Тригонометрические тождества

Тригонометрические тождества — математические выражения для тригонометрических функций, которые выполняются при всех значениях аргумента (из общей области определения). В данной статье приведены только тождества с основными тригонометрическими функциями, но есть тождества и для редко используемых тригонометрических функций.

Пример шести тригонометрических функций угла θ = 0.7 радиан, построенный в единичной окружности. Величины, отмеченные 1, Sec(θ) и Csc(θ) равны длинам сегментов луча, исходящего из центра окружности. Величины Sin(θ), Tan(θ) и 1 равны высотам над осью x, величины Cos(θ), 1 и Cot(θ) равны длинам сегментов оси x от центра окружности.

Основные тригонометрические формулы

№	Формула	Допустимые значения аргумента
1.1	${\displaystyle \operatorname {sin} ^{2}\alpha +\operatorname {cos} ^{2}\alpha =1}$	${\displaystyle \forall \alpha }$
1.2	${\displaystyle \operatorname {tg} ^{2}\alpha +1={\frac {1}{\cos ^{2}\alpha }}=\operatorname {sec} ^{2}\alpha }$	${\displaystyle \alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+\pi n,\quad n\in \mathbb {Z} }$
1.3	${\displaystyle \operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1={\frac {1}{\sin ^{2}\alpha }}=\operatorname {cosec} ^{2}\alpha }$	${\displaystyle \alpha \neq \pi n,\quad n\in \mathbb {Z} }$
1.4	${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha \cdot \operatorname {ctg} \alpha =1}$	${\displaystyle \alpha \neq {\frac {\pi n}{2}},\quad n\in \mathbb {Z} }$

• Формула (1.1) является следствием теоремы Пифагора.
• Формулы (1.2) и (1.3) получаются из формулы (1.1) делением на ${\displaystyle \cos ^{2}\alpha }$ и ${\displaystyle \sin ^{2}\alpha }$ соответственно.
• Формула (1.4) следует из определений тангенса и котангенса.

Формулы сложения и вычитания аргументов

Формулы для двух аргументов

Иллюстрация форм сложения и вычитания синусов и косинусов

Иллюстрация форм сложения тангенсов.

№	Формула	Допустимые значения аргумента
2.1	${\displaystyle \sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta }$	${\displaystyle \forall \alpha }$
2.2	${\displaystyle \cos \left(\alpha \pm \beta \right)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta }$	${\displaystyle \forall \alpha }$
2.3	${\displaystyle \operatorname {tg} \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\operatorname {tg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta }{1\mp \operatorname {tg} \alpha \operatorname {tg} \beta }}}$	${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle \alpha \pm \beta \neq {\frac {\pi }{2}}+\pi n,\quad n\in \mathbb {Z} }$
2.4	${\displaystyle \operatorname {ctg} \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\operatorname {ctg} \alpha \operatorname {ctg} \beta \mp 1}{\operatorname {ctg} \beta \pm \operatorname {ctg} \alpha }}}$	${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle \alpha \pm \beta \neq \pi n,\quad n\in \mathbb {Z} }$

Формула (2.3) получается при делении (2.1) на (2.2), а формула (2.4) — при делении (2.2) на (2.1).

Вывод формул для ${\displaystyle \sin(\alpha +\beta ),\ \cos(\alpha +\beta )}$

Рис 1. К доказательству вывода формулы

На Рис. 1 изображены четыре прямоугольных треугольника: ABC, ABD, AOC, BOD.

