При́зма (дав.-гр.πρίσμα— «відпиляне»; від πρίζω— «пиляю»)— стереометрична фігура, многогранник (призматоїд), у якого дві грані— рівні n-кутники, розташовані в паралельних площинах, а решта n граней— паралелограми. Ці паралелограми називаються бічними гранями призми, а інші два n-кутники називаються її основами.
Правильна призма з шестикутною основою
У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Призма.
Многокутник, що лежить в основі, визначає назву призми: трикутник— трикутна призма, чотирикутник— чотирикутна; п'ятикутник— п'ятикутна (пентапризма) іт.д.
Призма є частковим випадком циліндра в загальному сенсі (некругового).
Призма називається прямою, якщо її бічні ребра перпендикулярні до основи. Інші призми— похилі.
Призма називається правильною, якщо вона пряма і її основи— правильні многокутники.
Зрізана трикутна призмаПряма призма— це призма, у якої бічні ребра перпендикулярні до площини основи, звідки випливає, що всі бічні грані є прямокутниками[1]. Інші призми називаються похилими.
Прямі призми з правильними основами й однаковими довжинами ребер утворюють одну з двох нескінченних послідовностей напівправильних многогранників, іншу послідовність утворюють антипризми
Зрізана призма— це призма з непаралельними основами[2].
Remove ads
Елементи призми
Назва
Визначення
Позначення на кресленні
Креслення
Основи
Дві грані, є конгруентними многокутниками, що лежать у паралельних одна одній площинах.
,
Бічні грані
Усі грані, крім основ. Кожна бічна грань обов'язково є паралелограмом.
, , , ,
Бічна поверхня
Об'єднання бічних граней.
Повна поверхня
Об'єднання основ і бічної поверхні.
Бічні ребра
Спільні сторони бічних граней.
, , , ,
Висота
Відрізок, що з'єднує площини, у яких лежать основи призми і перпендикулярний до цих площин.
Діагональ
Відрізок, що з'єднує дві вершини призми, які не належать одній грані.
Діагональна площина
Площина, що проходить через бічне ребро призми і діагональ основи.
Діагональний переріз
Перетин призми і діагональної площини. В перерізі утворюється паралелограм, зокрема його часткові випадки— ромб, прямокутник, квадрат.
Перпендикулярний (ортогональний) переріз
Переріз призми і площини, перпендикулярної до її бічного ребра.
Remove ads
Властивості призми
Основи призми є рівними многокутниками.
Бічні грані призми є паралелограмами.
Бічні ребра призми паралельні і рівні.
Об'єм призми дорівнює добутку її висоти на площу основи:
Об'єм призми з правильною n-кутною основою дорівнює
(тут s— довжина сторони многокутника).
Площа повної поверхні призми дорівнює сумі площі її бічної поверхні і подвоєної площі основи.
Площа бічної поверхні довільної призми , де — периметр перпендикулярного перерізу, — довжина бічного ребра.
Площа бічної поверхні прямої призми , де — периметр основи призми, — висота призми.
Площа бічної поверхні прямої призми з правильною n-кутною основою дорівнює
Перпендикулярний переріз перпендикулярний до всіх бічних ребер призми.
Кути перпендикулярного перерізу— це лінійні кути двогранних кутів при відповідних бічних ребрах.
Перпендикулярний переріз перпендикулярний до всіх бічних граней.
Групою симетрії прямої n-кутної призми з правильною основою є група Dnh порядку 4n, за винятком куба, який має групу симетрії Oh[en] порядку 48, що містить три версії D4h в якості підгруп. Групою обертань[en] є Dn 2n, за винятком випадку куба, для якого групою обертань є група O[en] порядку 24, що має три версії D4 в якості підгруп.
Група симетрії Dnh включає центральну симетрію в тому і тільки в тому випадку, коли n парне.
Remove ads
Об'єм
Об'єм призми дорівнює добутку площі основи на висоту.
