Прямое топологическое дополнение

Прямо́е топологи́ческое дополне́ние подпространства линейного топологического пространства — любое подпространство линейного топологического пространства такое, что его прямая топологическая сумма с исходным подпространством есть всё линейное топологическое пространство^[1].

Дополняемое подпространство — подпространство, для которого имеется прямое топологическое дополнение^[1].

Вместо линейного топологического пространства рассматривают также его частный случай: локально выпуклое пространстве➤^[2].

Ортогональное дополнение подпространства гильбертова пространства — частный случай прямого топологического дополнения^[1].

Обобщение прямого алгебраического дополнения — дизъюнктное дополнение множества^[1].

Формальное определение

Формально определение прямого топологического дополнения можно записать следующим образом. Рассмотрим линейное топологическое пространство ${\displaystyle (E,\,\tau )}$ и оно есть прямая алгебраическая сумма ${\displaystyle E=M\oplus N}$ своих подпространств ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ — линейных топологических пространств с индуцированной топологией. Но при

${\displaystyle x=y+z}$, ${\displaystyle \quad x\in E}$, ${\displaystyle \quad y\in M}$, ${\displaystyle \quad z\in N}$

билинейное отображение прямого произведения на пространство ${\displaystyle E=M\oplus N}$

${\displaystyle (y,\,z)\to y+z}$^{[комм 1]},

которое непрерывно по причине линейности топологии ${\displaystyle \tau }$, в общем случае не взаимно непрерывно^[1].

Когда же это отображение взаимно непрерывно, то есть это гомеоморфизм, другими словами, пространство ${\displaystyle E}$ есть прямая топологическая сумма пространств ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$, то тогда подпространство ${\displaystyle N}$ называется прямым топологическим дополнением подпространства ${\displaystyle M}$, которое, в свою очередь, называется при этом дополняемым^[1].

Но в общем линейном топологическом пространстве не всякое его подпространство, пусть даже и конечномерное, дополняемо^[1].

Теорема 1. Подпространство ${\displaystyle M}$ пространства ${\displaystyle E}$ дополняемо тогда и только тогда, когда имеется непрерывный проектор ${\displaystyle P}$ пространства ${\displaystyle E}$ на подпространство ${\displaystyle M}$^[1].

Теорема 2. Подпространство ${\displaystyle M}$ пространства ${\displaystyle E}$ дополняемо тогда и только тогда, когда подпространство ${\displaystyle M}$ топологически изоморфно фактор-пространству ${\displaystyle E/N}$, где ${\displaystyle N}$ — прямое алгебраическое дополнение ${\displaystyle M}$^[1].

Следствие 1. Подпространство ${\displaystyle M}$ пространства ${\displaystyle E}$ дополняемо тогда, когда ${\displaystyle M}$ обладает конечной коразмерностью и замкнуто^[1].

Следствие 2. Подпространство ${\displaystyle M}$ пространства ${\displaystyle E}$ дополняемо тогда, когда ${\displaystyle E}$ локально выпукло, ${\displaystyle M}$ конечномерно и ${\displaystyle N}$ замкнуто^[1].

Ортогональное дополнение

Основная статья: Ортогональное дополнение

Ортогональное дополнение подпространства гильбертова пространства — частный случай прямого топологического дополнения^[1].

Ортогональное дополнение подпространства ${\displaystyle M}$ гильбертова пространства ${\displaystyle H}$ — множество

${\displaystyle M^{\bot }=\{x\in H\mid (x,\,y)=0\quad \forall y\in M\}}$,

которое есть замкнутое подпространство пространства ${\displaystyle H}$^[1].

Следующая теорема очень важна для теории гильбертовых пространства^[1].

Теорема 1. Любое замкнутое подпространство ${\displaystyle M}$ гильбертова пространства ${\displaystyle H}$ обладает ортогональным дополнением ${\displaystyle M^{\bot }}$, причём ${\displaystyle H=M\oplus M^{\bot }}$^[1].