Принято, что ${\displaystyle AB=1,\angle DAC=\alpha ,\angle DAB=\beta$ ;}

По построению: ${\displaystyle \angle ABC=90-\alpha -\beta$ ;\angle ABD=90-\beta ;}

Тогда: ${\displaystyle \angle OBD=\angle ABD-\angle ABO=\alpha$ ;}

Из треугольника ABD:

${\displaystyle BD=\sin \beta ;AD=\cos \beta$ ;}

Из треугольника BOD:

${\displaystyle OB={\frac {BD}{\cos \alpha }}={\frac {\sin \beta }{\cos \alpha }};}$

${\displaystyle OD=OB\cdot \sin \alpha ={\frac {\sin \alpha \cdot \sin \beta }{\cos \alpha }}}$

Так как O лежит на отрезке AD:

${\displaystyle AO=AD-OD=\cos \beta -{\frac {\sin \alpha \cdot \sin \beta }{\cos \alpha }}={\frac {\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta }{\cos \alpha }}}$

Тогда сразу:

${\displaystyle \cos(\alpha +\beta )=AC=AO\cdot \cos \alpha =\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta }$

Из треугольника AOC:

${\displaystyle OC=AO\cdot \sin \alpha ={\frac {\sin \alpha \cdot (\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta )}{\cos \alpha }}}$

Следовательно:

${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=BC=OB+OC={\frac {\sin \beta }{\cos \alpha }}+{\frac {\sin \alpha \cdot (\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta )}{\cos \alpha }}=}$

${\displaystyle \sin \alpha \cdot \cos \beta +{\frac {\sin \beta \cdot (1-\sin ^{2}\alpha )}{\cos \alpha }}=\sin \alpha \cdot \cos \beta +\cos \alpha \cdot \sin \beta }$

Что и требовалось доказать^{[источник не указан 3414 дней]}.

Формулы для трёх аргументов

№	Формула	Допустимые значения аргумента
2.5	${\displaystyle \sin \left(\alpha +\beta +\gamma \right)=\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma +\cos \alpha \sin \beta \cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta \sin \gamma -\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma ,}$	${\displaystyle \forall \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle \gamma }$
2.6	${\displaystyle \cos \left(\alpha +\beta +\gamma \right)=\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma -\sin \alpha \cos \beta \sin \gamma -\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma .}$	${\displaystyle \forall \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle \gamma }$
2.7	${\displaystyle \operatorname {tg} \left(\alpha +\beta +\gamma \right)={\frac {\operatorname {tg} \alpha +\operatorname {tg} \beta +\operatorname {tg} \gamma -\operatorname {tg} \alpha \operatorname {tg} \beta \operatorname {tg} \gamma }{1-\operatorname {tg} \alpha \operatorname {tg} \beta -\operatorname {tg} \alpha \operatorname {tg} \gamma -\operatorname {tg} \beta \operatorname {tg} \gamma }}}$	${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle \gamma }$, ${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma \neq {\frac {\pi }{2}}+\pi n,\quad n\in \mathbb {Z} }$
2.8	${\displaystyle \operatorname {ctg} \left(\alpha +\beta +\gamma \right)={\frac {\operatorname {ctg} \alpha \operatorname {ctg} \beta \operatorname {ctg} \gamma -\operatorname {ctg} \alpha -\operatorname {ctg} \beta -\operatorname {ctg} \gamma }{\operatorname {ctg} \alpha \operatorname {ctg} \beta +\operatorname {ctg} \alpha \operatorname {ctg} \gamma +\operatorname {ctg} \beta \operatorname {tg} \gamma -1}}}$	${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle \gamma }$, ${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma \neq \pi n,\quad n\in \mathbb {Z} }$

Формулы кратных углов

Формулы кратных углов следуют из формул сложения при равенстве аргументов.

