Топ питань
Часова шкала
Чат
Перспективи

Призма (математика)

З Вікіпедії, вільної енциклопедії

Призма (математика)
Remove ads

При́зма (дав.-гр. πρίσμα — «відпиляне»; від πρίζω — «пиляю») — стереометрична фігура, многогранник (призматоїд), у якого дві грані — рівні n-кутники, розташовані в паралельних площинах, а решта n граней паралелограми. Ці паралелограми називаються бічними гранями призми, а інші два n-кутники називаються її основами.

Thumb
Правильна призма з шестикутною основою

Многокутник, що лежить в основі, визначає назву призми: трикутник трикутна призма, чотирикутник — чотирикутна; п'ятикутник п'ятикутна (пентапризма) і т. д.

Призма є частковим випадком циліндра в загальному сенсі (некругового).

Призма називається прямою, якщо її бічні ребра перпендикулярні до основи. Інші призми — похилі.

Призма називається правильною, якщо вона пряма і її основи — правильні многокутники.

Висота призми — відстань між площинами її основ.

Remove ads

Види призм

Призма, основою якої є паралелограм, називається паралелепіпедом.
Thumb
Зрізана трикутна призма
Пряма призма — це призма, у якої бічні ребра перпендикулярні до площини основи, звідки випливає, що всі бічні грані є прямокутниками[1]. Інші призми називаються похилими.
Пряма прямокутна призма називається прямокутним паралелепіпедом. Символ Шлефлі такої призми— { }×{ }×{ }.
Правильна призма — це пряма призма, основою якої є правильний многокутник. Бічні грані правильної призми рівні прямокутники.
Правильна призма, бічні грані якої є квадратами (висота якої дорівнює стороні основи), є напівправильним многогранником. Символ Шлефлі такої призми — t{2,p}.

Прямі призми з правильними основами й однаковими довжинами ребер утворюють одну з двох нескінченних послідовностей напівправильних многогранників, іншу послідовність утворюють антипризми

Зрізана призма — це призма з непаралельними основами[2].

Remove ads

Елементи призми

Назва Визначення Позначення на кресленні Креслення
Основи Дві грані, є конгруентними многокутниками, що лежать у паралельних одна одній площинах. , Thumb
Бічні грані Усі грані, крім основ. Кожна бічна грань обов'язково є паралелограмом. , , , ,
Бічна поверхня Об'єднання бічних граней.
Повна поверхня Об'єднання основ і бічної поверхні.
Бічні ребра Спільні сторони бічних граней. , , , ,
Висота Відрізок, що з'єднує площини, у яких лежать основи призми і перпендикулярний до цих площин.
Діагональ Відрізок, що з'єднує дві вершини призми, які не належать одній грані.
Діагональна площина Площина, що проходить через бічне ребро призми і діагональ основи.
Діагональний переріз Перетин призми і діагональної площини. В перерізі утворюється паралелограм, зокрема його часткові випадки — ромб, прямокутник, квадрат.
Перпендикулярний (ортогональний) переріз Переріз призми і площини, перпендикулярної до її бічного ребра.
Remove ads

Властивості призми

  • Основи призми є рівними многокутниками.
  • Бічні грані призми є паралелограмами.
  • Бічні ребра призми паралельні і рівні.
  • Об'єм призми дорівнює добутку її висоти на площу основи:
  • Об'єм призми з правильною n-кутною основою дорівнює
(тут s — довжина сторони многокутника).
  • Площа повної поверхні призми дорівнює сумі площі її бічної поверхні і подвоєної площі основи.
  • Площа бічної поверхні довільної призми , де  периметр перпендикулярного перерізу,  — довжина бічного ребра.
  • Площа бічної поверхні прямої призми , де  — периметр основи призми,  — висота призми.
  • Площа бічної поверхні прямої призми з правильною n-кутною основою дорівнює
  • Перпендикулярний переріз перпендикулярний до всіх бічних ребер призми.
  • Кути перпендикулярного перерізу — це лінійні кути двогранних кутів при відповідних бічних ребрах.
  • Перпендикулярний переріз перпендикулярний до всіх бічних граней.
  • Двоїстим многогранником прямої призми є біпіраміда.
Remove ads

Діаграми Шлегеля

Thumb



Трикутна
призма
Thumb



4-кутна
призма
Thumb



5-кутна
призма
Thumb



6-кутна
призма
Thumb



7-кутна
призма
Thumb



8-кутна
призма

Симетрія

Групою симетрії прямої n-кутної призми з правильною основою є група Dnh порядку 4n, за винятком куба, який має групу симетрії Oh[en] порядку 48, що містить три версії D4h в якості підгруп. Групою обертань[en] є Dn 2n, за винятком випадку куба, для якого групою обертань є група O[en] порядку 24, що має три версії D4 в якості підгруп.

