Хи-распределение

Хи-распределение — непрерывное вероятностное распределение случайной величины, являющейся квадратным корнем суммы квадратов независимых нормально распределённых случайных величин. Оно связано с хи-квадрат распределением и является распределением квадратного корня случайной величины, распределённой по закону ${\displaystyle \chi ^{2}}$.

Распределение хи
Плотность вероятности
Функция распределения
Параметры	${\displaystyle k>0\,}$ (степени свободы)
Носитель	${\displaystyle x\in [0,\infty )}$
Плотность вероятности	${\displaystyle {\frac {1}{2^{(k/2)-1}\Gamma (k/2)}}\;x^{k-1}e^{-x^{2}/2}}$
Функция распределения	${\displaystyle P(k/2,x^{2}/2)\,}$
Математическое ожидание	${\displaystyle \mu ={\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)}}}$
Медиана	примерно ${\displaystyle {\sqrt {k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k}}{\bigg )}^{3}}}}$
Мода	${\displaystyle {\sqrt {k-1}}\,}$ если ${\displaystyle k\geq 1}$
Дисперсия	${\displaystyle \sigma ^{2}=k-\mu ^{2}\,}$
Коэффициент асимметрии	${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\mu }{\sigma ^{3}}}\,(1-2\sigma ^{2})}$
Коэффициент эксцесса	${\displaystyle {\frac {2}{\sigma ^{2}}}(1-\mu \sigma \gamma _{1}-\sigma ^{2})}$
Дифференциальная энтропия	${\displaystyle \ln(\Gamma (k/2))+\,}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(k\!-\!\ln(2)\!-\!(k\!-\!1)\psi _{0}(k/2))}$
Производящая функция моментов	См. в тексте
Характеристическая функция	См. в тексте

Если ${\displaystyle Z_{1},\ldots ,Z_{k}}$ являются независимыми, нормально распределёнными случайными величинами с нулевым математическим ожиданием (средним) и дисперсией равной 1, то статистика

${\displaystyle Y={\sqrt {\sum _{i=1}^{k}Z_{i}^{2}}}}$

распределена по закону хи. Соответственно, если оценку среднеквадратического отклонения ${\displaystyle s}$ разделить на ${\displaystyle \mu _{1}/{\sqrt {n-1}}}$, где ${\displaystyle \mu _{1}}$ — среднее хи-распределения, то получится несмещённая оценка среднеквадратического отклонения нормального распределения. Хи-распределение имеет один параметр — ${\displaystyle k}$, который задаёт число степеней свободы (то eсть количество ${\displaystyle Z_{i}}$).

Самые известные примеры — распределение Рэлея (число степеней свободы равно двум) и статистика Максвелла — Больцмана (число степеней свободы — три).

Определение

Плотность вероятности

Плотность вероятности хи распределения равна

${\displaystyle f(x;k)={\begin{cases}{\dfrac {x^{k-1}e^{-x^{2}/2}}{2^{k/2-1}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}},&x\geqslant 0;\\0,&x<0.\end{cases}}}$

где ${\displaystyle \Gamma (z)}$ — гамма-функция.

Функция распределения

Функция распределения равна:

${\displaystyle F(x;k)=P(k/2,x^{2}/2)\,}$

где ${\displaystyle P(k,x)}$ — регуляризованная гамма-функция.

Производящие функции

Производящая функция моментов равна:

${\displaystyle M(t)=M\left({\frac {k}{2}},{\frac {1}{2}},{\frac {t^{2}}{2}}\right)+t{\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)}}M\left({\frac {k+1}{2}},{\frac {3}{2}},{\frac {t^{2}}{2}}\right),}$

где ${\displaystyle M(a,b,z)}$ — вырожденная гипергеометрическая функция Куммера. Характеристическая функция равна:

${\displaystyle \varphi (t;k)=M\left({\frac {k}{2}},{\frac {1}{2}},{\frac {-t^{2}}{2}}\right)+it{\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)}}M\left({\frac {k+1}{2}},{\frac {3}{2}},{\frac {-t^{2}}{2}}\right).}$