Формулы двойного угла

№	Формула	Допустимые значения аргумента
3.1	${\displaystyle \operatorname {sin} 2\alpha =2{\sin \alpha }\ {\cos \alpha }}$	${\displaystyle \forall \alpha }$
3.2	${\displaystyle \operatorname {cos} 2\alpha ={\cos ^{2}\alpha }-{\sin ^{2}\alpha }}$ ${\displaystyle \operatorname {cos} 2\alpha =2{\cos ^{2}\alpha }-1=1-2{\sin ^{2}\alpha }}$	${\displaystyle \forall \alpha }$
3.3	${\displaystyle \operatorname {tg} 2\alpha ={\frac {2\operatorname {tg} \alpha }{1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}}$	${\displaystyle \alpha \not ={\frac {\pi }{4}}+{\frac {\pi n}{2}},\quad n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \alpha \not ={\frac {\pi }{2}}+\pi n,\quad n\in \mathbb {Z} }$
3.4	${\displaystyle \operatorname {ctg} 2\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{2\operatorname {ctg} \alpha }}}$	${\displaystyle \alpha \not ={\frac {\pi n}{2}},\quad n\in \mathbb {Z} }$

Формулы тройного угла

Формулы тройного угла бывает удобным использовать в виде произведения, к которому их можно привести, применяя формулы преобразования суммы ниже.

№	Формула	Допустимые значения аргумента
3.5	${\displaystyle \sin 3\alpha =3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha =4\sin \alpha \sin \left({\frac {\pi }{3}}-\alpha \right)\sin \left({\frac {\pi }{3}}+\alpha \right)}$	${\displaystyle \forall \alpha }$
3.6	${\displaystyle \cos 3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha =4\cos \alpha \cos \left({\frac {\pi }{3}}-\alpha \right)\cos \left({\frac {\pi }{3}}+\alpha \right)}$	${\displaystyle \forall \alpha }$
3.7	${\displaystyle \operatorname {tg} 3\alpha ={\frac {3\operatorname {tg} \alpha -\operatorname {tg} ^{3}\alpha }{1-3\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}=\operatorname {tg} \alpha \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{3}}-\alpha \right)\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{3}}+\alpha \right)}$	${\displaystyle \alpha \not ={\frac {\pi }{6}}+{\frac {\pi n}{3}},\quad n\in \mathbb {Z} }$
3.8	${\displaystyle \operatorname {ctg} 3\alpha ={\frac {3\operatorname {ctg} \alpha -\operatorname {ctg} ^{3}\alpha }{1-3\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}=\operatorname {ctg} \alpha \operatorname {ctg} \left({\frac {\pi }{3}}-\alpha \right)\operatorname {ctg} \left({\frac {\pi }{3}}+\alpha \right)}$	${\displaystyle \alpha \not ={\frac {\pi n}{3}},\quad n\in \mathbb {Z} }$

Формулы четверного угла

№	Формула	Допустимые значения аргумента
3.9	${\displaystyle \sin \,4\alpha =4\sin \alpha \cos \alpha -8\sin ^{3}\alpha \cos \alpha =8\sin \alpha \cos ^{3}\alpha -4\sin \alpha \cos \alpha }$	${\displaystyle \forall \alpha }$
3.10	${\displaystyle \cos \,4\alpha =8\cos ^{4}\alpha -8\cos ^{2}\alpha +1=8\sin ^{4}\alpha -8\sin ^{2}\alpha +1,}$	${\displaystyle \forall \alpha }$
3.11	${\displaystyle \operatorname {tg} \,4\alpha ={\frac {4\,\operatorname {tg} \,\alpha -4\,\operatorname {tg} ^{3}\,\alpha }{1-6\,\operatorname {tg} ^{2}\,\alpha +\operatorname {tg} ^{4}\,\alpha }},}$	${\displaystyle \alpha \not ={\frac {\pi }{8}}+{\frac {\pi n}{4}},\quad n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \alpha \not ={\frac {\pi }{2}}+\pi n,\quad n\in \mathbb {Z} }$
3.12	${\displaystyle \operatorname {ctg} \,4\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{4}\,\alpha -6\,\operatorname {ctg} ^{2}\,\alpha +1}{4\,\operatorname {ctg} ^{3}\,\alpha -4\,\operatorname {ctg} \,\alpha }},}$	${\displaystyle \alpha \not ={\frac {\pi n}{4}},\quad n\in \mathbb {Z} }$

