Loading AI tools
element odwrotny złożenia funkcji Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Funkcja odwrotna – funkcja przyporządkowująca wartościom jakiejś funkcji jej odpowiednie argumenty, czyli działająca odwrotnie do niej.
Funkcję nazywamy odwracalną w gdy istnieje funkcja taka, że[1]:
Innymi słowy jest taką funkcją, że złożenia oraz są identycznościami, odpowiednio, na zbiorze i Funkcję nazywamy funkcją odwrotną do i oznaczamy symbolem
Bezpośrednio z definicji wynika, że jest funkcją odwracalną w wtedy i tylko wtedy, gdy jest funkcją wzajemnie jednoznaczną (bijekcją), czyli jednocześnie jest funkcją różnowartościową (iniekcją) i funkcją „na” (surjekcją).
Oznaczenia nie należy mylić z symbolem
Nie dla każdej funkcji istnieje funkcja do niej odwrotna.
Twierdzenie
Wynika z tego, iż relacja ze zbioru wartości do zbioru argumentów dla danej funkcji niebędącej bijekcją nie musi być funkcją.
Wyznaczenie funkcji odwrotnej do danej polega na rozwiązaniu równania
względem niewiadomej Rozwiązanie, czyli
to poszukiwana funkcja odwrotna.
Jeżeli funkcja odwrotna do danej istnieje, to jest ona wyznaczona jednoznacznie: jest ona relacją odwrotną.
Między funkcją a funkcją do niej odwrotną istnieje symetria. Dokładniej, jeśli odwrotną do jest to odwrotną do jest funkcja Symbolicznie:
Obserwacja ta zachodzi na mocy uwagi, iż odwrotność relacji jest inwolucją: powtórzenie tej operacji cofa do punktu wyjścia. Własność symetrii może być wyrażona krótko za pomocą wzoru:
Funkcja odwrotna do złożenia funkcji dana jest wzorem
Należy zwrócić uwagę na zmianę porządku i aby odwrócić działanie następującego po należy najpierw odwrócić a następnie odwrócić
Jeżeli jest dowolnym zbiorem, to funkcja tożsamościowa na jest swoją własną odwrotnością:
Ogólniej, jeżeli funkcja jest równa swojej odwrotności wtedy i tylko wtedy, gdy złożenie jest równe Takie funkcje nazywa się inwolucjami.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.