Тетраедрична симетрія

Правильний тетраедр має 12 обертових (зі збереженням орієнтації) симетрій та симметрії^[en] порядку 24, що включають комбінацію відбиттів та обертань.

Точкова група в тривимірному просторі

Симетрії-інволюції Cs, (*) [ ] =	Циклічна симетрія Cnv, (*nn) [n] =	Діедрична симетрія Dnh, (*n22) [n,2] =
Групи многогранників, [n,3], (*n32)
Тетраедрична симетрія Td, (*332) [3,3] =	Октаедрична симетрія Oh, (*432) [4,3] =	Ікосаедрична симетрія Ih, (*532) [5,3] =

Правильний тетраедр — приклад тіла з повною тетраедричною симетрією

Група всіх симетрій ізоморфна групі S₄, симетричній групі перестановок чотирьох елементів, оскільки є рівно одна така симетрія для кожної перестановки вершин тетраедра. Множина симетрій, що зберігають орієнтацію, утворює групу, яка є знакозмінною підгрупою A₄ групи S₄.

Подробиці

Хіральна і повна (або ахіральна тетраедрична симетрія та піритоедрична симетрія) є симетріями дискретних точок (або, що те саме, симетріями на сфері). Вони входять у кристалографічні групи симетрії кубічної сингонії.

У стереографічній проєкції ребра тетракісгексаедра утворюють на площині 6 кіл (або центральних радіальних прямих). Кожне з цих кіл представляє дзеркало в тетраедричній симетрії. Перетини цих кіл дають точки обертання порядку 2 і 3.

Ортогональна проєкція	Стереографічна проєкція
	4-разова	3-разова	2-разова
Хіральна тетраедрична симетрія, T, (332), [3,3]+ = [1+,4,3+], =
Піритоедрична симетрія, Th, (3*2), [4,3+],
Ахіральна тетраедрична симетрія, Td, (*332), [3,3] = [1+4,3], =

Хіральна тетраедрична симетрія

Тетраедрична група обертань T з фундаментальною областю. Для триакістетраедра (див. нижче) область є повною гранню

Тетраедр можна розташувати в 12 різних положеннях, використовуючи лише обертання. Це проілюстровано вище графом циклів з поворотами ребер на 180° (блакитні стрілки) і поворотами вершин на 120° (червоні стрілки) .

У триакістетраедрі одна повна грань є фундаментальною областю. Інші тіла з такою ж симетрією можна одержати зміною орієнтації граней. Наприклад, сплющенням деякої підмножини граней, щоб утворити одну грань, або заміною однієї грані групою граней чи навіть кривою поверхнею

T, 332, [3,3]⁺, або 23 порядку 12 — хіральна або обертальна тетраедрична симетрія. Є три ортогональних 2-разових осі обертання, на зразок хіральної діедричної симетрії^[en] D₂ або 222, а також чотири додаткові 3-разові осі. Ця група ізоморфна A₄ знакозмінній групі 4 елементів. Фактично, це група парних перестановок чотирьох 3-разових осей: e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243), (12)(34), (13)(24), (14)(23).

Класами спряженості T є:

• тотожність
• 4 × обертання на 120° за годинниковою стрілкою (якщо дивитись від вершини): (234), (143), (412), (321)
• 4 × обертання на 120° проти годинникової стрілки (те саме)
• 3 × обертання на 180°

Обертання на 180° разом з тотожним перетворенням утворюють нормальну підгрупу типу Dih₂ з фактор-групою типу Z₃. Трьома елементами останньої є тотожне перетворення, «обертання за годинниковою стрілкою» і «обертання проти годинникової стрілки», що відповідають перестановкам трьох ортогональних 2-разових осей зі збереженням орієнтації.

A₄ — найменша група, яка показує, що теорема, обернена до теореми Лагранжа, в загальному випадку, хибна — якщо дано скінченну групу G і дільник d числа |G|, не обов'язково існує підгрупа групи G з порядком d — група G = A₄ не має підгрупи порядку 6.

Підгрупи хіральної тетраедричної симетрії

Підгрупи хіральної тетраедричної симетрії

Шенфліс	Коксетер [en]		Орбі- фолд[en]	Г-М[en]	Структура[de]	Цикли	Порядок	Індекс
T	[3,3]+	=	332	23	A4		12	1
D2	[2,2]+	=	222	222	Dih2		4	3
C3	[3]+		33	3	Z3		3	4
C2	[2]+		22	2	Z2		2	6
C1	[ ]+		11	1	Z1		1	12

Хіральна тетраедрична симетрія

Повна тетраедрична група T_d з фундаментальною областю

T_d, *332, [3,3] чи 43m порядку 24 — ахіральна чи повна тетраедрична симетрія, відома також як група трикутника^[en] (2,3,3). Ця група має такі ж осі обертань, що й T, але з шістьма площинами дзеркальної симетрії, які проходять через кожну пару 3-разових осей. 2-разові осі тепер є осями S₄ (4). T_d і O ізоморфні як абстрактні групи — обидві групи відповідають S₄, симетричній групі 4 елементів. T_d є об'єднанням T і множини, отриманої комбінацією кожного елемента O \ T з центральною симетрією. Див. також ізометрії неправильного тетраедра.