Общий случай

№	Формула	Допустимые значения аргумента
3.13	${\displaystyle \sin(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\cos ^{n-2k-1}\alpha \,\sin ^{2k+1}\alpha }$	${\displaystyle \forall \alpha }$
3.14	${\displaystyle \cos(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\cos ^{n-2k}\alpha \,\sin ^{2k}\alpha }$	${\displaystyle \forall \alpha }$
3.15	${\displaystyle \mathrm {tg} (n\alpha )={\frac {\sin(n\alpha )}{\cos(n\alpha )}}={\dfrac {\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\mathrm {tg} ^{2k+1}\alpha }}{\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\mathrm {tg} ^{2k}\alpha }}}}$	${\displaystyle \alpha \not ={\frac {\pi }{2n}}+{\frac {\pi m}{n}},\quad m\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \alpha \not ={\frac {\pi }{2}}+\pi m,\quad m\in \mathbb {Z} }$
3.16	${\displaystyle \mathrm {ctg} (n\alpha )={\frac {\cos(n\alpha )}{\sin(n\alpha )}}={\dfrac {\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\mathrm {ctg} ^{n-2k}\alpha }}{\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\mathrm {ctg} ^{n-2k-1}\alpha }}}}$	${\displaystyle \alpha \not ={\frac {\pi m}{n}},\quad m\in \mathbb {Z} }$

Формулы половинного угла

Из формулы двойного угла для косинуса (3.2) выводятся формулы половинного угла, в частности тангенса половинного угла:

№	Формулы половинного угла
4.1	${\displaystyle \sin {\alpha \over 2}=\pm {\sqrt {1-\cos \alpha \over 2}}}$
4.2	${\displaystyle \cos {\alpha \over 2}=\pm {\sqrt {1+\cos \alpha \over 2}}}$
4.3	${\displaystyle \operatorname {tg} {\alpha \over 2}=\pm {\sqrt {1-\cos \alpha \over 1+\cos \alpha }}={\sin \alpha \over 1+\cos \alpha }={1-\cos \alpha \over \sin \alpha }}$
4.4	${\displaystyle \operatorname {ctg} {\alpha \over 2}=\pm {\sqrt {1+\cos \alpha \over 1-\cos \alpha }}={\sin \alpha \over 1-\cos \alpha }={1+\cos \alpha \over \sin \alpha }}$

В формулах половинного угла знаки перед радикалами следует брать в зависимости от знака тригонометрической функции, стоящей в левой части равенства.

 В формуле ${\displaystyle \operatorname {tg} {\alpha \over 2}={1-\cos \alpha \over \sin \alpha }}$ и аналогичной для котангенса, левая и правая части имеют разные области определения и, следовательно, их неосторожное использование может приводить к приобретению корней!

Формулы понижения степени

Формулы понижения степени выводятся из формул (3.2):

№	Синус		№	Косинус		№	Произведение
5.1	${\displaystyle \sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 2\alpha }{2}}}$		5.5	${\displaystyle \cos ^{2}\alpha ={\frac {1+\cos 2\alpha }{2}}}$		5.9	${\displaystyle \sin ^{2}\alpha \cos ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 4\alpha }{8}}}$
5.2	${\displaystyle \sin ^{3}\alpha ={\frac {3\sin \alpha -\sin 3\alpha }{4}}}$		5.6	${\displaystyle \cos ^{3}\alpha ={\frac {3\cos \alpha +\cos 3\alpha }{4}}}$		5.10	${\displaystyle \sin ^{3}\alpha \cos ^{3}\alpha ={\frac {3\sin 2\alpha -\sin 6\alpha }{32}}}$
5.3	${\displaystyle \sin ^{4}\alpha ={\frac {3-4\cos 2\alpha +\cos 4\alpha }{8}}}$		5.7	${\displaystyle \cos ^{4}\alpha ={\frac {3+4\cos 2\alpha +\cos 4\alpha }{8}}}$		5.11	${\displaystyle \sin ^{4}\alpha \cos ^{4}\alpha ={\frac {3-4\cos 4\alpha +\cos 8\alpha }{128}}}$
5.4	${\displaystyle \sin ^{5}\alpha ={\frac {10\sin \alpha -5\sin 3\alpha +\sin 5\alpha }{16}}}$		5.8	${\displaystyle \cos ^{5}\alpha ={\frac {10\cos \alpha +5\cos 3\alpha +\cos 5\alpha }{16}}}$		5.12	${\displaystyle \sin ^{5}\alpha \cos ^{5}\alpha ={\frac {10\sin 2\alpha -5\sin 6\alpha +\sin 10\alpha }{512}}}$