Случай локально выпуклого пространства

Топологическая сумма

Рассмотрим произвольное локально выпуклое пространство ${\displaystyle E}$ и два его векторных подпространства ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$, причём ${\displaystyle E}$ есть прямая алгебраическая сумма ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$, то есть ${\displaystyle M\oplus N=E}$ и ${\displaystyle M\cap N=\{0\}}$^[3].

Но в общем случае локально выпуклое пространство ${\displaystyle E}$ может и не быть прямой топологической суммой пространств ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$, каждое из которых наделено индуцированной топологией, причём естественный алгебраический изоморфизм между фактор-пространством ${\displaystyle E/M}$ и подпространством ${\displaystyle N}$ может и не быть топологическим^[3].

Теорема 1. Рассмотрим локально выпуклое пространство ${\displaystyle E}$ как прямую алгебраическую сумму векторных подпространств ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$, проекции ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ пространства ${\displaystyle E}$ на подпространства ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ соответственно, а также канонические отображения ${\displaystyle h}$ и ${\displaystyle k}$ пространства ${\displaystyle E}$ на фактор-пространства ${\displaystyle E/M}$ и ${\displaystyle E/N}$ соответственно, то есть для произвольного ${\displaystyle x\in E}$ имеем: ${\displaystyle h(x)=x+M}$, ${\displaystyle k(x)=x+N}$. Тогда пять следующих утверждений равносильны:

(I) ${\displaystyle E}$ есть прямая топологическая сумма подпространств ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$,

(II) ${\displaystyle P}$ непрерывна,

(III) ${\displaystyle Q}$ непрерывна,

(IV) ${\displaystyle h}$ есть изоморфизм ${\displaystyle N}$ на ${\displaystyle E/M}$,

(V) ${\displaystyle k}$ есть изоморфизм ${\displaystyle M}$ на ${\displaystyle E/N}$^[3].

Доказательство. Поскольку ${\displaystyle P+Q}$ есть тождественное отображение пространства ${\displaystyle E}$, то утверждения (II) и (III) равносильны^[3].

Сумма ${\displaystyle M\oplus N}$ обладает сильнейшей локально выпуклой топологией, которая совпадает с исходными топологиями в подпространствах ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$^[3]. Такая топология совпадает с топологией произведения, поэтому она слабейшая из топологий, при которой проекции ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ непрерывны, и, как следствие, (I) равносильно (II) и (III)^[2].

В заключение, для произвольной окрестности ${\displaystyle U\subset E}$ множество ${\displaystyle k(U\cap M)}$ служит окрестностью в ${\displaystyle E/N}$ тогда и только тогда, когда прообраз

${\displaystyle (U\cap M)\oplus N=P^{-1}(U\cap M)}$

служит окрестностью в ${\displaystyle E}$. Отсюда (II) равносильно (V). Аналогично (III) равносильно (IV)^[2]. □

Следствие 1. Когда локально выпуклое пространство ${\displaystyle E}$ есть прямая алгебраическая сумма двух векторных подпространств:

• конечномерного ${\displaystyle M}$,
• замкнутого ${\displaystyle N}$,

тогда ${\displaystyle E}$ есть прямая топологическая сумма этих подпространств ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$^[2].

Доказательство. Так как векторное подпространство ${\displaystyle N\subset E}$ замкнуто, то фактор-пространство ${\displaystyle E/N}$ отделимо. С другой стороны, векторное подпространство ${\displaystyle M\subset E}$ тоже отделимо, поскольку каноническое отображение ${\displaystyle k}$ есть взаимно однозначное непрерывное линейное отображение ${\displaystyle M}$ на ${\displaystyle E/N}$. Следовательно, ${\displaystyle k}$ — топологический изоморфизм. Следовательно, верно утверждение (V) теоремы 1, а значит, и утверждение (I)^[2].

