다. 이는 람다 환이 대수 구조 다양체를 이루므로 항상 존재한다.
• 함자 ${\displaystyle \Lambda \colon \operatorname {CRing} \to \lambda {\text{-Ring}}}$는 가환환 ${\displaystyle R}$를 ${\displaystyle 1+xR[[x]]}$ 위의 람다 환 구조로 대응시킨다.

예

이항환

다음 두 조건을 만족시키는 가환환 ${\displaystyle R}$를 이항환(二項環, 영어: binomial ring)이라고 한다.

• 덧셈군 ${\displaystyle (R,+)}$의 꼬임 부분군이 자명군이다. 즉, 표준적 준동형 ${\displaystyle \iota \colon R\to R\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} }$는 단사 함수이다.
• 모든 이항 계수 ${\displaystyle \textstyle {\binom {r}{n}}\;(r\in R)}$를 원소로 포함한다. 즉, 임의의 ${\displaystyle r\in R}$ 및 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$에 대하여, ${\displaystyle \iota (s)=\textstyle {\binom {r}{n}}=r(r-1)\cdots (r-n+1)/n!\in R\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} }$가 되는 ${\displaystyle s\in R}$가 (유일하게) 존재한다.

이항환 ${\displaystyle R}$ 위에 ${\displaystyle \lambda ^{n}(k)=\textstyle {\binom {k}{n}}}$을 정의한다면, 이는 람다 환을 이룬다.^{[3]:Theorem 5.3} 예를 들어, (한원소 공간 위의 위상 K군인^{[3]:9, Example 1.16}) 정수환 ${\displaystyle \mathbb {Z} \cong \operatorname {K} ^{0}(\{\bullet \})}$는 이항환이며 따라서 람다 환을 이룬다.^{[3]:6, §1.2.1}

이항환의 개념은 모든 애덤스 연산이 항등 함수인 람다 환의 개념과 동치이다.^[4]

비트 벡터

 이 부분의 본문은 비트 벡터입니다.

가환환 ${\displaystyle R}$ 위의 형식적 멱급수환 ${\displaystyle R[[x]]}$ 속의, ${\displaystyle x^{0}}$항의 계수가 1인 형식적 멱급수들로 구성된 부분 집합

${\displaystyle \Lambda (R)=1+xR[[x]]\subseteq R[[x]]}$

을 생각하자. 이는 ${\displaystyle R[[x]]}$-곱셈에 대하여 가환 모노이드를 이룬다.

${\displaystyle \Lambda (R)}$ 위에 다음과 같은 가환환 및 람다 환 구조를 부여할 수 있다.^{[1]:7, §2[2]:§9.1}

• ${\displaystyle \Lambda (R)}$의 덧셈은 ${\displaystyle R[[x]]}$의 곱셈이다.
• ${\displaystyle \Lambda (R)}$의 곱셈은 다음과 같다.^[2]:§9.15

  ${\displaystyle (1+r_{1}x+r_{2}x^{2}+\cdots )\cdot (1+s_{1}x+s_{2}x^{2}+\cdots )=1+\sum _{n=1}^{\infty }P_{n}(r_{1},\dots ,r_{n},s_{1},\dots ,s_{n})x^{n}}$

• ${\displaystyle \Lambda (R)}$의 람다 연산은 다음과 같다.^[2]:(16.8)

  ${\displaystyle \lambda ^{n}(1+r_{1}x+r_{2}x^{2}+\cdots )=1+\sum _{m=1}^{\infty }P_{m,n}(r_{1},\dots ,r_{mn})t^{m}}$

이 환은 ${\displaystyle R}$ 계수의 (큰) 비트 벡터 환 ${\displaystyle \operatorname {WittVector} (R)}$과 동형이다. 비트 벡터는 통상적으로 ${\displaystyle R^{\mathbb {Z} ^{+}}}$ 위에 비트 다항식들을 통해 주어지는 특별한 가환환 구조로 정의된다. 이 경우

${\displaystyle \operatorname {WittVector} (R)\to \Lambda (R)}$

${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots )\mapsto {\frac {1}{(1-x_{1}t)(1-x_{2}t^{2})\cdots }}\in \mathbb {R} [[t]]}$

는 환의 동형을 정의한다.^{[2]:(9.22)[3]:Theorem 4.16} 이를 아르틴-하세 지수 함수(영어: Artin–Hasse exponential map)라고 한다.

이는 함자

${\displaystyle \Lambda \colon \operatorname {CRing} \to \lambda {\text{-Ring}}}$

를 정의하며, 이는 망각 함자

${\displaystyle F\colon \lambda {\text{-Ring}}\to \operatorname {CRing} }$

의 오른쪽 수반 함자이다.

${\displaystyle F\dashv \Lambda }$

대칭 다항식 환

가산 무한 개의 변수 ${\displaystyle {\vec {x}}=(x_{1},x_{2},\dots )}$의 형식적 멱급수환 ${\displaystyle Z[[{\vec {x}}]]}$을 생각하자. ${\displaystyle Z[[{\vec {x}}]]}$의 원소는 유한 또는 무한 개의 항들의 합이며, 각 항은 유한 개의 변수 ${\displaystyle x_{i}}$들의 곱이다.

