Топ питань
Часова шкала
Чат
Перспективи

Купол (геометрія)

тіло, утворене з двох багатокутників, у якому один має вдвічі більше сторін, ніж інший, з'єднаних рівнобедреними трикутниками і прямокутник З Вікіпедії, вільної енциклопедії

Купол (геометрія)
Remove ads

Ку́пол (n-схилий купол) — тіло, утворене з'єднанням двох багатокутників, у якому один (основа) має вдвічі більше сторін, порівняно з іншим (верхньою гранню). З'єднання багатокутників здійснюється рівнобедреними трикутниками і прямокутниками.

Більше інформації ...

n-схилий купол призматоїд, що складається з 2n-кутника (нижня основа купола), правильного n-кутника (верхня грань, що паралельна основі), та бічних граней: n прямокутників та n рівнобедрених трикутників. При чому нижня грань може бути правильним 2n-кутником, або напівправильним 2n-кутником[1], у якого сторони рівні через одну і всі кути рівні.

Купол можна розглядати як призму, де один з багатокутників наполовину стягнуто попарним об'єднанням вершин.

Куполу можна приписати розширений символ Шлефлі {n} || t{n}, що описує правильний багатокутник {n}, з'єднаний з паралельною йому зрізаною копією, t{n} або {2n}.

Куполи є підкласом призматоїдів.

Його двоїстий многогранник має форму, яка є свого роду поєднанням половини n-стороннього трапецоедра та 2n-гранної піраміди.

Купол має вісь симетрії порядку n, що проходить через центри основ, а також n площин дзеркальної симетрії, що проходять через вісь купола та середини сторін нижньої основи.

Два купола можуть бути з'єднані по їх нижній основі, утворюючи многогранник бікупол[en].

Куполи і бікуполи існують як нескінченні множини многогранників, так само, як множини пірамід, біпірамід, призм, антипризм, трапецоедрів та ін.

Remove ads

Приклади

Узагальнити
Перспектива
Більше інформації n, Назва ...

Трикутну призму можна вважати «двосхилим куполом» (купол відрізка і квадрата). Якщо бокові грані купола є правильними трикутниками та квадратами, тоді як основа і верхня грань є правильними багатокутниками, купол є многогранником Джонсона. Ці куполи: трисхилий купол, чотирисхилий і п'ятисхилий[en], можна отримати, взявши зрізи кубооктаедра, ромбокубооктаедра і ромбоікосододекаедра відповідно.

Thumb
Плоскі «шестикутні куполи» в ромботришестикутній мозаїці[en]

Якщо купол має всі ребра одинакової довжини (правильногранний) ‒ n = 3, 4, 5, то: Висота купола:

Радіус описаної сфери:

Рівносторонній «Шестисхилий купол» є плоскою фігурою. Таким чином, сімейство куполів з правильними гранями існує до n = 5 включно.

Куполи з числом сторін багатокутників n > 5 можна побудувати тільки з неправильними трикутними і прямокутними гранями.

Remove ads

Координати вершин

Узагальнити
Перспектива

Визначення купола не вимагає правильності основи і верхньої грані, але зручно розглядати випадки, в яких куполи мають максимальну симетрію, Cnv. В цьому випадку верхня грань є правильним n-кутником, тоді як основа є правильним 2n-кутником, або 2n-кутником з двома різними довжинами сторін (через одну) і тими ж кутами, що й у правильного 2n- кутника.

Розташуємо купол у координатній системі так, щоб його основа лежала в площині Oxy з центром в початку координат, а верхня грань проходила паралельно цій площині на висоті h. Вісь Oz є віссю симетрії порядку n. Пронумеруємо вершини основи числами від V1 до V2n, а вершини верхньої грані — числами від A1 до An.

Thumb
Семисхилий купол. Має 7 рівнобедрених трикутників та 7 прямокутників, Верхня грань — правильний 7-кутник і нижня грань (основа) привильний 14-кутник.

Координати вершин[2] тоді можна записати таким чином:

де k = 1, 2, …, n.

‒ радіус описаного кола верхнього багатокутника (правильного n ‒ кутника)

‒ радіус описаного кола нижнього багатокутника (правильного 2n ‒ кутника)

‒ довжина ребра багатокутників верхньої та нижньої основ.

h ‒ висота купола

Координати вершин купола, повернутого на деякий кут   навноло його осі (осі z):

де k = 1, 2, …, n.

Remove ads

Антикуполи

Узагальнити
Перспектива
Більше інформації ...

