Лизоркин, Пётр Иванович

В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Лизоркин.

Лизоркин, Пётр Иванович (3 апреля 1922 — 20 сентября 1993) — советский математик, профессор, создатель теории пространств Лизоркина — Трибеля^[1][2]. Участник Великой Отечественной войны^[3]

Пётр Иванович Лизоркин
Дата рождения	3 апреля 1922(1922-04-03)
Место рождения	Сасово, Тамбовская губерния, РСФСР
Дата смерти	20 сентября 1993(1993-09-20) (71 год)
Место смерти	Москва, Россия
Страна	СССР, Россия
Род деятельности	математик
Научная сфера	математика
Место работы	МИАН, МИФИ
Альма-матер	НИЯУ МИФИ
Учёная степень	доктор физико-математических наук
Учёное звание	профессор
Научный руководитель	С. М. Никольский
Награды и премии

Биография

Уроженец села Сасово Елатомского уезда Тамбовской губернии, П. И. Лизоркин детство и юношеские годы прожил в Елатьме на Оке. После окончания средней школы он поступил на физико-математический факультет Воронежского Государственного Университета. Однако в 1940 году с первого курса Пётр Иванович был призван в армию и направлен в Харьковское Военно-авиационное училище. С началом Великой Отечественной войны училище эвакуируется в Красноярск.

Окончив училище в 1942 г. и пройдя дополнительную подготовку в Высшей школе штурманов и при лётном центре Авиации дальнего действия в г. Рыбинске^[4], с 1943 г. П. И. Лизоркин служил на фронте в действующей армии. В качестве штурмана Авиации дальнего действия^[5] он сделал 120 успешных боевых вылетов в тыл врага и был награждён тремя орденами^[6].

В мае 1944 года самолёт, в экипаже которого состоял П. И. Лизоркин, был сбит в глубоком тылу врага. Целый год Пётр Иванович провёл в немецких лагерях для военнопленных, затем, будучи освобождённым из плена незадолго до конца войны, прошёл длительную госпроверку и лишь в декабре 1945 года был демобилизован из армии.

В феврале 1946 года П. И. Лизоркин поступил на инженерно-физический факультет Московского Механического института (впоследствии преобразованного в Московский инженерно-физический институт). П. И. Лизоркин окончил его с отличием в 1951 году по специальности «теоретическая физика» и был рекомендован в аспирантуру по этой специальности; однако работать в этой области не позволили, вспомнили плен, сказался закрытый профиль института^[7].

В 1951—1957 годах П. И. Лизоркин работал преподавателем кафедры высшей математики МИФИ, а в 1958 году поступил в аспирантуру и с этого времени работал в области математики. В 1961 году П. И. Лизоркин защитил кандидатскую диссертацию. В том же году его пригласили на работу в отдел теории функций Математического института АН СССР, где в 1969 году П. И. Лизоркин защитил докторскую диссертацию^[8].

Работая в Математическом институте СССР, П. И. Лизоркин не порывал с педагогической деятельностью. В течение ряда лет он заведовал кафедрой высшей математики МИФИ, был профессором этой кафедры^[9]. В эти же годы в МИФИ началась фундаментальная перестройка преподаваемого курса высшей математики, введение в курсы элементов функционального анализа. Учебник П. И. Лизоркина «Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнительными главами математического анализа» отражает опыт МИФИ в этом направлении, сокращая «разрыв между подготовкой выпускника ВУЗа и требованиями, с которыми ему приходится встречаться на практике»^[10].

П. И. Лизоркин был женат на Кузнецовой Валентине Алексеевне, преподавателе МИФИ^[11], у них трое детей.

Научная деятельность

П. И. Лизоркиным получено окончательное решение задачи о естественном расширении пространств С. Л. Соболева на дробные индексы дифференцирования. Им было введено понятие обобщённой лиувиллевской производной и на его основе определены анизотропные классы бесселевых потенциалов^[12] Дальнейшее развитие этих работ привело к построению шкал пространств, известных в литературе как пространства Лизоркина-Трибеля. Петром Ивановичем была развита теория Фурье-мультипликаторов^[13], обобщающая и дополняющая результаты Ю. Марцинкевича и С. Г. Михлина^[14].

