Loading AI tools
jednoelementowa grupa w sensie matematycznym Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Grupa trywialna[uwaga 1] – grupa składająca się wyłącznie z jednego elementu; tego rodzaju grupy są najmniejszymi w sensie liczebności (tj. rzędu) możliwymi grupami[uwaga 2].
Istnieje wiele tak scharakteryzowanych grup, np.:
wszystkie one mają tę samą strukturę, tzn. są izomorficzne.
Dzieje się tak również dlatego, że w dowolnym zbiorze jednoelementowym można wprowadzić jedno i tylko jedno działanie dwuargumentowe które uczyniłoby z niego grupę[uwaga 6]. Wówczas wzór
opisuje wszystkie w niej zależności; w szczególności, iż pełni rolę elementu neutralnego oraz odwrotnego względem siebie. W związku z powyższym często utożsamia się wszystkie grupy jednoelementowe oznaczając je wspólnym symbolem, np. czy (w notacji multiplikatywnej) albo (w notacji addytywnej).
Każda grupa trywialna jest cykliczna, gdyż jest generowana przez element neutralny (przyjmuje się również, że generuje ją także zbiór pusty). Jako taka jest ona zatem: przemienna (abelowa), a ponadto doskonała, pełna, nilpotentna oraz rozwiązalna; dodatkowo jest to jedyna grupa jednocześnie torsyjna i beztorsyjna, przyjmuje się również, że ma zerową rangę.
W dowolnej grupie można wyróżnić jedną i tylko jedną podgrupę, która sama w sobie jest grupą trywialną: składa się ona z jej elementu neutralnego i nazywa podgrupą trywialną tej grupy.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.