Тетрагемігексаедр

Тетрагемігексаедр, або гемікубооктаедр, — однорідний зірчастий многогранник, що має номер U₄. Має 6 вершин, 12 ребер, і 7 граней — 4 трикутних і 3 квадратних. Його вершинною фігурою є схрещений чотирикутник. Діаграма Коксетера — Динкіна — (хоча ця діаграма відповідає подвійному покриттю тетрагемігексаедра).

Тетрагемігексаедр
Тип	однорідний зірчастий многогранник
Елемент	граней 7, ребер 12, вершин 6
Ейлерова характеристика	${\displaystyle \chi }$ = 1
Граней за числом сторін	4{3}+ 3{4}
Символ Вітгоффа	2 (подвійне накриття)
Група симетрії	Td, [3,3], *332
Позначення	U04, C36, W67
Двоїстий	тетрагемігексакрон
Вершинна фігура	3.4.3/2.4
Скорочена назва Бауера	Thah

Це єдиний непризматичний однорідний многогранник з непарним числом граней. Його символ Вітгоффа^[en] рівний 3/2 3 | 2, але насправді цей символ відповідає подвійному покриттю тетрагемігексаедра 8 трикутниками і 6 квадратами, які попарно збігаються в просторі. (Це можна розглядати інтуїтивно як два суміщені тетрагемігексаедри.)

Многогранник є гемімногогранником (напівмногогранником^[en]). Префікс «гемі-» означає, що деякі грані утворюють групу вдвічі меншого розміру, ніж відповідний правильний многогранник. У цьому випадку три квадратні грані утворюють групу, що має вдвічі менше граней, ніж правильний гексаедр (шестигранник), відомий як куб, звідси й назва гемігексаедр. Гемі-грані орієнтовані в тому ж напрямку, що й грані правильного многогранника. Три квадратні грані тетрагемігексаедра, як і три орієнтації граней куба, взаємно перпендикулярні.

Характеристика «наполовину менше» також означає, що гемі-грані мають проходити через центр многогранника, де вони всі перетинаються. Візуально, кожен квадрат ділиться на чотири прямокутних трикутники, з яких з кожного боку видно лише два.

Пов'язані поверхні

Багатогранник має неорієнтовану поверхню. Він є унікальним, оскільки з усіх однорідних многогранників тільки він має ейлерову характеристику 1, а тому є проєктивним многогранником^[en], що подає дійсну проєктивну площину, подібно до римської поверхні^[en].

Римська поверхня[en]

Пов'язані многогранники

Багатогранник має ті ж вершини й ребра, що й правильний октаедр. Чотири його трикутні грані збігаються з 4 з 8 трикутних граней октаедра, але додаткові квадратні грані проходять через центр многогранника.

Октаедр

Тетрагемігексаедр

Двоїстим многогранником є тетрагемігексакрон.

Многогранник двічі накритий кубооктаедром^[1], який має ту саму абстрактну вершинну фігуру (2 трикутники і два квадрати: 3.4.3.4) та подвоєне число вершин, ребер і граней. Він має ту саму топологію, що й абстрактний многогранник гемікубооктаедр.

Кубооктаедр

Тетрагемігексаедр

Його можна побудувати як схрещений трикутний куполоїд. Усі куплоїди та двоїсті їм многогранники топологічно є проєктивними площинами^[2].

Сімейство зірчастих куполоїдів

n / d	3	5	7
2	Перехрещений трикутний куполоїд {3/2}	Пентаграмний куполоїд(інші мови) {5/2}	Гептаграмний куполоїд {7/2}
4	—	Перехрещений пентаграмний куполоїд(інші мови) {5/4}	Перехрещений гептаграмний куполоїд {7/4}

Тетрагемігексакрон

Тетрагемігексакрон
Тип	зірчастий многогранник
Елемент	граней 6, ребер 12, вершин 7
Ейлерова характеристика	${\displaystyle \chi }$ = 1
Група симетрії	Td, [3,3], *332
Позначення	DU04
Двоїстий	тетрагемігексаедр

Тетрагемігексакрон є двоїстим для тетрагемігексаедра і одним з дев'яти двоїстих гемімногогранників^[en].

Оскільки гемімногогранники мають грані, що проходять через центр, двоїсті фігури мають відповідні вершини в нескінченності. Строго кажучи, в нескінченній точці дійсної проєктивної площини^[3]. У книзі Маґнуса Веннинґера Dual Models їх напедено як перетинні призми, кожна з яких йде в нескінченність в обох напрямках. На практиці моделі призм обрізають у деякій точці, зручній для творця моделі. Веннінґер запропонував вважати ці фігури членами нового класу зірчастих фігур, які назвав зірчасті до нескінченності. Однак він також додав, що, строго кажучи, вони не є многогранниками, оскільки не задовольняють звичним визначенням.

Вважають, що топологічно многогранник містить 7 вершин. Три вершини вважають такими, що лежать у нескінченності (дійсної проєктивної площини) і відповідають безпосередньо трьом вершинам геміоктаедра^[en], абстрактного многогранника. Інші чотири вершини є кутами альтернованого центрального куба (напівкуба^[en], в нашому випадку тетраедра).