Funkcja φ (Eulera) lub tocjent – funkcja przypisująca każdej liczbie naturalnej liczbę liczb względnie pierwszych z nią i nie większych od niej[1]. Nazwa pochodzi od nazwiska Leonharda Eulera[uwaga 1][2][3][4][5].
Kilka początkowych wartości funkcji
Więcej informacji + ...
+ |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
0 |
1 | 1 | 2 | 2 | 4 | 2 | 6 | 4 | 6 | 4 |
10 |
10 | 4 | 12 | 6 | 8 | 8 | 16 | 6 | 18 | 8 |
20 |
12 | 10 | 22 | 8 | 20 | 12 | 18 | 12 | 28 | 8 |
30 |
30 | 16 | 20 | 16 | 24 | 12 | 36 | 18 | 24 | 16 |
40 |
40 | 12 | 42 | 20 | 24 | 22 | 46 | 16 | 42 | 20 |
50 |
32 | 24 | 52 | 18 | 40 | 24 | 36 | 28 | 58 | 16 |
60 |
60 | 30 | 36 | 32 | 48 | 20 | 66 | 32 | 44 | 24 |
70 |
70 | 24 | 72 | 36 | 40 | 36 | 60 | 24 | 78 | 32 |
80 |
54 | 40 | 82 | 24 | 64 | 42 | 56 | 40 | 88 | 24 |
90 |
72 | 44 | 60 | 46 | 72 | 32 | 96 | 42 | 60 | 40 |
Zamknij
Funkcja Eulera odgrywa dużą rolę w teorii liczb. Ma też istotne zastosowania w kryptografii w badaniach nad złożonością szyfrów.
- Dla każdej liczby naturalnej
- Jeżeli jest pierwsza, to każda z liczb jest względnie pierwsza z więc[6]
- [2].
- Jeżeli jest liczbą pierwszą, to[6]
- Jeżeli są wszystkimi czynnikami pierwszymi liczby liczonymi bez powtórzeń, to[7]
- Jeżeli nie ma wielokrotnych dzielników pierwszych, tj.[7]
- gdzie liczby są pierwsze i parami różne to
- (sumowanie obejmuje wszystkie dzielniki liczby ).
- jest rozkładem liczby na czynniki pierwsze, to
- co wynika z multiplikatywności tej funkcji[9].
W Arytmetyce teoretycznej Sierpińskiego funkcja ta nosi nazwę funkcja Gaussa.
Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik: Matematyka konkretna. PWN, 2001, s. 158-171. ISBN 83-01-12124-6.
Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik: Matematyka konkretna. PWN, 2001, s. 159. ISBN 83-01-12124-6.
Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik: Matematyka konkretna. PWN, 2001, s. 160. ISBN 83-01-12124-6.
Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik: Matematyka konkretna. PWN, 2001, s. 161. ISBN 83-01-12124-6.
AdamA. Neugebauer AdamA., Matematyka olimpijska. 1, Algebra i teoria liczb, wyd. I, Kraków: Wydawnictwo Szkolne OMEGA, 2018, s. 146-147, ISBN 978-83-7267-710-5, OCLC 1055646686 [dostęp 2022-07-07].