Антику́пол (nкутний антикупол) — тіло, що складається з правильного 2n-кутника (основа антикупола), правильного n-кутника (верхня грань, що паралельна основі), та 3n трикутників двох типів (n рівнобедрених трикутників та 2n різносторонніх трикутників).

При n = 2, верхня грань вироджується в ребро. Антикуполи є підкласом призматоїдів.

Антикупол має вісь симетрії порядку n, що проходить через центри основ та перпендикулярна їм, а також n площин дзеркальної симетрії, що проходять через вісь многогранника та вершини нижньої основи.

Не можна побудувати n-кутний антикупол, щоб всі його грані були правильними багатокутниками; лише деякі грані можуть бути зроблені правильними.

Більше інформації n, 6… ...

Координати вершин антикупола

Узагальнити
Перспектива

Координати вершин n ‒ антикупола можемо отримати з координат вершин n ‒ купола шляхом повороту верхнього n ‒ кутника на кут

Розташуємо антикупол у координатній системі так, щоб його основа лежала в площині Oxy з центром в початку координат, а верхня грань проходила паралельно цій площині на висоті h. Вісь Oz є віссю симетрії порядку n. Пронумеруємо вершини основи числами від V1 до V2n, а вершини верхньої грані — числами від A1 до An.

Thumb
Семисхилий антикупол. Має 7 рівнобедрених трикутників та 14 різносторонніх трикутників, Верхня грань — правильний 7-кутник і нижня грань (основа) привильний 14-кутник.

Координати вершин[2] тоді можна записати таким чином:

Поворот n — кутника відбувається по- або проти годинникової стрілки (відповідно знаки «‒» або «+»)

де k = 1, 2, …, n.

‒ радіус описаного кола верхнього багатокутника (правильного n ‒ кутника)

‒ радіус описаного кола нижнього багатокутника (правильного 2n ‒ кутника)

‒ довжина ребра багатокутників верхньої та нижньої основ.

h ‒ висота антикупола.

Два антикупола можуть бути з'єднані по їх нижній основі, та утворюють многогранник біантикупол.

Антикуполи і біантикуполи існують як нескінченні множини многогранників, так само, як множини пірамід, біпірамід, призм , антипризм , трапецоедрів та ін.

Remove ads

Зірчасті куполи

Узагальнити
Перспектива
Більше інформації n / d ...
Більше інформації n / d ...

Зірчасті куполи існують для всіх основ {n/d}, де 6/5 < n/d < 6 і d непарне. На границях куполи перетворюються на плоскі фігури. Якщо d парне, нижня основа {2n/d} вироджується — ми можемо утворити куполоїд або напівукупол шляхом видалення цієї виродженої грані і дозволивши трикутникам і квадратам з'єднуватися один з одним. Зокрема, тетрагемігексаедр можна розглядати як {3/2}-куполоїд. Усі куполи орієнтовані, тоді як всі куполоїди неорієнтовані. Якщо в куполоїда n/d > 2, трикутники і квадрати не покривають всю основу і на ній залишається тоненька перетинка, яка просто закриває отвір. Таким чином, куполоїди {5/2} і {7/2} на малюнку вище мають перетинки (не заповнені), тоді як куполоїди {5/4} і {7/4} їх не мають.

Висота h купола {n/d} або куполоїда задається формулою

.

Зокрема, h = 0 на границях n/d = 6 та n/d = 6/5, і h максимальне при n/d = 2 (трикутна призма, де трикутники розташовані вертикально)[3][4].

На малюнках вище зірчасті куполи показано в кольорах, щоб підкреслити їх грані — грань n/d-кутника показано червоним, грань 2n/d-кутника показано жовтим, квадрати подано синім кольором, а трикутники — зеленим. Куполоїди мають червоні n/d-кутні грані, жовті квадратні грані, а трикутні грані пофарбовано в блакитний колір, другу ж основу видалено.

Remove ads

Гіперкуполи

Узагальнити
Перспектива

Гіперкуполи або многогранні куполи — це сімейство опуклих неоднорідних чотиривимірних многогранників, аналогічних куполам. Основами кожного такого многогранника є правильний многогранник (тривимірний) і його розтягнення [5].

В таблиці використовується поняття сегментогранник (англ. Segmentochora) — це фігура, що задовольняє таким властивостям:

1. всі вершини розташовані на одній гіперсфері
2. всі вершини розташовані на двох паралельних гіперплощинах
3. всі ребра мають довжину 1

У площині існує два сегментогранники (сегментокутники) — правильний трикутник і квадрат.

У 3-вимірному просторі до них належать піраміди, призми, антипризми, куполи.

Більше інформації , ...
Remove ads

Примітки

Література

Посилання

Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads