Аркус косинус

Аркус косинус – функција инверзна на косинусната функција во ограничениот интервал [0,π]. Се користи за одредување на големина на агол во овој опсег, када е позната вредноста на неговиот косинус.

Аркус косинус
y(x)=arccos(x)
Основни особини
Домен	[-1, 1]
Кодомен	[0, π]
Паритет	непарна
Одредени вредности
Други особини
Извод	${\displaystyle {\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}};\qquad |x|<1}$
Превојна точка	(0,π/2)

Формули

Формули кои се поврзани со аркус косинус:

${\displaystyle \arccos {-x}={\frac {\pi }{2}}-\arcsin {x}}$ (правило на комплементарни агли)

${\displaystyle \arccos {-x}=\pi -\arccos {x}}$

${\displaystyle \arccos x=\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}},}$ ако ${\displaystyle \ 0\leq x\leq 1}$

${\displaystyle \arccos {\frac {1}{x}}=arcsec{x}}$

Преку формулата за половина агол се добива и:

${\displaystyle \arccos x=2arctg{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1+x}},}$ ако ${\displaystyle -1<x\leq +1}$

Извод

Изводот на аркус косинус е:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arccos x{}={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}};\qquad |x|<1}$

Претставување во форма на интеграл

Претставена во форма на интеграл аркус косинус е:

${\displaystyle \arccos x{}=\int _{x}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz,\qquad |x|\leq 1}$

Претставување во форма на бесконечна сума

Претставена во форма на бесконечна сума аркус косинус е:

${\displaystyle {\begin{aligned}\arccos z&{}={\frac {\pi }{2}}-\arcsin z\\&{}={\frac {\pi }{2}}-(z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots )\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)}};\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}}$

Поврзано

• Тригонометриски функции
• Инверзни тригонометриски функции

Надворешни врски

• ArcCos/ Функцијата аркус косинус на wolfram.com

Тригонометриски и хиперболични функции

Синус Косинус Тангенс Котангенс Секанс Косеканс Функција sin(x) cos(x) tg(x) ctg(x) sec(x) cosec(x) Инверзна arcsin(x) arccos(x) arctg(x) arcctg(x) arcsec(x) arccosec(x) Хиперболична sinh(x) cosh(x) tgh(x) ctgh(x) sech(x) cosech(x) Инв. хиперболична arcsinh(x) arccosh(x) arctgh(x) arcctgh(x) arcsech(x) arccosech(x)