Таким чином об'єм дорівнює:
де S— площа основи, h— висота. Об'єм правильної призми в основі якої є правильний n-кутник дорівнює:
Remove ads
Площа поверхні
Площа бічної поверхні призми дорівнює , де P— периметр основи, H— висота.
Площа поверхні призми дорівнює , де S— площа основи, h— висота, P— периметр основи.
Площа поверхні правильної призми в основі якої є правильний n-кутник дорівнює:
Remove ads
Призматичні многогранники
Узагальнити
Перспектива
Призматичний многогранник— це узагальнення призми в просторах розмірності 4 і вище. n-вимірний призматичний многогранник конструюється з двох (n − 1)-вимірних многогранників, перенесених у наступну розмірність.
Елементи призматичного n-вимірного многогранника подвоюються з елементів (n − 1)-вимірного многогранника, потім створюються нові елементи наступного рівня.
Візьмемо n-вимірний многогранник з елементами (i-вимірна грань, i = 0, …, n). Призматичний ()-вимірний многогранник буде мати елементів розмірності i (при , ).
За розмірностями:
Беремо многокутник з n вершинами і n сторонами. Отримаємо призму з 2n вершинами, 3n ребрами і гранями.
Беремо многогранник з v вершинами, e ребрами і f гранями. Отримуємо (4-вимірну) призму з 2v вершинами, ребрами, гранями і комірками.
Беремо 4-вимірний многогранник з v вершинами, e ребрами, f гранями і c комірками. Отримуємо (5-вимірну) призму з 2v вершинами, ребрами, (2-вимірними) гранями, комірками гіперкомірками.
Призма з 0-вимірного многогранника— це відрізок, що подається порожнім символом Шлефлі {}.
Призма з 1-вимірного многогранника— це прямокутник, отриманий з двох відрізків. Ця призма подається як добуток символів Шлефлі {}×{}. Якщо призма є квадратом, запис можна скоротити: {}×{} = {4}.
Приклад: Квадрат, {}×{}, два паралельні відрізки, з'єднані двома іншими відрізками, сторонами.
багатокутна призма— це 3-вимірна призма, отримана з двох многокутників (один отриманий паралельним перенесенням іншого), які пов'язані прямокутниками. З правильного многокутника {p} можна отримати однорідну n-кутну призму, подану добутком {p}×{}. Якщо p = 4, призма стає кубом: {4}×{} = {4,3}.
4-вимірна призма, отримана з двох многогранників (один отримано паралельним перенесенням іншого), зв'язаних 3-вимірними призматичними комірками. З правильного многогранника {p,q} можна отримати однорідну 4-вимірну призму, подану добутком {p,q}×{}. Якщо многогранник є кубом і сторони призми теж куби, призма перетворюється на тесеракт: {4,3}×{} = {4, 3, 3}.
Призматичні многогранники більш високих розмірностей також існують як прямі добутки двох будь-яких многогранників. Розмірність призматичного многогранника дорівнює добутку розмірностей елементів добутку. Перший приклад такого добутку існує в 4-вимірному просторі і називається дуопризмами[ru], які отримуються, як добуток двох многокутників. Правильні дуопризми подаються символом {p}×{q}.
Remove ads
Скручена призма і антипризма
Скручена призма— це неопуклий призматичний многогранник, отриманий з однорідноїq-кутної призми шляхом поділу бічних граней діагоналлю і обертання верхньої основи, зазвичай на кут радіан ( градусів), в напрямку, за якого сторони стають увігнутими[3][4].
Скручена призма не може бути розбита на тетраедри без уведення нових вершин. Найпростіший приклад з трикутними основами називається многогранником Шенхардта[ru].
Скручена призма топологічно ідентична антипризмі, але має половину симетрій: Dn, [n,2]+, порядку 2n. Цю призму можна розглядати як опуклу антипризму, у якої видалено тетраедри між парами трикутників.