Свойства

Моменты

Моменты вычисляются по формуле:

${\displaystyle \mu _{j}=2^{j/2}{\frac {\Gamma ((k+j)/2)}{\Gamma (k/2)}}}$

где ${\displaystyle \Gamma (z)}$ — гамма-функция. Первые шесть моментов вычисляются по следующим формулам:

${\displaystyle \mu _{1}={\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ((k\!+\!1)/2)}{\Gamma (k/2)}}}$

${\displaystyle \mu _{2}=k\,}$

${\displaystyle \mu _{3}=2{\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ((k\!+\!3)/2)}{\Gamma (k/2)}}=(k+1)\mu _{1}}$

${\displaystyle \mu _{4}=k(k+2)\,}$

${\displaystyle \mu _{5}=4{\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ((k\!+\!5)/2)}{\Gamma (k/2)}}=(k+1)(k+3)\mu _{1}}$

${\displaystyle \mu _{6}=k(k+2)(k+4)\,}$

где правые выражения получены, используя рекуррентное соотношение для гамма-функции:

${\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)\,}$

Также из этих выражений можно получить следующие формулы:

Среднее: ${\displaystyle \mu ={\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)}}}$

Дисперсия: ${\displaystyle \sigma ^{2}=k-\mu ^{2}\,}$ — из выражений для первых двух моментов.

Коэффициент асимметрии: ${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\mu }{\sigma ^{3}}}\,(1-2\sigma ^{2})}$

Коэффициент эксцесса: ${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {2}{\sigma ^{2}}}(1-\mu \sigma \gamma _{1}-\sigma ^{2})}$

Энтропия

Дифференциальная энтропия задаётся по формуле:

${\displaystyle S=\ln(\Gamma (k/2))+{\frac {1}{2}}(k\!-\!\ln(2)\!-\!(k\!-\!1)\psi ^{0}(k/2))}$

где ${\displaystyle \psi ^{0}(z)}$ — полигамма-функция.

Связь с другими распределениями

• Если ${\displaystyle X\sim \chi _{k}}$, то ${\displaystyle X^{2}\sim \chi _{k}^{2}}$ (хи-квадрат-распределение)
• ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\tfrac {\chi _{k}-\mu _{k}}{\sigma _{k}}}{\xrightarrow {d}}\ N(0,1)\,}$ (нормальное распределение)
• Если ${\displaystyle X\sim N(0,1)\,}$, то ${\displaystyle |X|\sim \chi _{1}\,}$
• Если ${\displaystyle X\sim \chi _{1}\,}$, то ${\displaystyle \sigma X\sim HN(\sigma )\,}$ (полунормальное распределение) для любых ${\displaystyle \sigma >0\,}$
• ${\displaystyle \chi _{2}\sim \mathrm {Rayleigh} (1)\,}$ (распределение Рэлея)
• ${\displaystyle \chi _{3}\sim \mathrm {Maxwell} (1)\,}$ (распределение Максвелла)
• ${\displaystyle \|{\boldsymbol {N}}_{i=1,\ldots ,k}{(0,1)}\|_{2}\sim \chi _{k}}$ (вторая норма от ${\displaystyle k}$ стандартных нормальных случайных величин — хи-распределение с ${\displaystyle k}$ степенями свободы)
• Хи-распределение — специальный случай гамма-распределения, распределения Накагами и нецентрального хи-распределения.

Виды распределений хи и хи-квадрат

Название	Статистика
хи-квадрат распределение	${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}$
нецентральное хи-квадрат распределение	${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}$
хи-распределение	${\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}$
нецентральное хи-распределение	${\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}$

См. также

• Распределение Накагами

Литература

• Martha L. Abell, James P. Braselton, John Arthur Rafter, John A. Rafter, Statistics with Mathematica (1999), 237f.
• Jan W. Gooch, Encyclopedic Dictionary of Polymers vol. 1 (2010), Appendix E, p. 972.

Ссылки

• http://mathworld.wolfram.com/ChiDistribution.html