Дельтаэдры

Дельтаэдр — это многогранник, все грани которого являются правильными треугольниками. Название взято от греческой заглавной буквы дельта (${\displaystyle \Delta }$), которая имеет форму равностороннего треугольника. Существует бесконечно много дельтаэдров, но из них только восемь выпуклы, и они имеют 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 и 20 граней^[1].

Наибольший строго выпуклый дельтаэдр является правильным икосаэдром

Усечённый тетраэдр с шестиугольниками, разбитыми на треугольники. Это тело не является строго выпуклым дельтаэдром, поскольку находящиеся в одной плоскости грани недопустимы по определению.

Число граней, рёбер и вершин перечислены ниже для каждого из восьми дельтаэдров.

Выпуклые дельтаэдры

Всего существует 8 выпуклых дельтаэдров^[2], 3 из которых являются платоновыми телами, а 5 — многогранниками Джонсона.

У дельтаэдра с 6 гранями некоторые вершины имеют степень 3, а некоторые — степень 4. В дельтаэдрах с 10, 12, 14 и 16 гранями некоторые вершины имеют степень 4, а некоторые — степень 5. Эти пять неправильных дельтаэдров принадлежат классу правильногранных многогранников — выпуклых многогранников с правильными многоугольниками в качестве граней.

Не существует выпуклого дельтаэдра с 18 гранями^[3]. Однако икосаэдр со стянутым ребром^[англ.] даёт пример октаэдра, который либо может быть сделан выпуклым с 18 неправильными гранями, либо с двумя наборами по три равносторонних треугольника, лежащими в одной плоскости.

Правильные дельтаэдры
Название	Изображение	Количество вершин	Количество рёбер	Количество граней	Конфигурация вершины	Группа симметрии
Правильный тетраэдр		4	6	4	4 × 33	Td, [3,3]
Правильный октаэдр (четырёхугольная бипирамида)		6	12	8	6 × 34	Oh, [4,3]
Правильный икосаэдр		12	30	20	12 × 35	Ih, [5,3]
Дельтаэдры Джонсона
Треугольная бипирамида		5	9	6	2 × 33 3 × 34	D3h, [3,2]
Пятиугольная бипирамида		7	15	10	5 × 34 2 × 35	D5h, [5,2]
Плосконосый двуклиноид		8	18	12	4 × 34 4 × 35	D2d, [2,2]
Трижды наращённая треугольная призма		9	21	14	3 × 34 6 × 35	D3h, [3,2]
Скрученно удлинённая четырёхугольная бипирамида		10	24	16	2 × 34 8 × 35	D4d, [4,2]

Нестрого выпуклые случаи

Существует бесконечно много дельтаэдров с копланарными (лежащими в одной плоскости) треугольниками. Если множества копланарных треугольников считаются одной гранью, можно насчитать меньше граней, рёбер и вершин. Копланарные треугольные грани могут быть слиты в ромбические, трапециевидные, шестиугольные или другие равносторонние многоугольные грани. Каждая грань должна быть выпуклым полиамондом, таким как , , , , , , и , ...^[4]

Некоторые небольшие примеры

Копланарные дельтаэдры

Рисунок	Название	Граней	Рёбер	Вершин	Конфигурации вершин	Группа симметрии
	Наращенный октаэдр[англ.] Наращение 1 тетр. + 1 окт.	10	15	7	1 × 33 3 × 34 3 × 35 0 × 36	C3v, [3]
		4 3	12
	Треугольный трапецоэдр[англ.] Наращение 2 тетр. + 1 окт.	12	18	8	2 × 33 0 × 34 6 × 35 0 × 36	C3v, [3]
		6	12
	Наращение 2 тетр. + 1 окт.	12	18	8	2 × 33 1 × 34 4 × 35 1 × 36	C2v, [2]
		2 2 2	11	7
	Треугольная усечённая пирамида Наращение 3 тетр. + 1 окт.	14	21	9	3 × 33 0 × 34 3 × 35 3 × 36	C3v, [3]
		1 3 1	9	6
	Удлинённый октаэдр[англ.] Наращение 2 тетр. + 2 окт.	16	24	10	0 × 33 4 × 34 4 × 35 2 × 36	D2h, [2,2]
		4 4	12	6
	Тетраэдр Наращение 4 тетр. + 1 окт.	16	24	10	4 × 33 0 × 34 0 × 35 6 × 36	Td, [3,3]
		4	6	4
	Наращение 3 тетр. + 2 окт.	18	27	11	1 × 33 2 × 34 5 × 35 3 × 36	D2h, [2,2]
		2 1 2 2	14	9
	Икосаэдр со стянутым ребром[англ.]	18	27	11	0 × 33 2 × 34 8 × 35 1 × 36	C2v, [2]
		12 2	22	10
	Двуусечённая бипирамида[англ.] Наращение 6 тетр. + 2 окт.	20	30	12	0 × 33 3 × 34 6 × 35 3 × 36	D3h, [3,2]
		2 6	15	9
	Трёхскатный купол Наращение 4 тетр. + 3 окт.	22	33	13	0 × 33 3 × 34 6 × 35 4 × 36	C3v, [3]
		3 3 1 1	15	9
	Треугольная бипирамида Наращение 8 тетр. + 2 окт.	24	36	14	2 × 33 3 × 34 0 × 35 9 × 36	D3h, [3]
		6	9	5
	Шестиугольная антипризма	24	36	14	0 × 33 0 × 34 12 × 35 2 × 36	D6d, [12,2+]
		12 2	24	12
	Усечённый тетраэдр Наращение 6 тетр. + 4 окт.	28	42	16	0 × 33 0 × 34 12 × 35 4 × 36	Td, [3,3]
		4 4	18	12
	Тетракискубоктаэдр[англ.] Октаэдр Наращение 8 тетр. + 6 окт.	32	24	18	0 × 33 12 × 34 0 × 35 6 × 36	Oh, [4,3]
		8	12	6

Невыпуклые дельтаэдры

Невыпуклых и тороидальных дельтаэдров существует бесконечно много.

Пример дельтаэдра с самопересекающимися гранями

• Большой икосаэдр — тело Кеплера — Пуансо, с 20 пересекающимися треугольниками

  

Другие невыпуклые дельтаэдры можно получить путём добавления пирамид к граням всех 5 правильных многогранников:

Триакистетраэдр	Тетракисгексаэдр	Триакисоктаэдр (stella octangula)	Пентакисдодекаэдр	Триакисикосаэдр
12 треугольников	24 треугольников		60 треугольников

Другие наращения тетраэдров:

Примеры: Наращенные тетраэдры

8 треугольников	10 треугольников	12 треугольников

Также путём добавления к граням перевёрнутых пирамид:

• Выемчатый додекаэдр^[англ.]

Выемчатый додекаэдр[англ.]	Тороидальный дельтаэдр
60 треугольников	48 треугольников