Класами спряженості T_d є:

• тотожність
• 8 × обертання на 120 °
• 3 × обертання на 180 °
• 6 × відбиття відносно площини, яка проходить через дві осі обертання
• 6 × дзеркальний поворот на 90°

Підгрупи ахіральної тетраедричної симетрії

Правильний тетраедр — приклад тіла з повною тетраедричною симетрією

Шен- фліс	Коксетер [en]		Орбі- фолд[en]	Г-М[en]	Структура[de]	Цикли	Порядок	Індекс
Td	[3,3]		*332	43m	S4		24	1
C3v	[3]		*33	3m	Dih3=S3		6	4
C2v	[2]		*22	mm2	Dih2		4	6
Cs	[ ]		*	2 or m	Dih1		2	12
D2d	[2+,4]		2*2	42m	Dih4		8	3
S4	[2+,4+]		2×	4	Z4		4	6
T	[3,3]+		332	23	A4		12	2
D2	[2,2]+		222	222	Dih2		4	6
C3	[3]+		33	3	Z3 = A3		3	8
C2	[2]+		22	2	Z2		2	12
C1	[ ]+		11	1	Z1		1	24

Пірітоедрична симетрія

Піритоедрична група T_h з фундаментальною областю

Шви волейбольного м'яча мають піритоедричну симетрію.

T_h, 3*2, [4,3⁺] або m3 порядку 24 — піритоедрична симетрія.^[1] Ця група має ті ж самі осі обертання, що й T з дзеркальними площинами через два ортогональних напрямки. 3-рвзові осі тепер є осями S₆ (3), і є центральна симетрія. T_h ізоморфна T × Z₂ — кожен елемент T_h є або елементом T, або елементом, комбінованим із центральною симетрією. Крім цих двох нормальних підгруп, є ще одна нормальна підгрупа D_2h (прямокутного паралелепіпеда), типу Dih₂ × Z₂ = Z₂ × Z₂ × Z₂. Вона є прямим добутком нормальної підгрупи T (див. вище) з C_i. Фактор-група та ж сама, що й вище — Z₃. Три елементи останньої — тотожне перетворення, "обертання за годинниковою стрілкою"і" обертання проти годинникової стрілки", відповідні перестановкам трьох ортогональних 2-разових осей зі збереженням орієнтації.

Це симетрія куба, в якого кожну грань розділено відрізком на два прямокутники, причому ніякі два відрізки не мають кінців на одному ребрі куба. Симетрії відповідають парним перестановкам діагоналей куба разом з центральною інверсією. Симетрія пентагондодекаедра^[ru] (піритоедра) дуже близька до описаної вище симетрії куба. Пірітоедр можна отримати з куба з розділеними навпіл гранями заміною прямокутників п'ятикутниками з однією віссю симетрії, 4 рівними сторонами; відмінна за довжиною сторона ділить квадратну грань куба навпіл. Тобто грані куба випинаються по відрізку, який їх ділить, а сам відрізок стає меншим. Симетрія куба з розділеними гранями є підгрупою групи повної ікосаедричної симетрії^[en] (як група ізометрії, не просто як абстрактна група) з 4 із 10 3-разових осей.

Класи спряженості T_h включають класи спряженості T з комбінаціями двох класів із 4, а також кожен із класів із центральною симетрією:

• тотожність
• 8 × обертання на 120 °
• 3 × обертання на 180 °
• центральна симетрія
• 8 × дзеркальний поворот на 60 °
• 3 × дзеркальне відбиття (відносно площини)

Підгрупи піритоедричної симетрії

Пірітоедричні підгрупи

Шен- фліс	Коксетер [en]		Орбі- фолд[en]	Г-М[en]	Структура[de]	Цикли	Порядок	Індекс
Th	[3+,4]		3*2	m3	A4×2		24	1
D2h	[2,2]		*222	mmm	Dih2×Dih1		8	3
C2v	[2]		*22	mm2	Dih2		4	6
Cs	[ ]		*	2 or m	Dih1		2	12
C2h	[2+,2]		2*	2/m	Z2×Dih1		4	6
S2	[2+,2+]		×	1	2 or Z2		2	12
T	[3,3]+		332	23	A4		12	2
D3	[2,3]+		322	3	Dih3		6	4
D2	[2,2]+		222	222	Dih4		4	6
C3	[3]+		33	3	Z3		3	8
C2	[2]+		22	2	Z2		2	12
C1	[ ]+		11	1	Z1		1	24

Тіла з хіральною тетраедричною симетрією

Ікосаедр, розфарбований як кирпатий тетраедр, має хіральну симетрію.

Тіла з повною тетраедричною симетрією

Клас	Назва	Малюнок	Граней	Ребер	Вершин
Платонове тіло	Тетраедр		4	6	4
Архімедове тіло	Зрізаний тетраедр		8	18	12
Каталанове тіло	Триакістетраедр		12	18	8
Майже многогранник Джонсона[en]	Зрізаний триакістетраедр[en]		16	42	28
	Тетраедний додекаедр[en]		28	54	28
Однорідний зірчастий многогранник	Тетрагемігексаедр		7	12	6

Див. також

• Октаедрична симетрія^[en]
• Ікосаедрична симетрія^[en]
• Бінарна тетраедрична група^[en]