Група симетрії Dnh включає центральну симетрію в тому і тільки в тому випадку, коли n парне.

Remove ads

Об'єм

Об'єм призми дорівнює добутку площі основи на висоту. Таким чином об'єм дорівнює:

де S — площа основи, h — висота. Об'єм правильної призми в основі якої є правильний n-кутник дорівнює:

Remove ads

Площа поверхні

Площа бічної поверхні призми дорівнює , де P — периметр основи, H — висота.

Площа поверхні призми дорівнює , де S — площа основи, h — висота, P — периметр основи.

Площа поверхні правильної призми в основі якої є правильний n-кутник дорівнює:

Remove ads

Призматичні многогранники

Узагальнити
Перспектива

Призматичний многогранник — це узагальнення призми в просторах розмірності 4 і вище. n-вимірний призматичний многогранник конструюється з двох (n − 1)-вимірних многогранників, перенесених у наступну розмірність.

Елементи призматичного n-вимірного многогранника подвоюються з елементів (n − 1)-вимірного многогранника, потім створюються нові елементи наступного рівня.

Візьмемо n-вимірний многогранник з елементами (i-вимірна грань, i = 0, …, n). Призматичний ()-вимірний многогранник буде мати елементів розмірності i (при , ).

За розмірностями:

  • Беремо многокутник з n вершинами і n сторонами. Отримаємо призму з 2n вершинами, 3n ребрами і гранями.
  • Беремо многогранник з v вершинами, e ребрами і f гранями. Отримуємо (4-вимірну) призму з 2v вершинами, ребрами, гранями і комірками.
  • Беремо 4-вимірний многогранник з v вершинами, e ребрами, f гранями і c комірками. Отримуємо (5-вимірну) призму з 2v вершинами, ребрами, (2-вимірними) гранями, комірками гіперкомірками.

Однорідні призматичні многогранники

Правильний n-многогранник, представлений символом Шлефлі {p, q, ..., t}, може утворити однорідний призматичний многогранник розмірності (n + 1), представлений прямим добутком двох символів Шлефлі: {p, q, ..., t}×{}.

За розмірностями:

  • Призма з 0-вимірного многогранника — це відрізок, що подається порожнім символом Шлефлі {}.
  • Призма з 1-вимірного многогранника — це прямокутник, отриманий з двох відрізків. Ця призма подається як добуток символів Шлефлі {}×{}. Якщо призма є квадратом, запис можна скоротити: {}×{} = {4}.
    • Приклад: Квадрат, {}×{}, два паралельні відрізки, з'єднані двома іншими відрізками, сторонами.
  • багатокутна призма — це 3-вимірна призма, отримана з двох многокутників (один отриманий паралельним перенесенням іншого), які пов'язані прямокутниками. З правильного многокутника {p} можна отримати однорідну n-кутну призму, подану добутком {p}×{}. Якщо p = 4, призма стає кубом: {4}×{} = {4, 3}.
  • 4-вимірна призма, отримана з двох многогранників (один отримано паралельним перенесенням іншого), зв'язаних 3-вимірними призматичними комірками. З правильного многогранника {p, q} можна отримати однорідну 4-вимірну призму, подану добутком {p, q}×{}. Якщо многогранник є кубом і сторони призми теж куби, призма перетворюється на тесеракт: {4, 3}×{} = {4, 3, 3}.
    • Приклад: додекаедрична призма[en], {5, 3}×{}, два паралельні додекаедри, сполучені 12 п'ятикутними призмами (сторонами).

Призматичні многогранники більш високих розмірностей також існують як прямі добутки двох будь-яких многогранників. Розмірність призматичного многогранника дорівнює добутку розмірностей елементів добутку. Перший приклад такого добутку існує в 4-вимірному просторі і називається дуопризмами[ru], які отримуються, як добуток двох многокутників. Правильні дуопризми подаються символом {p}×{q}.

Remove ads

Скручена призма і антипризма

Скручена призма — це неопуклий призматичний многогранник, отриманий з однорідної q-кутної призми шляхом поділу бічних граней діагоналлю і обертання верхньої основи, зазвичай на кут радіан ( градусів), в напрямку, за якого сторони стають увігнутими[3][4].

