relacja między dwoma działaniami algebraicznymi lub między kwantyfikatorem a spójnikiem Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Rozdzielność, dystrybutywność[potrzebny przypis] – własność pewnych pojęć matematycznych występujących w arytmetyce, algebrze i podstawach matematyki – logice matematycznej i teorii mnogości. Wyróżnia się rozdzielność:
Pojęcie rozdzielności działania pojawiło się najpóźniej w XIX wieku; w 1814 roku użył go François Joseph Servois[1]. Rozdzielność mnożenia względem dodawania i odejmowania znalazła się w podstawie programowej matematyki w polskich szkołach podstawowych[2].
Zależność między mnożeniem a dodawaniem liczb postaci
i podobnie z przestawioną kolejnością czynników,
wykorzystuje się, niekiedy nieświadomie, podczas prowadzenia obliczeń w pamięci:
czyli (w tym przypadku) mnożenia przez ustaloną liczbę osobno dziesiątek i jedności danej liczby.
Można też uzupełnić jeden z czynników do „okrągłej” liczby, której iloczyn łatwo obliczyć, a następnie zrównoważyć obliczenia osobno odliczając dodaną nadwyżkę:
Role mnożenia i dodawania/odejmowania w powyższych przykładach są dokładnie określone i nie można ich zamienić bez szkody dla poprawności obliczeń:
W przypadku dzielenia regułę zaobserwowaną dla mnożenia można stosować tylko częściowo: choć
to jednak
Zapisując dzielenie w postaci ułamka, obliczenia można przeprowadzić zgodnie z następującym przykładem:
ale mimo wszystko, podobnie jak wyżej:
Niech oraz oznaczają działania dwuargumentowe określone na ustalonym zbiorze [a]. Działanie jest względem [3]:
Jeśli działanie jest przemienne, to powyższe warunki są równoważne logicznie i wynikają one wszystkie z jednego z nich.
Dla dowolnych liczb rzeczywistych
Podane własności mnożenia i dzielenia uogólnia się na liczby zespolone, hiperzespolone oraz inne algebry jak liczby podwójne czy dualne. Na tych strukturach nie rozważa się funkcji minimum i maksimum, ponieważ nie da się na nich określić porządku o pożądanych własnościach.
W dodatku dla liczb dodatnich potęgowanie jest prawostronnie rozdzielne względem mnożenia i dzielenia[5]:
Te własności trudno uogólnić na inne liczby; zero do potęgi zerowej bywa uznawane za nieokreślone, za to przy dopuszczeniu ujemnych argumentów potęgowanie przestaje być ściśle rozumianym działaniem – wynikiem potęgowania liczb ujemnych może być liczba zespolona. Na zbiorze niezerowych liczb zespolonych można określić potęgowanie, jednak ono również nie jest ściśle określonym działaniem, ponieważ jego wyniki nie są pojedynczymi liczbami – jest to multifunkcja.
Definicję rozdzielności można poszerzyć; dla działań na zdaniach logicznych oznacza ona równoważność odpowiednich wyrażeń. Dla dowolnych zdań koniunkcja i alternatywa są wzajemnie rozdzielne[potrzebny przypis]:
Dla dowolnie wybranych zbiorów
Dla dowolnie wybranych obiektów kategorii dwukartezjańsko domkniętej[b][c]
Rozdzielność działań jako relacja dwuargumentowa w ogólności:
Rozdzielność działań, przynajmniej jednostronną, zakłada się w aksjomatycznych definicjach struktur algebraicznych takich jak:
Mnożenie przez ustalony element – z lewej lub prawej strony – można traktować jako operator. Jest to w istocie funkcja addytywna w danym pierścieniu[d]. Takie spojrzenie na mnożenie umożliwiło rozpatrywanie działań zewnętrznych względem ustalonej grupy addytywnej, co doprowadziło do rozwinięcia teorii m.in. działań grup na zbiorach, modułów nad pierścieniami (przestrzeni liniowych nad ciałami; w tym modułów/przestrzeni sprzężonych), czy grup z operatorami[potrzebny przypis].
Pewne własności kwantyfikatorów nazywa się rozdzielnością, np.:
Kwantyfikator duży nie jest rozdzielny względem alternatywy[10], jednak zachodzi słabsza implikacja, w jedną stronę[12][11]:
Kwantyfikator mały nie jest rozdzielny względem koniunkcji[13], jednak zachodzi słabsza implikacja, w jedną stronę[13][11]:
Kwantyfikator duży nie jest rozdzielny względem implikacji, jednak zachodzi słabsze wynikanie, w jedną stronę[11], nazywane prawem rozkładania[14][15]:
Kwantyfikator mały nie jest rozdzielny względem implikacji i nie zachodzą analogiczne reguły z implikacją w jedną stronę. Jest jednak podobne prawo, również nazywane prawem rozkładania[14][16]:
Powyższe informacje można podsumować tabelą:
kwantyfikator | spójnik logiczny | ||
---|---|---|---|
koniunkcja | alternatywa | implikacja | |
duży | tak | nie | nie |
mały | nie | tak | nie |
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.