Большой цикл совместных работ С. М. Никольского и П. И. Лизоркина по теории краевых задач для эллиптических операторов с сильным вырождением на всей границе области сильно продвинул этот раздел теории дифференциальных уравнений^[6]. Они обнаружили, что корректная постановка задачи Дирихле для оператора порядка ${\displaystyle 2r}$ требует задания на границе области не ${\displaystyle r}$ условий, а меньшего их числа в зависимости от показателя вырождения оператора, разработали вариационные методы исследования первой краевой задачи, изучили свойства гладкости решений этой задачи в зависимости от гладкости коэффициентов и правой части уравнения.

В последние годы жизни П. И. Лизоркин занимался теорией приближений на однородных многообразиях^[6].

Пространства Лизоркина-Трибеля

Пространства, получившие в научной среде название пространств Лизоркина-Трибеля, были введены П. И. Лизоркиным и затем более детально исследованы немецким математиком Хансом Трибелем^[15].

Обозначим ${\displaystyle S(R^{n})}$ - пространство Шварца комплекснозначных быстроубывающих бесконечно дифференцируемых функций на ${\displaystyle R^{n}}$. Рассматривается совокупность ${\displaystyle \Sigma (R^{n})}$ всех систем функций ${\displaystyle \sigma =\{\sigma _{j}(x)\}_{j=0}^{\infty }\subset S(R^{n})}$, таких что^[16]:

1. Носители функций из системы ${\displaystyle \sigma }$ являются подмножествами следующих множеств: ${\displaystyle \mathrm {supp} \ \sigma _{0}\subset \{x\in R^{n}|\left|x\right|\leq 2\}}$, ${\displaystyle \mathrm {supp} \ \sigma _{j}\subset \{x\in R^{n}|2^{j-1}\leq \left|x\right|\leq 2^{j+1}\}}$, ${\displaystyle j=1,2,3,\ldots }$;
2. Для каждого мультииндекса ${\displaystyle \alpha }$ существует положительное число ${\displaystyle c_{\alpha }}$, при котором ${\displaystyle 2^{j\left|\alpha \right|}\left|D^{\alpha }\sigma _{j}(x)\right|\leq c_{\alpha }}$ для всех ${\displaystyle j=1,2,3,\ldots }$ и всех ${\displaystyle x\in R^{n}}$, где ${\displaystyle \left|\alpha \right|=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\ldots +\alpha _{n}}$;
3. ${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }\sigma _{j}(x)=1}$ для каждого ${\displaystyle x\in R^{n}}$.

Пространства Лизоркина–Трибеля ${\displaystyle F_{p,q}^{s}(R^{n})}$ определяются для ${\displaystyle 0<p<\infty }$ следующим образом:

${\displaystyle F_{p,q}^{s}(R^{n})=\left\{f\in S'(R^{n})\mid \left\|f|F_{p,q}^{s}(R^{n})\right\|=\left(\int _{R^{n}}\left(\sum _{j=0}^{\infty }\left|2^{sj}F^{-1}\sigma _{j}Ff(x)\right|^{q}\right)^{\frac {p}{q}}dx\right)^{\frac {1}{p}}<\infty \right\}}$.

Здесь для краткости ${\displaystyle D^{\alpha }}$ обозначает оператор дифференцирования, берущий для всех ${\displaystyle i=1,2,\ldots ,n}$ частную ${\displaystyle \alpha _{i}}$-ю производную по ${\displaystyle x_{i}}$; ${\displaystyle F}$ - оператор преобразования Фурье; а символом ${\displaystyle S'(R^{n})}$ обозначается множество всех умеренных распределений на ${\displaystyle R^{n}}$^[17].

Принадлежность функции пространству Лизоркина-Трибеля означает представимость её в виде суммы атомарных функций, т.е. функций заданной гладкости с некоторым числом нулевых моментов, чьи преобразования Фурье также имеют фиксированную гладкость.

Теоремы, сформулированные П. И. Лизоркиным и Х. Трибелем, гарантировали существование разложения функции через атомарные функции, хотя и без описания способа его получения^[18].

Области применения

Появление базисов ${\displaystyle \{\sigma _{j}(x)\}}$, по которым можно производить разложения функций, привело к существенному прогрессу в теории функциональных пространств. Базисы нашли широкое распространение от чисто математических проблем описания функциональных пространств до сугубо прикладных проблем цифровой обработки сигналов и изображений. Базисы всплесков находят всё большие применения в физике, астрономии, геофизике, медицине и других областях знаний. Причина такой популярности состоит в том, что всплески являются идеальным инструментом для адекватного представления нестационарных сигналов как с точки зрения глубинных свойств, важных в теории, так и с точки зрения существования для них экономичных численных алгоритмов^[18].