Prirezani dodekaeder

Prirezani dodekaeder (ali prirezani ikozidodekaeder) je v geometriji konveksni polieder. Je arhimedsko telo, eno od trinajstih konveksnih izogonalnih neprizmatičnih teles skonstruirano z dvema ali več vrstami pravilnih mnogokotniških stranskih ploskev.

Prirezani dodekaeder
(animacija)
vrsta	arhimedsko telo uniformni polieder
elementi	F = 92, E = 150, V = 60 (χ = 2)
stranske ploskve na stran	(20 + 60){3} + 12{5}
Conwayjev zapis	sD
Schläflijevi simboli	sr{5,3} ali ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}5\\3\end{Bmatrix}}}$
	ht0,1,2{5,3}
Wythoffov simbol	| 2 3 5
Coxeter-Dinkinov diagram
simetrija	I, ⁠1/2⁠H3, [5,3]+, (*532), red 60
vrtilna grupa	I, [5,3]+, (532), red 60
diedrski kot	3-3: 164°10′31″ (164,18°) 3-5: 152°55′53″ (152,93°)
sklici	U29, C32, W18
značilnosti	konveksen polpravilen kiralen
obarvane stranske ploskve	3.3.3.3.5 (slika oglišč)
petstrani heksekontaeder (dualni polieder)	mreža telesa

Ima dvaindevetdeset pravilnih stranskih ploskev, od tega osemdeset enakostraničnotrikotniških in dvanajst petkotniških, ter 150 robov in 60 oglišč.

Spada med kiralne poliedre z dvema različnima oblikama, ki sta zrcalni sliki (ali enanciomorfni druga drugi). Edini kiralni arhimedski telesi sta prirezana kocka in prirezani dodekaeder.

• 
  Prva zrcalna oblika
• 
  Druga zrcalna oblika

Unija obeh oblik je sestav dveh prirezanih dodekaedrov, konveksna ogrinjača obeh oblik pa je prisekani ikozidodekaeder.

Druga imena

Johannes Kepler je najprej imenoval telo v latinščini kot dodecahedron simum leta 1619 v svoji knjigi Harmonija sveta (Harmonice mundi). Harold S. M. Coxeter je opazil, da se lahko telo skonstruira enakovredno iz dodekaedra ali ikozaedra, in ga je imenoval prirezani ikozidodekaeder (snub icosidodecahedron), z navpičnim razširjenim Schläflijevim simbolom ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}5\\3\end{Bmatrix}}}$.

Kartezične koordinate

Kartezične koordinate za oglišča prirezanega dodekaedra s središčem v izhodišču so vse sode permutacije

(±2α, ±2, ±2β),

(±(α + ⁠β/φ⁠ + φ), ±(−αφ + β + ⁠1/φ⁠), ±(⁠α/φ⁠ + βφ − 1)),

(±(α + ⁠β/φ⁠ − φ), ±(αφ − β + ⁠1/φ⁠), ±(⁠α/φ⁠ + βφ + 1)),

(±(−⁠α/φ⁠ + βφ + 1), ±(−α + ⁠β/φ⁠ − φ), ±(αφ + β − ⁠1/φ⁠)) and

(±(−⁠α/φ⁠ + βφ − 1), ±(α − ⁠β/φ⁠ − φ), ±(αφ + β + ⁠1/φ⁠)),

s sodim številom znakov za seštevanje, kjer je:

α = ξ − ⁠1/ξ⁠

in

β = ξφ + φ² + ⁠φ/ξ⁠,

kjer je ${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\!\,}$ število zlatega reza in ξ realna rešitev enačbe ξ³ − 2ξ = φ, ki je število:

${\displaystyle \xi ={\sqrt[{3}]{{\frac {\varphi }{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\varphi -{\frac {5}{27}}}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {\varphi }{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {\varphi -{\frac {5}{27}}}}}}\approx 1,715\,5615\!\,.}$

Dolžina roba prirezanega dodekaedra je enaka približno 6,0437380841.

Če se vzamejo lihe permutacije zgornjih koordinat s sodim številom znakov za seštevanje, se dobi druga oblika, enanciomorfna drugi obliki. Čeprav ni takoj očitno, je oblika, dobljena s sodimi permutacijami s sodim številom znakov za seštevanje, enaka kot tista, dobljena z lihimipermutacijami s sodim številom znakov za seštevanje. Podobno ima zrcalna slika ali liho permutacijo s sodim številom znakov za seštevanje ali sodo permutacijo z lihim številom znakov za seštevanje.

Površina in prostornina

Razvijanje rombiikozidodekaedra v prirezani dodekaeder

Površina P prirezanega dodekaedra z dolžino roba 1 je enaka:

${\displaystyle P=20{\sqrt {3}}+3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\approx 55,286\,744\,958\,445\,15\!\,,}$

prostornina V pa:

${\displaystyle V={\frac {12\xi ^{2}(3\varphi +1)-\xi (36\varphi +7)-(53\varphi +6)}{6{\sqrt {3-\xi ^{2}}}^{3}}}\approx 37,616\,649\,962\,733\,36\!\,,}$

kjer je φ število zlatega reza.

