Algebra Banacha – przestrzeń Banacha z określonym dodatkowym działaniem mnożenia wraz z którym tworzy ona algebrę nad ciałem liczb rzeczywistych (algebrę rzeczywistą) bądź zespolonych (algebrę zespoloną) i w której norma jest podmultiplikatywna, tj.
Definicja ta ma również sens dla przestrzeni unormowanych, które niekoniecznie są zupełne – w takim przypadku mówi się o algebrach unormowanych. Jeżeli działanie mnożenia jest przemienne, to mówi się odpowiednio o przemiennych algebrach unormowanych i przemiennych algebrach Banacha.
Istnieją zasadnicze różnice w teorii zespolonych i rzeczywistych algebr Banacha wynikające z gorszych własności spektralnych tych drugich, skąd klasyczna teoria algebr Banacha dotyczy głównie zespolonych algebr Banacha. W analizie -adycznej rozważa się również zdefiniowane podobnie jak wyżej algebry Banacha nad ciałem liczb -adycznych (bądź innym ciałem z waluacją), jednak zwykle teorii tej nie zalicza się do teorii algebr Banacha. W niniejszym artykule rozważane będą głównie zespolone algebry Banacha.
Nazwa algebra Banacha została wprowadzona w 1945 przez Warrena Ambrose’a[1].
Definicja algebry Banacha nie wymaga by miała ona jedynkę, tj. element neutralny względem mnożenia. Skrajnym przykładem algebry Banacha bez jedynki jest dowolna przestrzeń Banacha z trywialnym mnożeniem, tj. Każdą algebrę Banacha można jednak rozszerzyć o jedynkę do większej algebry Banacha (tj. zbudować jej ujedynkowienie) w taki sposób by była izometryczna z ideałem o kowymiarze 1 w ujedynkowieniu. Dokładniej, w sumie prostej wprowadza się działanie mnożenia wzorem
wraz z którą jest ona algebrą. Algebra ta jest algebrą Banacha z normą
- [2].
Powyższe konstrukcje mają również sens dla rzeczywistych algebr Banacha; należy jedynie zastąpić wszędzie przez
- Niech lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa oraz niech oznacza algebrę funkcji ciągłych o wartościach skalarnych, które znikają w nieskończoności, tj. takich funkcji ciągłych że dla każdego zbiór
- jest zwarty. W przypadku, gdy przestrzeń jest zwarta, każda funkcja ciągła na spełnia ten warunek, skąd przyjmuje się oznaczenie Algebra z normą supremum:
- jest przemienną algebrą Banacha, która ma jedynkę wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń jest zwarta (jedynką jest wówczas funkcja stale równa 1).
- jest algebrą Banacha z jedynką (jedynką jest w tym wypadku operator identycznościowy). Algebra ta jest przemienna wtedy i tylko wtedy, gdy
- Niech oznacza przestrzeń funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue’a na prostej z mnożeniem określonym przez splot, tj.
- Jest to przykład algebry Banacha bez jedynki, którą jednak można aproksymować w takim sensie, iż istnieje ciąg o wyrazach z przestrzeni o tej własności, że dla każdej liczby naturalnej oraz
- dla każdej funkcji Ogólniej, dla każdej lokalnie zwartej grupy topologicznej Hausdorffa z określoną na niej miarą Haara przestrzeń funkcji -całkowalnych na z działaniem mnożenia splotowego określonego niżej jest algebrą Banacha:
- Algebra ma jedynkę wtedy i tylko wtedy, gdy grupa jest dyskretna.
Niech będzie (rzeczywistą bądź zespoloną) algebrą Banacha z jedynką 1. Zbiór złożony ze wszystkich elementów odwracalnych w jest niepusty, gdyż zawiera 1 oraz jest grupą z mnożeniem dziedziczonym z Jeżeli oraz
- :=\|1-a\|<1,}
to Ponadto
- [5].
- Dowód. Niech będą liczbami naturalnymi. Wówczas
- Ponieważ prawa strona powyższej nierówności jest zbieżna do 0, ciąg sum częściowych ciągu jest ciągiem Cauchy’ego, a więc jest on zbieżny do pewnego elementu (z zupełności ), tj.
- Ponadto
- oraz
- ponieważ Pokazuje to, że Co więcej,
Z powyższego wynika, że grupa jest otwarta (w topologii pochodzącej od normy )[6].
- Dowód. Niech będzie elementem odwracalnym oraz niech będzie dowolne. Wówczas W przypadku gdy element jest również odwracalny ponieważ
- więc element (a więc i samo ) jest odwracalny.
Ostatecznie, funkcja
jest ciągła, tj. jest grupą topologiczną[7].
- Dowód. Niech Jeżeli to
- Stąd
- Ostatecznie
- co dowodzi ciągłości operacji brania elementu odwrotnego.
Niech będzie algebrą Banacha oraz niech będzie domkniętym ideałem dwustronnym. W szczególności, jest domkniętą podprzestrzenią liniową, więc przestrzeń ilorazowa jest przestrzenią Banacha. Ponieważ jest ideałem dwustronnym, jest również algebrą. Algebra ta jest algebrą Banacha, tj. norma ilorazowa jest podmultiplikatywna.
- Dowód. Niech Wówczas
- Powyższa nierówność kończy dowód, ponieważ każdy element jest postaci dla pewnego [8].
Z ciągłości działań w algebrze Banacha wynika, że jeżeli jest dowolnym ideałem w to jego domknięcie też jest ideałem w
Przykłady
- Niech będzie zwartą przestrzenią Hausdorffa. Wówczas każdy domknięty ideał w jest postaci
- dla pewnego zwartego podzbioru Algebra ilorazowa jest wówczas izometrycznie izomorficzna jako algebra Banacha z [9][10].
- Dla każdej przestrzeni Banacha zbiór złożony ze wszystkich operatorów zwartych na jest domkniętym ideałem w Algebra ilorazowa bywa nazywana algebrą Calkina przestrzeni (czasami nazwa ta jest rezerwowana dla przypadku, gdy jest ośrodkową przestrzenią Hilberta[11]).
- Ronald G. Douglas: Banach Algebra Techniques in Operator Theory. Nowy Jork: Springer-Verlag, 1998.
- Eberhard Kaniuth: A Course in Commutative Banach Algebras. Nowy Jork: Springer-Verlag, 2009, seria: Grad. Texts in Math., vol. 246.
- Richard V. Kadison, John. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Elementary Theory. Nowy Jork: Academic Press, 1983.
- William Arveson: A Short Course on Spectral Theory. Nowy Jork: Springer-Verlag, 2001. Brak numerów stron w książce