Топ питань
Часова шкала
Чат
Перспективи
З'єднання многогранників
тривимірне тіло з багатогранників зі спільним центром З Вікіпедії, вільної енциклопедії
Remove ads
З'єднання многогранників — геометричне тіло, складене з деяких многогранників, що мають спільний центр. З'єднання є тривимірним аналогом багатокутних з'єднань, таких як гексаграма.
Зовнішні вершини з'єднання можна з'єднати, утворивши опуклий многогранник, який називають опуклою оболонкою. З'єднання є огрануванням опуклої оболонки.
Усередині з'єднання утворюється менший опуклий многогогранник, спільна частина всіх членів з'єднання. Його називають ядром набору зірчастих многогранників.
Remove ads
Правильні з'єднання
Узагальнити
Перспектива
Правильне з'єднання многогранників можна визначити як з'єднання, яке, як і в разі правильних многогранників, є вершинно-транзитивним[en], реберно-транзитивним та гране-транзитивним. Існує п'ять правильних з'єднань многогранників.
Найвідомішим є з'єднання двох тетраедрів. Кеплер назвав це з'єднання латиною stella octangula (зірчастий октаедр). Вершини двох тетраедрів задають куб, а їх перетин є октаедром, грані якого лежать на тих самих площинах, що й грані складових тетраедрів. Таким чином, з'єднання є зведенням до зірчастої форми октаедра і фактично його єдиним можливим зведенням.
Зірчастий октаедр можна також розглядати як двоїсто-правильне з'єднання.
З'єднання п'яти тетраедрів має дві дзеркальні версії, які разом дають з'єднання десяти тетраедрів. Всі з'єднання тетраедрів самодвоїсті, а з'єднання п'яти кубів двоїсте з'єднанню п'яти октаедрів.
Remove ads
Двоїсті з'єднання
Узагальнити
Перспектива
Двоїсте з'єднання — це з'єднання многогранника і двоїстого йому, розташованих взаємно протилежно відносно спільної вписаної або напіввписаної сфери, так що ребро одного многогранника перетинає двоїсте ребро двоїстого многогранника. Існує п'ять таких з'єднань правильних многогранників.
Тетраедр самодвоїстий, отже, двоїсте з'єднання тетраедра з двоїстим йому є також зірчастим октаедром.
Двоїсті з'єднання куб-октаедр та додекаедр-ікосаедр є ззірченнями кубооктаедра та ікосододекаедра відповідно.
З'єднання малого зірчастого додекаедра і великого додекаедра виглядає зовні як той самий малий зірчастий додекаедр, оскільки великий додекаедр міститься повністю всередині нього. Тому зображення малого зірчастого додекаедра, наведене вище, показано у вигляді реберного каркаса.
Remove ads
Однорідні з'єднання
1976 року Джон Скіллінг (John Skilling) опублікував статтю Однорідні з'єднання однорідних многогранників[1], у якій перерахував 75 з'єднань (серед них 6 нескінченних множин призматичних з'єднань, № 20-25), отриманих з однорідних многогранників за допомогою обертань. (Кожна вершина є вершинно-транзитивною[en].) Список включає п'ять з'єднань правильних многогранників зі списку вище .
Ці 75 однорідних з'єднань наведено в таблиці нижче. У більшості з'єднань різні кольори відповідають різним складникам. Деякі хіральні пари розфарбовано згідно з дзеркальною симетрією.
- 1-19: суміш (4,5,6,9,17 є п'ятьма правильними з'єднаннями)
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
- 20-25: симетрія призм, вкладена в діедричну симетрію в тривимірному просторі[en],
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
- 46-67: тетраедрична симетрія, вкладена в октаедричну або ікосаедричну симетрію,
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
- 68-75: енантіоморфні пари
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Інші з'єднання
 |
 |
| З'єднання чотирьох кубів (ліворуч) не є ні правильним, ні двоїстим, ні однорідним з'єднанням. Двоїсте йому з'єднання чотирьох октаедрів (праворуч) однорідне. | |
- З'єднання трьох октаедрів[en]
- З'єднання чотирьох кубів
Два многогранники, які є з'єднаннями, але їх елементи строго вкладені в малий складний ікосододекаедр[en] (з'єднання ікосаедра та великого додекаедра) і великий складний ікосододекаедр[en] (з'єднання малого зірчастого додекаедра і великого ікосаедра). Якщо прийняти узагальнене визначення однорідного багатогранника, вони будуть однорідними.
Розділ ентіаноморфних пар у списку Скіллінга не містить з'єднань двох великих кирпатих додекоікосододекаедрів[en], оскільки грані- пентаграми збігаються. Видалення граней, що збігаються, приведе до з'єднання двадцяти октаедрів[en].
Remove ads
Чотиривимірні з'єднання
Узагальнити
Перспектива
У чотиривимірному просторі існує багато правильних з'єднань правильних політопів. Коксетер перерахував деякі з них у своїй книзі Правильні многогранники[en][2].
Самодвоїсті:
Двоїсті пари:
Однорідні з'єднання з опуклими чотиривимірними многогранниками:
Двоїсті позиції:
З'єднання правильних чотиривимірних многогранників
Самодвоїсті зірчасті з'єднання:
Двоїсті пари з'єднань зірок:
Однорідні з'єднання зірок :
Remove ads
Теорія груп
У термінах теорії груп, якщо G — група симетрії з'єднання многогранників і група діє транзитивно на многогранник (так що будь-який многогранник може перейти в будь-якій іншій, як в однорідних з'єднаннях), тоді, якщо H є стабілізатором одного вибраного многогранника, многогранники можна визначити за орбітою G/H.
З'єднання мозаїк
Існує вісімнадцять двопараметричних сімейств правильних з'єднань мозаїк на евклідовій площині. У гіперболічному просторі відомі п'ять однопараметричних сімейств та сімнадцять ізольованих мозаїк, але список не завершено.
Евклідові та гіперболічні сімейства 2 {p,p} (4 ≤ p ≤ ∞, p ціле) аналогічні сферичним зірчастим октаедрам, 2 {3,3}.
Відомим сімейством правильних евклідових з'єднань стільників у просторах розмірності п'ять і вище є нескінченне сімейство гіперкубічних стільників[en], що мають спільні вершини та грані. Таке з'єднання може мати довільне число гіперкубічних стільників.
Існують також двоїсто-правильні з'єднання мозаїк. Простим прикладом є E2-з'єднання шестикутної мозаїки та її двоїстої трикутної. Евклідове з'єднання двох гіперкубічних стільників правильне і двоїсто правильне.
Remove ads
Примітки
Література
Посилання
Wikiwand - on
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Remove ads