Топологическое дополнение

Прямое топологическое дополнение векторного подпространства ${\displaystyle M}$ в локально выпуклом пространстве ${\displaystyle E}$ — любое векторное подпространство ${\displaystyle N}$ пространства ${\displaystyle E}$ такое, что прямая топологическая сумма ${\displaystyle N}$ с исходным векторным пространством ${\displaystyle M}$ есть всё пространство ${\displaystyle E}$^[2].

Но описанное прямое топологическое дополнение в общем случае может не существовать^[4].

Теорема 1. Если локально выпуклое пространстве ${\displaystyle E}$ отделимо, то векторного подпространство ${\displaystyle M\in E}$ имеет прямое топологическое дополнение только тогда, когда оно замкнуто^[4].

Но не любое замкнутое векторное подпространство локально выпуклого пространства имеет прямое топологическое дополнение^[4].

Следует учитывать, что два произвольных прямых топологических дополнений векторного подпространство ${\displaystyle M\in E}$ изоморфны как изоморфные фактор-пространству ${\displaystyle E/M}$ (по теореме о топологической сумме подпространств➤)^[4].

Теорема 2. Векторное подпространство ${\displaystyle M}$ локально выпуклого пространства ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle M\in E}$, имеет прямое топологическим дополнением тогда и только тогда, когда найдётся непрерывный проектор ${\displaystyle P}$ пространства ${\displaystyle E}$ на подпространство ${\displaystyle M}$, то есть найдётся непрерывное линейное отображение ${\displaystyle P}$ пространства ${\displaystyle E}$ в себя такое, что ${\displaystyle P(E)=M}$ и ${\displaystyle P^{2}=P}$^[4].

Доказательство. Пусть ${\displaystyle M}$ обладает прямым топологическим дополнением ${\displaystyle N}$ в ${\displaystyle E}$, тогда имеется заявленный проектор ${\displaystyle P(M\oplus N)=M}$. Обратно, пусть имеется заявленный проектор ${\displaystyle P(E)=M}$, тогда положим ${\displaystyle N=P^{-1}(0)}$, в итоге ${\displaystyle P(M\oplus N)=M}$ и ${\displaystyle E}$ — прямая топологическая сумма ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ (по теореме о топологической сумме подпространств➤)^[4]. □

Следствие 1. Если ${\displaystyle E}$ — локально выпуклое пространство, ${\displaystyle M\in E}$ — замкнутое векторное подпространство и фактор-пространство ${\displaystyle E/M}$ конечномерно, то любое прямое алгебраическое дополнение к подпространству ${\displaystyle M}$ есть также и прямое топологическое дополнение (по следствию к теореме о топологической сумме подпространств➤)^[4].

Теорема 3. В произвольном отделимой локально выпуклом пространстве любое конечномерное векторное подпространство ${\displaystyle M}$ имеет прямое топологическое дополнение^[4].

Доказательство. Рассмотрим базис ${\displaystyle e_{1},\,e_{2},\,\dots ,\,e_{n}}$ конечномерного векторного подпространства ${\displaystyle M}$. Для такого базиса имеются непрерывные линейные формы ${\displaystyle f_{1},\,f_{2},\,\dots ,\,f_{n}}$, для которых ${\displaystyle f_{i}(e_{j})=0}$ при ${\displaystyle i\neq j}$ и ${\displaystyle f_{i}(e_{i})=1}$^[5].

Построим проектор следующего вида^[5]:

${\displaystyle P(x)=\sum _{1\leqslant i\leqslant n}f_{i}(x)e_{i}}$.

Тогда имеем^[5]:

${\displaystyle P^{2}(x)=\sum _{1\leqslant j\leqslant n}f_{j}(\sum _{1\leqslant i\leqslant n}f_{i}(x)e_{i})e_{j}=}$

${\displaystyle =\sum _{1\leqslant i\leqslant n}\sum _{1\leqslant j\leqslant n}f_{i}(x)f_{j}(e_{i})e_{j}=P(x)}$.

Поэтому ${\displaystyle P}$ есть непрерывный проектор на подпространстве ${\displaystyle M}$, следовательно, ${\displaystyle M}$ имеет прямое топологическое дополнение по теореме 2^[5].