Формулы преобразования произведения функций

Формулы преобразования произведения функций выводятся из формул сложения аргументов (2.1) и (2.2).

№	Синус и косинус		№	Тангенс и котангенс
6.1	${\displaystyle \sin \alpha \sin \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{2}}}$		6.4	${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha \operatorname {tg} \beta ={\frac {\operatorname {tg} \alpha +\operatorname {tg} \beta }{\operatorname {ctg} \alpha +\operatorname {ctg} \beta }}=-{\frac {\operatorname {tg} \alpha -\operatorname {tg} \beta }{\operatorname {ctg} \alpha -\operatorname {ctg} \beta }}}$
6.2	${\displaystyle \sin \alpha \cos \beta ={\frac {\sin(\alpha -\beta )+\sin(\alpha +\beta )}{2}}}$		6.5	${\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha \operatorname {ctg} \beta ={\frac {\operatorname {ctg} \alpha +\operatorname {ctg} \beta }{\operatorname {tg} \alpha +\operatorname {tg} \beta }}=-{\frac {\operatorname {ctg} \alpha -\operatorname {ctg} \beta }{\operatorname {tg} \alpha -\operatorname {tg} \beta }}}$
6.3	${\displaystyle \cos \alpha \cos \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )}{2}}}$		6.6	${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha \operatorname {ctg} \beta ={\frac {\operatorname {tg} \alpha +\operatorname {ctg} \beta }{\operatorname {ctg} \alpha +\operatorname {tg} \beta }}=-{\frac {\operatorname {tg} \alpha -\operatorname {ctg} \beta }{\operatorname {ctg} \alpha -\operatorname {tg} \beta }}}$

Аналогичные формулы для произведений синусов и косинусов трёх углов:

№	Формула
6.7	${\displaystyle \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma ={\frac {\sin(\alpha +\beta -\gamma )+\sin(\beta +\gamma -\alpha )+\sin(\alpha -\beta +\gamma )-\sin(\alpha +\beta +\gamma )}{4}},}$
6.8	${\displaystyle \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma ={\frac {-\cos(\alpha +\beta -\gamma )+\cos(\beta +\gamma -\alpha )+\cos(\alpha -\beta +\gamma )-\cos(\alpha +\beta +\gamma )}{4}},}$
6.9	${\displaystyle \sin \alpha \cos \beta \cos \gamma ={\frac {\sin(\alpha +\beta -\gamma )-\sin(\beta +\gamma -\alpha )+\sin(\alpha -\beta +\gamma )+\sin(\alpha +\beta +\gamma )}{4}},}$
6.10	${\displaystyle \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma ={\frac {\cos(\alpha +\beta -\gamma )+\cos(\beta +\gamma -\alpha )+\cos(\alpha -\beta +\gamma )+\cos(\alpha +\beta +\gamma )}{4}}.}$

