Koniunkcja (logika)

Koniunkcja – zdanie złożone mające postać p i q, gdzie p, q są zdaniami. W rachunku zdań koniunkcję zapisuje się symbolicznie jako: ${\displaystyle p\,\land \,q.}$ Przez koniunkcję rozumie się też zdanie mające postać ${\displaystyle p_{1}}$ i... i ${\displaystyle p_{n}.}$ Koniunkcję można zdefiniować precyzyjniej jako dwuargumentowe działanie określone w zbiorze zdań lub funkcji zdaniowych, które zdaniom p, q przyporządkowuje zdanie p i q^[1][2]. Koniunkcja dwóch zdań p i q jest zdaniem prawdziwym wtedy i tylko wtedy, gdy oba zdania p, q są zdaniami prawdziwymi^[1][2]. Niekiedy słowo koniunkcja odnosi się również do spójnika.

Zobacz też: inne znaczenia słowa „koniunkcja”.

Definicja

Niech ${\displaystyle \mathbb {B} }$ będzie dwuelementowym zbiorem wartości logicznych: ${\displaystyle \mathbb {B} =\{0,1\}.}$ Koniunkcja ${\displaystyle \land \,:\mathbb {B} \times \mathbb {B} \to \mathbb {B} }$ jest funkcją dwuargumentową ze zbioru ${\displaystyle \mathbb {B} \times \mathbb {B} }$ w zbiór ${\displaystyle \mathbb {B} }$^[a], określoną następująco:

${\displaystyle p\land q=\min(p,q)}$^[3]

lub równoważnie

${\displaystyle p\land q=p\cdot q}$^[1][3].

Działanie to pozostaje w ścisłym związku z działaniem iloczynu zbiorów (patrz algebra zbiorów). Dlatego zdanie utworzone z innych zdań za pomocą koniunkcji jest też nazywane iloczynem logicznym, a jego zdania składowe nazywane są czynnikami koniunkcji. Koniunkcja dwóch zdań p i q jest zdaniem prawdziwym wtedy i tylko wtedy, gdy oba jej czynniki p, q są zdaniami prawdziwymi^[1][2].

Tablica prawdy dla koniunkcji^[2]:

${\displaystyle p}$	${\displaystyle q}$	${\displaystyle p\land q}$
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

gdzie: 1 – zdanie prawdziwe, 0 – fałszywe

Oznaczenia

Zestawienie symboli koniunkcji, stosowanych przez różnych autorów^[4][5]:

	Schröder Peirce	Peano Russell	Hilbert	Łukasiewicz
Koniunkcja	${\displaystyle p\cdot q}$	${\displaystyle p\,.q}$	${\displaystyle p\,\&\,q}$	${\displaystyle Kpq}$

Do oznaczenia koniunkcji stosowany jest także angielski spójnik AND (symbol funkcji boolowskiej).

Własności

Osobny artykuł: prawa rachunku zdań.

Koniunkcja jest operacją dwuargumentową i charakteryzuje się następującymi cechami:

• przemienność

${\displaystyle p\,\land \,q\,\Leftrightarrow \,q\,\land \,p}$^[6][7]

• łączność

${\displaystyle p\,\land \,(q\,\land \,r)\,\Leftrightarrow \,(p\,\land \,q)\,\land \,r}$^[6][7]

• idempotentność

${\displaystyle p\,\land \,p\,\Leftrightarrow \,p}$^[8]

• rozdzielność względem alternatywy

${\displaystyle p\,\land \,(q\,\lor \,r)\,\Leftrightarrow \,(p\,\land \,q)\,\lor \,(p\,\land \,r)}$

${\displaystyle p\,\lor \,(q\,\land \,r)\,\Leftrightarrow \,(p\,\lor \,q)\,\land \,(p\,\lor \,r)}$^[6][7]

• prawa De Morgana

${\displaystyle \neg \,(p\,\land \,q)\Leftrightarrow (\neg \,p\,\lor \,\neg \,q)}$

${\displaystyle \neg \,(p\,\lor \,q)\Leftrightarrow (\neg \,p\,\land \,\neg \,q)}$^[9]

Negacja koniunkcji jest równoważna alternatywie negacji, natomiast negacja alternatywy – koniunkcji negacji^[10].

Przykłady

• Koniunkcja ${\displaystyle (2+2=4)\wedge (3+1=5)}$ jest fałszywa, gdyż wartość logiczna zdania drugiego to 0 (fałsz), a jak wynika z tablicy prawdy koniunkcja jest prawdziwa tylko wtedy, gdy oba warunki są spełnione (to znaczy oba zdania składowe posiadają wartość logiczną równą 1, czyli „prawda”).
• Koniunkcja ${\displaystyle (2+2=4)\wedge (3+1=4)}$ jest prawdziwa, gdyż oba zdania mają wartość logiczną równą 1 (prawda).
• „Krzyś lubi pomarańcze”; „Krzyś lubi jabłka” – Koniunkcja „Krzyś lubi pomarańcze i jabłka” (prawda)
• „Krzyś NIE lubi pomarańczy”; „Krzyś lubi jabłka” – Koniunkcja „Krzyś lubi pomarańcze i jabłka” (fałsz)

Koniunkcja binarna

Uproszczony schemat bramki logicznej AND.

W informatyce operację koniunkcji binarnej (ang. bitwise AND) stosuje się do par liczb naturalnych wykonując operacje na cyfrach zapisów binarnych tych liczb. Wynik zawiera jedynki na tych pozycjach, na których w obydwu ciągach występowała jedynka, na przykład:

	14 & 4
=	0001110 & 0000100	(liczby w systemie binarnym)
=	0000100	(efekt operacji na kolejnych cyfrach)
=	4	(wynik w postaci dziesiętnej)

W fizycznych układach logicznych funkcji koniunkcji odpowiada bramka logiczna AND (iloczyn bitowy).

Koniunkcja a język naturalny

Symbol ${\displaystyle \land }$ odpowiada zasadniczo spójnikowi i (a także jego synonimom: oraz i tudzież). Słowo i może jednak posiadać dodatkowe odcienie znaczeniowe, których koniunkcja logiczna nie uwzględnia.

Spójnik i może sugerować wzajemność: Alicja i Bob rozmawiali przez telefon nie oznacza dokładnie tego samego, co Alicja rozmawiała przez telefon i Bob rozmawiał przez telefon^[11].

Słowo i może także oznaczać następstwo czasowe (i następnie) lub związek przyczynowo-skutkowy (i w wyniku tego). Zdanie Mary wyszła za mąż i urodziła dziecko opisuje inną sytuację, niż Mary urodziła dziecko i wyszła za mąż^[12]. Podobnie różnią się znaczeniem zdania Tom wziął się do roboty i znalazł wreszcie pracę oraz Tom znalazł wreszcie pracę i wziął się do roboty^[11].

Zobacz też

Zobacz podręcznik w Wikibooks: Matematyka dla liceum – Logika

Zobacz podręcznik w Wikibooks: Logika dla prawników – Koniunkcja

Zobacz hasło AND w Wikisłowniku

• alternatywa
• binegacja

Uwagi

1. Jest to jedna ze stosowanych definicji. Częściej jednak przyjmuje się, że koniunkcja jest działaniem w zbiorze zdań lub funkcji zdaniowych (stąd nazwa: funktor zdaniotwórczy).