拟谱最佳控制

拟谱最佳控制（Pseudospectral optimal control）是一种求解最优控制问题的方式^[1][2][3][4]，结合了拟谱法的数值方法以及最优控制的理论。拟谱最佳控制已用在军事及工业应用的飞行系统中^[1][5]，此技术也广泛的用在导弹导引、机械手臂控制、振动阻尼等问题中^[5][6]。

简介

最佳控制的求解法中，有许多的方法都属于拟谱最佳控制的范围，例如勒壤得拟谱法、切比雪夫拟谱法、高斯拟谱法（英语：Gauss pseudospectral method）、Ross–Fahroo拟谱法、贝尔曼拟谱法及平坦拟谱法等^[1][3]。

要求解最佳控制问题，需要将三种数学工具进行近似：成本函数的积分、控制系统的微分方程、以及状态控制的限制条件^[3]，理想的近似要在上述三种数学工具上可以有效率的近似。有些工具可以适用于其中的一种（例如高效的ODE求解器），但无法适用于其他二种数学工具上，而拟谱法可以适用于这三种数学工具的近似，适合应用在最佳控制问题上^[7][8][9]。使用拟谱法时，连续函数会用适当选择的分割格点来近似。分割格点会由近似用的对应正交多项式基底函数来决定。在拟谱最佳控制中，常用勒让德多项式及切比雪夫多项式。在数学上，利用分割格点可以只用几个点达到高精度。例如在Legendre–Gauss–Lobatto格点下，针对光滑函数(C^{${\displaystyle \infty }$})的拉格朗日插值法可以以谱率（spectral rate）为L²的方式收敛，比任何多项式的收敛速率都快^[8]。

细节

最佳控制的基本拟谱法是以伴随向量映射原理为基础^[2]，其他的技巧，例如贝尔曼拟谱法，是用初始时间的网格密集（node-clustering）来进行最佳控制。网格密集会出现在所有的高斯点上^[7][10][11]。

而且，拟谱最佳控制的结构会考虑使运算高效进行的方式，例如ad-hoc缩放^[12]及雅可比计算法，例如已有研究者将二元数理论^[13]用在拟谱最佳控制上^[14]。

在拟谱最佳控制中，积分会用分割的方式来近似，设法得到最理想的数值积分结果。例如，若只有N个格点，Legendre-Gauss分割积分在${\displaystyle 2N-1}$次或以下的多项式，都可以有完全精确的结果。在最佳控制问题中，用拟谱法离散微分方程时，会用简单而高精度的微分矩阵来计算导数。因为拟谱法强迫系统在选定的格点上计算结果，状态控制的限制条件也会直接离散化，这些数学上的优点使拟谱法成为求解连续最佳控制问题的直接离散化工具。

相关条目

• 贝尔曼拟谱法
• 切比雪夫拟谱法
• 伴随向量映射原理
• 平坦拟谱法
• 高斯拟谱法（英语：Gauss pseudospectral method）
• 勒壤得拟谱法
• 拟谱knotting法
• Ross–Fahroo引理
• Ross–Fahroo拟谱法
• 罗斯π引理