Формулы преобразования суммы функций

№	Синус и косинус		№	Тангенс и котангенс
7.1	${\displaystyle \sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin {\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\cos {\frac {\alpha \mp \beta }{2}}}$		7.4	${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}}$
7.2	${\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}$		7.5	${\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha \pm \operatorname {ctg} \beta ={\frac {\sin(\beta \pm \alpha )}{\sin \alpha \sin \beta }}}$
7.3	${\displaystyle \cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}$		7.6	${\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta ={\frac {\cos(\alpha \mp \beta )}{\sin \alpha \cos \beta }}}$

Вывод формул преобразования суммы функций

Для вывода формул (7.1)—(7.3) положим ${\displaystyle \alpha =\phi +\psi }$, ${\displaystyle \beta =\phi -\psi }$. Тогда ${\displaystyle \phi ={\frac {\alpha +\beta }{2}}}$ и ${\displaystyle \psi ={\frac {\alpha -\beta }{2}}}$. Подставляя эти выражения в исходные и раскрывая их по формулам суммы, получаем:

${\displaystyle \sin \alpha +\sin \beta =\sin(\phi +\psi )+\sin(\phi -\psi )=2\sin \phi \cos \psi =2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}$;

${\displaystyle \sin \alpha -\sin \beta =\sin(\phi +\psi )-\sin(\phi -\psi )=2\sin \psi \cos \phi =2\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}}$;

${\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta =\cos(\phi +\psi )+\cos(\phi -\psi )=2\cos \phi \cos \psi =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}$;

${\displaystyle \cos \alpha -\cos \beta =\cos(\phi +\psi )-\cos(\phi -\psi )=-2\sin \phi \sin \psi =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}$.

Формулы (7.4)—(7.6) доказываются формальными преобразованиями: например,

${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}\pm {\frac {\sin \beta }{\cos \beta }}={\frac {\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}}$.

Справедливы также следующие частные случаи перехода от суммы к произведению и следствия из них:

№	Формула	Допустимые значения аргумента
7.7.1	${\displaystyle \sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma -\sin(\alpha +\beta +\gamma )=4\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha +\gamma }{2}}\sin {\frac {\beta +\gamma }{2}}}$	${\displaystyle \forall \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle \gamma }$
7.7.2	${\displaystyle \sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\cos {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}}$	${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =\pi }$
7.7.3	${\displaystyle \sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}}$	${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =2\pi }$
7.8.1	${\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma +\cos(\alpha +\beta +\gamma )=4\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha +\gamma }{2}}\cos {\frac {\beta +\gamma }{2}}}$	${\displaystyle \forall \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle \gamma }$
7.8.2	${\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =4\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}+1}$	${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =\pi }$
7.8.3	${\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =-4\cos {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}-1}$	${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =2\pi }$

Решение простых тригонометрических уравнений

• ${\displaystyle \sin x=a.}$

Если ${\displaystyle |a|>1}$ — вещественных решений нет.

Если ${\displaystyle |a|\leqslant 1}$ — решением является число вида ${\displaystyle x=(-1)^{n}\arcsin a+\pi n,}$ где ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} .}$

• ${\displaystyle \cos x=a.}$

Если ${\displaystyle |a|>1}$ — вещественных решений нет.

Если ${\displaystyle |a|\leqslant 1}$ — решением является число вида ${\displaystyle x=\pm \arccos a+2\pi n,~n\in \mathbb {Z} .}$

• ${\displaystyle \operatorname {tg} \,x=a.}$

Решением является число вида ${\displaystyle x={\text{arctg}}~a+\pi n,~n\in \mathbb {Z} .}$

• ${\displaystyle \operatorname {ctg} \,x=a.}$

Решением является число вида ${\displaystyle x={\text{arcctg}}~a+\pi n,~n\in \mathbb {Z} .}$

Универсальная тригонометрическая подстановка

Основная статья: Универсальная тригонометрическая подстановка

Любая тригонометрическая функция может быть выражена через тангенс или котангенс половинного угла:

