Аркус котангенс

Аркус котангенс – функција инверзна на котангенсната функција во ограничениот интервал [-π/2,π/2]. Се користи се за одредување на големина на агол во овој опсег, кога е позната вредноста на неговиот котангенс. Може да се дефинира со следната формула:

${\displaystyle \operatorname {arcctg} \;x=\operatorname {ctg} ^{-1}x={\frac {i}{2}}\left(\log \left(1-{\frac {i}{x}}\right)-\log \left(1+{\frac {i}{x}}\right)\right)}$

Аркус котангенс
y(x)=arcctg(x)
Основни особини
Домен	(-∞,∞)
Кодомен	(-π,0)
Паритет	непарна
Одредени вредности
Асимптота	y = 0
Вредност х=+∞	0
Вредност х=-∞	0
Други особини
Извод	:${\displaystyle {\frac {-1}{1+x^{2}}}}$

При што треба да важи -{x}- е различно од нула.

Формули

Формули кои се поврзани со аркус котангенс:

${\displaystyle \operatorname {arcctg} \;x={\frac {\pi }{2}}-\arctan x}$ (правило на комплементарни агли)

${\displaystyle \operatorname {arcctg} (-x)=\pi -\operatorname {arcctg} \;x\!}$

${\displaystyle \operatorname {arcctg} \;{\frac {1}{x}}={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcctg} \;x=\arctan x,\ }$ ${\displaystyle \ x>0}$

${\displaystyle \operatorname {arcctg} \;{\frac {1}{x}}={\frac {3\pi }{2}}-\operatorname {arcctg} \;x=\pi +\arctan x,\ }$ ${\displaystyle \ x<0}$

Извод

Изводот на аркус котангенс е:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arcctg} \;x{}={\frac {-1}{1+x^{2}}}}$

Претставување во форма на интеграл

Претставена во форма на интеграл аркус котангенс е:

${\displaystyle \operatorname {arcctg} \;x{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}+1}}\,dx}$

Претставување во форма на бесконечна сума

Претставена во форма на бесконечна сума аркус котангенс е:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcctg} x&{}={\frac {\pi }{2}}-\arctan x\\&{}={\frac {\pi }{2}}-(z-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots )\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}};\qquad |x|\leq 1\qquad x\neq i,-i\end{aligned}}}$

Поврзано

• Тригонометриски функции
• Инверзни тригонометриски функции

Надворешни врски

• Функцијата аркус котангенс на wolfram.com

Тригонометриски и хиперболични функции

Синус Косинус Тангенс Котангенс Секанс Косеканс Функција sin(x) cos(x) tg(x) ctg(x) sec(x) cosec(x) Инверзна arcsin(x) arccos(x) arctg(x) arcctg(x) arcsec(x) arccosec(x) Хиперболична sinh(x) cosh(x) tgh(x) ctgh(x) sech(x) cosech(x) Инв. хиперболична arcsinh(x) arccosh(x) arctgh(x) arcctgh(x) arcsech(x) arccosech(x)