Prirezani dodekaeder ima najvišjo sfernost (približno 0,982) med vsemi arhimedskimi telesi.

Pravokotne projekcije

Prirezani dodekaeder ima tri posebne pravokotne projekcije usrediščene na rob in dve vrsti stranskih ploskev (enakostranični trikotniki in petkotniki). Zadnji dve odgovarjata Coxeterjevima ravninama A₂ in H₂s.

Pravokotne projekcije

usrediščeno na	rob	stransko ploskev – enakostranični trikotnik	stransko ploskev – petkotnik
slika
projektivna simetrija	[2]	[3]	[5]+
petstrani heksekontaeder

Geometrijski odnosi

Prirezani dodekaeder lahko nastane, če se vzame dvanajst petkotniških stranskih ploskev dodekaedra in se jih razširi navzven, da se ne stikajo več. Na ustrezni razdalji nastane rombiikozidodekaeder, če se razdeljeni robovi zapolnijo s kvadrati in razdeljena oglišča z enakostraničnimi trikotniki. Da nastane prirezani dodekaeder, je treba dodati trikotniške stranske ploskve in pustiti prazne kvadratne vrzeli. Potem se izvede enak zasuk središč petkotnikov in enakostraničnih trikotnikov, in se nadaljuje z zasukom dokler se vrzeli lahko zapolnijo z dvema enakostraničnimi trikotnikoma.

Dodekaeder

Rombiikozidodekaeder (razširjeni dodekaeder)

Prirezani dodekaeder

Prirezani dodekaeder se lahko skonstruira tudi iz prisekanega ikozidodekaedra z alternacijo. Šestdeset oglišč prisekanega ikozidodekaedra tvori polieder, ki je topološko enakovreden prirezanemu dodekaedru; preostalih šestdeset tvori njegovo zrcalno obliko. Nastali polieder je ogliščnoprehoden, ni pa uniformen, ker njegovi robovi nimajo enakih dolžin – tako da je potrebna dodatna deformacija, da se ga pretvori v uniformni polieder.

Sorodni poliedri in tlakovanja

Družina uniformnih ikozaedrskih poliedrov
Simetrija: [5,3], (*532)							[5,3]+, (532)
{5,3}	t{5,3}	r{5,3}	t{3,5}	{3,5}	rr{5,3}	tr{5,3}	sr{5,3}
Duali uniformnih poliedrov
V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

Ta polpravilni polieder je član zaporedja prirezanih poliedrov s sliko oglišča (3.3.3.3.n) in Coxeter-Dinkinovim diagramom . Te oblike in njihovi duali imajo rotacijsko simetrijo (n32), v evklidski ravnini za n = 6, in v hiperbolični ravnini za poljubni višji n. Zaporedje se lahko začne z n = 2, kjer je ena množica stranskih ploskev izrojena v dvokotnike.

Različice simetrij n32 prirezanih tlakovanj: 3.3.3.3.n
simetrija n32	sferna				evklidska	kompaktna hiperbolična		parakomp.
	232	332	432	532	632	732	832	∞32
prirezane oblike
oglišče	3.3.3.3.2	3.3.3.3.3	3.3.3.3.4	3.3.3.3.5	3.3.3.3.6	3.3.3.3.7	3.3.3.3.8	3.3.3.3.∞
giro oblike
konfig.	V3.3.3.3.2	V3.3.3.3.3	V3.3.3.3.4	V3.3.3.3.5	V3.3.3.3.6	V3.3.3.3.7	V3.3.3.3.8	V3.3.3.3.∞

Glej tudi

• graf prirezanega dodekaedra

Viri

• Cromwell, Peter Richard (1997), Polyhedra, Cambridge: Cambridge University Press, str. 79-86 Archimedean solids, COBISS 6472537, ISBN 0-521-55432-2
• Jayatilake, Udaya (Marec 2005), »Calculations on face and vertex regular polyhedra«, Mathematical Gazette, 89 (514): 76–81
• Klitzing, Richard Klitzing, 3D convex uniform polyhedra, s3s5s - snid (angleško)
• Williams, Robert Edward (1979), »§ 3-9«, The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design, Dover Publications, Inc, ISBN 0-486-23729-X

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Snub Dodecahedron«. MathWorld.
• Mreža prirezanega dodekaedra z interaktivnim trirazsežnim pogledom (angleško)
• Uniformni poliedri (angleško)
• Poliedri v virtualni realnosti The Encyclopedia of Polyhedra (angleško)
• Nicassio, Antonio, Prirezani dodekaeder izdelan s kockami Lego (angleško)