${\displaystyle \sin \alpha ={\frac {2\,{\operatorname {tg} }\,{\frac {\alpha }{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}={\frac {2~{\text{ctg}}~{\frac {\alpha }{2}}}{{\text{ctg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}}+1}}}$	${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}={\frac {{\text{ctg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}}-1}{{\text{ctg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}}+1}}}$
${\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha ={\frac {2\,{\operatorname {tg} }\,{\frac {\alpha }{2}}}{1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}={\frac {2~{\text{ctg}}~{\frac {\alpha }{2}}}{{\text{ctg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}}-1}}}$	${\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{2\,{\operatorname {tg} }\,{\frac {\alpha }{2}}}}={\frac {{\text{ctg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}}-1}{2~{\text{ctg}}~{\frac {\alpha }{2}}}}}$
${\displaystyle \sec \alpha ={\frac {1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}={\frac {{\text{ctg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}}+1}{{\text{ctg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}}-1}}}$	${\displaystyle \csc \alpha ={\frac {1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{2\,{\operatorname {tg} }\,{\frac {\alpha }{2}}}}={\frac {{\text{ctg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}}+1}{2~{\text{ctg}}~{\frac {\alpha }{2}}}}}$

Вспомогательный аргумент (формулы сложения гармонических колебаний)

Сумма двух гармонических колебаний с одинаковой частотой будет вновь гармоническим колебанием. В частности,

${\displaystyle a\cos x+b\sin x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\sin(x+\varphi ),}$

где ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ не равны нулю одновременно, ${\displaystyle \varphi }$ — это угол, называемый вспомогательным аргументом, который может быть найден из системы уравнений:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\sin \varphi ={\dfrac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}},\\\cos \varphi ={\dfrac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.\end{matrix}}\right.}$

Примечание. Из вышеприведённой системы при ${\displaystyle b\neq 0}$ следует, что ${\displaystyle \mathrm {tg} \,\varphi \,=\,{\tfrac {a}{b}}}$, однако нельзя всегда считать, что ${\displaystyle \varphi ={\text{arctg}}~{\tfrac {a}{b}}}$, так как арктангенс определяет угол от ${\displaystyle -\pi /2}$ до ${\displaystyle \pi /2}$, а угол может быть, вообще говоря, любым. Нужно учитывать знаки ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b,}$ чтобы определить, к какой четверти принадлежит угол ${\displaystyle \varphi }$, в результате чего добавлять или убавлять ${\displaystyle \pi }$ при необходимости.

Представление тригонометрических функций в комплексной форме

Основная статья: Формула Эйлера

Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа ${\displaystyle x}$ выполнено следующее равенство:

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$

где ${\displaystyle e}$ — основание натурального логарифма,

${\displaystyle i}$ — мнимая единица.

При помощи формулы Эйлера можно определить функции ${\displaystyle \sin x}$ и ${\displaystyle \cos x}$ следующим образом:

${\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},\qquad \qquad \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}.}$

Отсюда следует, что

${\displaystyle \operatorname {tg} \,x=-i{\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{e^{ix}+e^{-ix}}},\qquad \qquad \operatorname {ctg} \,x=i{\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{e^{ix}-e^{-ix}}},}$

${\displaystyle \sec x={\frac {2}{e^{ix}+e^{-ix}}},\qquad \qquad \operatorname {cosec} \,x={\frac {2i}{e^{ix}-e^{-ix}}}.}$

Все эти тождества аналитически обобщаются на любые комплексные значения.

См. также

• Гиперболические функции
• Интегральный синус
• Интегральный косинус
• Комплексные числа
• Многочлены Чебышёва
• Обратные тригонометрические функции
• Редко используемые тригонометрические функции
• Решение треугольников
• Синус-верзус
• Сферическая тригонометрия
• Треугольник § Тригонометрические тождества только с углами
• Тригонометрические функции
• Тригонометрические функции от матрицы
• Тригонометрический ряд Фурье
• Функция Гудермана
• Четырёхзначные математические таблицы (Таблицы Брадиса)
• Эллиптические функции