가산 무한 개의 변수 ${\displaystyle {\vec {x}}=(x_{1},x_{2},\dots )}$의 대칭 다항식 ${\displaystyle p\in Z[[{\vec {x}}]]}$은 다음 두 조건을 만족시키는 형식적 멱급수이다.^{[1]:§2.2[2]:(9.38), (9.39)}

• 임의의 순열 ${\displaystyle \sigma \in \operatorname {Sym} (\mathbb {Z} ^{+})}$에 대하여 ${\displaystyle p(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},\dots )=p(x_{1},x_{2},\dots )}$이다. (여기서 ${\displaystyle \operatorname {Sym} (\mathbb {Z} ^{+})}$는 양의 정수의 집합 위의 대칭군이다.)
• ${\displaystyle p}$에 속하는 항들의 계수의 집합은 유계 집합이다 (즉, 상계를 갖는다).

대칭 다항식들의 집합은 ${\displaystyle \mathbb {Z} [[{\vec {x}}]]}$의 부분환을 이루며, 그 모든 원소는 기본 대칭 다항식

${\displaystyle e_{i}({\vec {x}})=\sum _{1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{i}}x_{j_{1}}x_{j_{2}}\cdots x_{j_{i}}\in \mathbb {Z} [[{\vec {x}}]]}$

들의 유한 곱들의 유한 합으로 나타낼 수 있다. 즉, 이 환을 ${\displaystyle \mathbb {Z} [e_{0}({\vec {x}}),e_{1}({\vec {x}}),\dots ,]}$로 표기할 수 있다.

그 위에 다음과 같은 람다 환 구조를 정의할 수 있다.^[2]:§16.65

${\displaystyle \lambda ^{m}\colon e_{n}({\vec {x}})\mapsto P_{m,n}(e_{1}({\vec {x}}),\dots ,e_{mn}({\vec {x}}))}$

그렇다면, ${\displaystyle \mathbb {Z} [e_{1}({\vec {x}}),\dots ,e_{n}({\vec {x}})]}$는 1변수 정수 계수 다항식환 ${\displaystyle \mathbb {Z} [e]}$ 위의 자유 람다 환이다.^{[1]:Theorem 2.1[2]:Theorem 16.74} 즉, 자유 람다 환 함자 ${\displaystyle S\colon \operatorname {CRing} \to \lambda {\text{-Ring}}}$ 함자 아래 ${\displaystyle \mathbb {Z} [e]}$의 상이다. 또한, ${\displaystyle S}$ 아래 임의의 환 준동형

${\displaystyle f\colon \mathbb {Z} [e]\to R}$

${\displaystyle f\colon e\mapsto f(e)\in R}$

의 상은 다음과 같은 람다 환 준동형이다.

${\displaystyle Sf\colon \mathbb {Z} [e_{1}({\vec {x}}),\dots ,e_{n}({\vec {x}})]\to R}$

${\displaystyle Sf\colon e_{n}\mapsto \lambda ^{n}(f(e))}$

위상 K이론

파라콤팩트 하우스도르프 공간 ${\displaystyle X}$ 위의 위상 K군 ${\displaystyle \operatorname {K} _{K}^{0}(X)}$는 람다 환을 이룬다.^{[3]:9, Example 1.16} 이 경우 ${\displaystyle \lambda ^{n}}$은 벡터 다발 위의 외대수 ${\displaystyle \lambda ^{n}[E]=[\Lambda ^{n}(E;K)]}$이다.

표현환

유한군 ${\displaystyle G}$ 위의 체 ${\displaystyle K}$ 계수 표현환 ${\displaystyle \operatorname {Repr} (G;K)}$ (군의 유한 차원 ${\displaystyle K}$-벡터 공간 표현들의 반환의 그로텐디크 구성)은 람다 환을 이룬다.^{[3]:9, Example 1.17} 이 경우, ${\displaystyle \lambda ^{n}}$은 군의 표현의 외대수이다.

${\displaystyle \lambda [r-r']=\lambda (r^{\wedge n}-r'^{\wedge n})\qquad (r\colon G\to V,\;r'\colon G\to V',\;r^{\wedge n}\colon G\to \Lambda ^{n}V,\;r'^{\wedge n}\colon G\to \Lambda ^{n}V}$

역사

알렉산더 그로텐디크가 1958년에 그로텐디크-리만-로흐 정리를 연구하기 위하여 도입하였다.^{[5][2]:§16.1}

역사적으로, ${\displaystyle P_{n}}$ 및 ${\displaystyle P_{m,n}}$으로 정의된 항등식들을 따르는 가환환들은 "특수 람다 환"(영어: special λ-ring)으로 불렸으며, "람다 환"이라는 용어는 이 조건들이 생략된, 더 일반적인 개념을 일컬었다. 그러나 오늘날에는 후자의 개념은 더 이상 널리 사용되지 않으며, "람다 환"이라는 용어는 특수 람다 환을 일컫는다.^[2]:§16.1

같이 보기

• 천 특성류
• 대칭 함수
• K이론