Перестановочные операторы

Перестановочные операторы — ограниченный линейный оператор ${\displaystyle B}$ и линейный оператор ${\displaystyle T}$, для которых оператор ${\displaystyle TB}$ является расширением оператора ${\displaystyle BT}$: ${\displaystyle BT\subseteq TB}$. Если операторы ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle T}$ определены на всем пространстве (причем не обязательно ограничены), то они перестановочны, если ${\displaystyle BT=TB}$. В этом случае перестановочные операторы также называют коммутирующими^[1]. В общем случае равенство ${\displaystyle BT=TB}$ неудобно использовать в качестве определения перестановочности, потому что тогда даже обратный оператор ${\displaystyle B^{-1}}$ не будет перестановочен с ${\displaystyle B}$, если ${\displaystyle B^{-1}}$ определён не на всём пространстве — тогда операторы ${\displaystyle BB^{-1}}$ и ${\displaystyle B^{-1}B}$ будут иметь разные области определения. Иногда для перестановочных операторов используют обозначения: ${\displaystyle B\cup T}$ или ${\displaystyle B\smile T}$^[2][3].

Свойства

• Если оператор ${\displaystyle B}$ перестановочен с ${\displaystyle T_{1}}$ и перестановочен с ${\displaystyle T_{2}}$, то ${\displaystyle B}$ также перестановочен с ${\displaystyle T_{1}+T_{2}}$ и ${\displaystyle T_{1}T_{2}}$.
• Если ${\displaystyle B_{1}}$ перестановочен с ${\displaystyle T}$ и ${\displaystyle B_{2}}$ перестановочен с ${\displaystyle T}$, то операторы ${\displaystyle B_{1}+B_{2}}$ и ${\displaystyle B_{1}B_{2}}$ перестановочны с ${\displaystyle T}$.
• Если ${\displaystyle B}$ перестановочен с ${\displaystyle T}$ и существует ${\displaystyle T^{-1}}$, то ${\displaystyle B}$ перестановочен с ${\displaystyle T^{-1}}$.
• Если ${\displaystyle B}$ перестановочен с каждым из операторов ${\displaystyle T_{n}\,(n=1,2,\dots )}$, то ${\displaystyle B}$ перестановочен с ${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }T_{n}}$.
• Если каждый из операторов ${\displaystyle B_{n}\,(n=1,2,\dots )}$ перестановочен с ${\displaystyle T}$, то ${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }B_{n}}$ перестановочен с ${\displaystyle T}$ в предположении, что ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }B_{n}}$ ограничен, а ${\displaystyle T}$ замкнут.
• Если ${\displaystyle B}$ перестановочен с ${\displaystyle T}$ и сопряжённый оператор ${\displaystyle T^{*}}$ существует, то ${\displaystyle B^{*}}$ перестановочен с ${\displaystyle T^{*}}$^[3].

Случай конечномерного пространства

В конечномерном пространстве перестановочным операторам отвечают перестановочные матрицы: ${\displaystyle AB=BA}$. Задача Фробениуса состоит в том, чтобы определить все матрицы ${\displaystyle X}$, перестановочные с данной матрицей ${\displaystyle A}$. Все решения задачи Фробениуса имеют вид

${\displaystyle X=UX_{A}U^{-1},}$

где ${\displaystyle X_{A}}$ — произвольная матрица, перестановочная с ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle U}$ — матрица, приводящая ${\displaystyle A}$ к нормальной жордановой форме ${\displaystyle J}$: ${\displaystyle A=UJU^{-1}}$. Число линейно независимых решений задачи Фробениуса определяется формулой:

${\displaystyle N=n_{1}+3n_{2}+\dots +(2t-1)n_{t},}$

где ${\displaystyle n_{1},n_{2},\dots ,n_{t}}$ — степени непостоянных инвариантных многочленов ${\displaystyle i_{1}(\lambda ),i_{2}(\lambda ),\dots ,i_{t}(\lambda )}$ матрицы ${\displaystyle A}$.

Если линейные операторы ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{m}}$ в конечномерном пространстве ${\displaystyle R}$ попарно перестановочны, то можно расщепить все пространство ${\displaystyle R}$ на инвариантные относительно всех операторов ${\displaystyle A_{i}}$ подпространства:

${\displaystyle R=I_{1}+I_{2}+\dots +I_{m}}$

так, чтобы минимальный многочлен любого из этих подпространств относительно любого из операторов ${\displaystyle A_{i}}$ был степенью неприводимого многочлена^[4].

Перестановочные операторы всегда имеют общий собственный вектор^[5]. Если дано конечное или бесконечное множество попарно перестановочных нормальных операторов ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots }$ в унитарном пространстве, то все эти операторы имеют полную ортонормированную систему общих собственных векторов. В терминах матриц это означает, что любое конечное или бесконечное множество попарно перестановочных матриц приводится к диагональному виду одним и тем же унитарным преобразованием^[6].

См. также

• Полная система коммутирующих наблюдаемых