Скручена призма не може бути розбита на тетраедри без уведення нових вершин. Найпростіший приклад з трикутними основами називається многогранником Шенхардта[ru].

Скручена призма топологічно ідентична антипризмі, але має половину симетрій: Dn, [n,2]+, порядку 2n. Цю призму можна розглядати як опуклу антипризму, у якої видалено тетраедри між парами трикутників.

Більше інформації Трикутна, Чотирикутні ...

Пов'язані многогранники і мозаїки

Узагальнити
Перспектива
Більше інформації Многокутник, Мозаїка ...
Більше інформації n, Назва ...

Симетрії

Призми топологічно є частиною послідовності однорідних зрізаних многогранників з конфігураціями вершин (3.2 n.2n) і [n,3].

Більше інформації Варіанти симетрії *n32 зрізаних мозаїк: 3.2n.2n, Симетрія*n32 [n,3] ...

Призми топологічно є частиною послідовності скошених многогранників з вершинними фігурами (3.4.n.4) і мозаїк на гіперболічній площині. Ці вершиннотранзитивні фігури мають (*n32) дзеркальну симетрію[en].

Більше інформації Варіанти симетрії *n42 розширених мозаїк: 3.4.n.4, Симетрія*n32 [n,3] ...

З'єднання многогранників

Існує 4 однорідні з'єднання трикутних призм:

З’єднання чотирьох трикутних призм[en], з’єднання восьми трикутних призм[en], з’єднання десяти трикутних призм[en], з’єднання дванадцяти трикутних призм[en].

Стільники

Існує 9 однорідних стільників, що включають комірки у вигляді трикутних призм:

  • гіроподовжений альтернований кубічний стільник[en],
  • подовжений альтерований кубічний стільник[en],
  • повернутий трикутний призматичний стільник[ru],
  • кирпатий квадратний призматичний стільник[en],
  • трикутний призматичний стільник[ru],
  • трикутно-шестикутний призматичний стільник[ru],
  • зрізаний шестикутний призматичний стільник,
  • ромботришестикутний призматичний стільник[ru],
  • кирпатий шестикутний призматичний стільник[ru],
  • подовжений трикутний призматичний стільник[ru].

Пов'язані многогранники

Трикутна призма є першим многогранником в ряду напівправильних многогранників[en]. Кожен наступний однорідний многогранник містить в якості вершинної фігури попередній многогранник. Торольд Госсет[en] ідентифікував цю серію в 1900 як таку, що містить всі фасети правильних багатовимірних многогранників, всі симплекси і ортоплекси (правильні трикутники і квадрати для випадку трикутних призм). У нотації Коксетера трикутна призма задається символом −121.

Більше інформації k21[en] у просторі розмірністю n, Простір ...

Чотиривимірний простір

Трикутна призма є коміркою у багатьох чотиривимірних однорідних 4-вимірних многогранниках[en], включно з:

тетраедрична призма[en]

октаедрична призма[en]

кубооктаедрична призма[en]

ікосаедрична призма[en]

ікосододекаедрична призма[en]

зрізана додекаедрична призма[en]

Thumb Thumb Thumb Thumb Thumb Thumb
ромбоікосі-
додекаедрична призма
[en]

ромбокуб-
октаедрична призма
[en]

зрізана кубічна призма[en]

кирпата додекаедрична призма[en]

n-кутна антипризматична призма[en]

Thumb Thumb Thumb Thumb Thumb
скошений 5-комірник[en]

скошено-зрізаний 5-комірник[en]

обструганий 5-комірник[en]

струг-зрізаний 5-комірник[en]

скошений тесеракт[en]

скошено-зрізаний тесеракт[en]

обструганий тесеракт[en]

струг-зрізаний тесеракт[en]

Thumb Thumb Thumb Thumb Thumb Thumb Thumb Thumb
скошений 24-комірник[en]

скошено-зрізаний 24-комірник[en]

обструганий 24-комірник[en]

струг-зрізаний 24-комірник[en]

скошений 120-комірник[en]

скошено-зрізаний 120-комірник[en]

обструганий 120-комірник[en]

струг-зрізаний 120-комірник[en]

Thumb Thumb Thumb Thumb Thumb Thumb Thumb Thumb
Remove ads

Примітки

Див. також

Література

Посилання

Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads