Триакісоктаедр

Триакісокта́едр (від дав.-гр. τριάχις — «тричі», οκτώ — «вісім» і ἕδρα — «грань»), також званий триго́н-триокта́едром, — напівправильний многогранник (каталанове тіло), двоїстий зрізаному кубу. Складений із 24 однакових тупокутних рівнобедрених трикутників, у яких один із кутів дорівнює ${\displaystyle \arccos \,{\frac {1-2{\sqrt {2}}}{4}}\approx 117{,}20^{\circ },}$ а два інші по ${\displaystyle \arccos \,{\frac {2+{\sqrt {2}}}{4}}\approx 31{,}40^{\circ }.}$

Триакісоктаедр
Тип	каталанове тіло
Граней	24
Ребер	36
Вершин	14 8(33) 6(38)
Діаграма Коксетера
Група симетрії	Oh (октаедрична), B3, [4,3], (*432)
Група обертань	O, [4,3]+, (432)
Площа поверхні	${\displaystyle 3{\sqrt {7+4{\sqrt {2}}}}\;a^{2}\approx 10{,}6729419a^{2}}$
Об'єм	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(3+2{\sqrt {2}}\right)a^{3}\approx 2{,}9142136a^{3}}$
Двогранний кут (градуси)	147°21′00″ arccos(−3 + 8√2/17)
Дуальний многогранник	зрізаний куб
Конфігурація граней	V3.8.8 рівнобедрені трикутники:
опуклий, ізоедральний
Розгортка

Має 14 вершин; у 6 вершинах (розташованих так само, як вершини октаедра) сходяться своїми гострими кутами по 8 граней, у 8 вершинах (розташованих так само, як вершини куба) сходяться тупими кутами по 3 грані.

У триакісоктаедра 36 ребер — 12 «довгих» (розташованих так само, як ребра октаедра) і 24 «коротких» (разом утворюють фігуру, ізоморфну — але не ідентичну — кістяку ромбододекаедра). Двогранні кути при будь-якому ребрі однакові і дорівнюють ${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {3+8{\sqrt {2}}}{17}}\right)\approx 147{,}35^{\circ }.}$

Триакісоктаедр можна отримати з октаедра, приклавши до кожної його грані правильну трикутну піраміду з основою, що дорівнює грані октаедра, і висотою, яка в ${\displaystyle 3{\sqrt {3}}+2{\sqrt {6}}\approx 10{,}10}$ разів менша від сторони основи. При цьому отриманий многогранник матиме по 3 грані замість кожної з 8 граней початкового — що й пояснює його назву.

Триакісоктаедр — одне з шести каталанових тіл, у яких немає гамільтонового циклу^[1]; гамільтонового шляху для всіх шести також немає.

Метричні характеристики

Якщо «короткі» ребра триакісоктаедра мають довжину ${\displaystyle a}$, то його «довгі» ребра мають довжину. ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(2+{\sqrt {2}}\right)a\approx 1{,}71a,}$ а площа поверхні та об'єм виражаються як

${\displaystyle S=3{\sqrt {7+4{\sqrt {2}}}}\;a^{2}\approx 10{,}6729419a^{2},}$

${\displaystyle V={\frac {1}{2}}\left(3+2{\sqrt {2}}\right)a^{3}\approx 2{,}9142136a^{3}.}$

Радіус вписаної сфери (що дотикається до всіх граней многогранника в їхніх інцентрах) при цьому дорівнюватиме

${\displaystyle r={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {23+16{\sqrt {2}}}{17}}}\;a\approx 0{,}8191407a,}$

радіус напіввписаної сфери (що дотикається до всіх ребер)

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{4}}\left(2+{\sqrt {2}}\right)a\approx 0{,}8535534a.}$

Описати навколо триакісоктаедра сферу — так, щоб вона проходила через усі вершини, — неможливо.

Примітні властивості

Триакісоктаедр ізоморфний зірчастому октаедру; це означає, що між гранями, ребрами і вершинами двох цих многогранників можна встановити взаємно однозначну відповідність так, що відповідні ребра з'єднують відповідні вершини і т. д. Інакше кажучи, якби «шарнірно з'єднані» між собою грані та ребра многогранника можна було стискати й розтягувати (але не згинати), триакісоксаедр удалося перетворити на зірчастий октаедр, і навпаки.