立方体堆砌

立方体堆砌（Cubic Honeycomb）^[2]是三维空间内唯一的正密铺，也是28个半正密铺之一，由立方体堆砌而成，其缩写为chon^[3]。它亦可被看作是四维空间中由无穷多个立方体胞组成的二胞角为180°的四维正无穷胞体，因此在许多情况下它被算作是四维的多胞体。

提示：此条目的主题不是立方体堆叠。

立方体堆砌 立方蜂巢体
线架图
类型	正堆砌
家族	立方形堆砌
维度	3
对偶多胞形	立方体堆砌（自身对偶）
类比	正方形镶嵌
识别
名称	立方体堆砌
参考索引[1]	J11,15, A1 W1, G22
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	chon
数学表示法
考克斯特符号 （英语：Coxeter-Dynkin diagram）
考克斯特记号 （英语：Coxeter notation）	[4,3,4]
纤维流形记号	4−:2
施莱夫利符号	{4,3,4}
性质
胞	{4,3} 棱处相交胞：4×{4,3} 顶点处相交胞：8×{4,3}
面	{4} 棱处相交面：4×{4} 顶点处相交面：12×{4}
边	∞ 顶点处相交棱：6
欧拉示性数	0
组成与布局
顶点图	（正八面体）
对称性
对称群	${\displaystyle {\tilde {C}}_{4}}$
空间群	Pm3m
考克斯特群	${\displaystyle {\tilde {C}}_{3}}$, [4,3,4]
特性
顶点正（英语：vertex-transitive）

立方形家族里的多胞形二胞角总是90°，因此总能独自完成超平面密铺，这些密铺又构成了另一家族“立方形堆砌”，具有${\displaystyle {\tilde {C}}_{n}}$对称性，有施莱夫利符号形式{4,3,……,3,4}。

性质

立方体堆砌由立方体填满空间组成，每个顶点都是8个立方体的公共顶点、每条棱都是4个立方体的公共棱。

顶点坐标

简单立方。

立方体堆砌顶点的笛卡尔坐标为：

(i, j, k)

对所有的i,j,k皆为立方体边长的整数倍

因此边长为1立方体堆砌也可以视为空间中的坐标网格。

由于立方体堆砌是一个自身对偶多胞形，因此其几何中心位置同样可以构成另一个立方体堆砌，因此其几何中心坐标也同样满足上述式子，而i,j,k值则为相邻立方体几何中心距离的整数倍。

正交投影

正交投影

对称性	p6m (*632)	p4m (*442)	pmm (*2222)
实体图
框线图

相关堆砌

立方体堆砌是平面正方形镶嵌{4,4}在三维空间的类比，他们的形式皆为{4,3,...,3,4}，为立方形堆砌家族的一部分，在这个系列的镶嵌都是自身对偶。他也是28种由凸均匀多面体组成的均匀镶嵌之一。

自然界中的立方体堆砌

氯化钠(NaCl)的晶体结构：面心立方晶格。

作为少有的三维半正堆砌，自然界中许多晶体都具有类似立方体堆砌的晶体结构，在固体物理学中被称为“立方晶系”，许多固体化合物，如氯化钠、硫化锌、氯化亚铜、萤石、三氧化铼和金属单质，如铝、钒、锂等，都具有这种晶系的结构。

简单立方晶格

简单立方晶格可以被扭曲成较低的对称性，通过较低的晶系代表：

晶系	单斜 三斜	正交	四方	三方	立方
胞 单位晶格	平行六面体	长方体		三方 偏方面体	正方体
点群 阶 旋转对称群	[ ], (*) Order 2 [ ]+, (1)	[2,2], (*222) Order 8 [2,2]+, (222)	[4,2], (*422) Order 16 [4,2]+, (422)	[3], (*33) Order 6 [3]+, (33)	[4,3], (*432) Order 48 [4,3]+, (432)
图示
空间群 旋转对称群	Pm (6) P1 (1)	Pmmm (47) P222 (16)	P4/mmm (123) P422 (89)	R3m (160) R3 (146)	Pm3m (221) P432 (207)
考克斯特式	-	[∞]a×[∞]b×[∞]c	[4,4]a×[∞]c	-	[4,3,4]a
考克斯特符号（英语：Coxeter diagram）	-			-

表面着色

作为立方形堆砌家族其中一员，立方体堆砌有${\displaystyle {\tilde {C}}_{4}}$对称性，有施莱夫利符号{4,3,4}，考克斯特符号，除此之外，作为一个空间堆砌，它有Pm3m空间平移对称性。

而然，立方体堆砌亦可以被看作是许多具有不同对称性的半正堆砌，它们所对应的对称性、施莱夫利符号、考克斯特符号见下表：

名称	考克斯特标记 空间群	考克斯特—迪肯符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram）	施莱夫利符号	有限部 分图像	颜色组合 （字母表示）
立方体堆砌	[4,3,4] Pm3m		{4,3,4}		1: aaaa/aaaa
三次截半半 立方体堆砌	[4,31,1] Fm3m		{4,31,1}		2: abba/baab
截面立方体 堆砌	[4,3,4] Pm3m		t0,3{4,3,4}		4: abbc/bccd
	[[4,3,4]] Pm3m (229)		t0,3{4,3,4}		4: abbb/bbba
正四棱柱 堆砌	[4,3,4,2,∞]		{4,4}×t{∞}		2: aaaa/bbbb
截棱正四棱柱 堆砌	[4,3,4,2,∞]		t1{4,4}×{∞}		2: abba/abba
无穷次无穷次 无穷边形	[∞,2,∞,2,∞]		t{∞}×t{∞}×{∞}		4: abcd/abcd
无穷次无穷次 无穷边形	[∞,2,∞,2,∞]		t{∞}×t{∞}×t{∞}		8: abcd/efgh

相关多面体和镶嵌

立方体堆砌与四维超正方体施莱夫利符号{4,3,3}相似，但超正方体只存在四维空间，且每个边的周为只有三个正方体而立方体堆砌有四个。此外，也可以有每个边的周为有五个正方体，他称为五阶立方体堆砌，存在于双曲空间，施莱夫利符号为{4,3,5}。

{p,3,4}

空间	S3	E3	H3（英语：雙曲空間）
来源	有限	仿射	紧凑	仿紧	非紧
施式	{3,3,4}	{4,3,4}	{5,3,4}（英语：order-4 dodecahedral honeycomb）	{6,3,4}（英语：order-4 hexagonal tiling honeycomb）	{7,3,4}	{8,3,4}	... {∞,3,4}
图像
胞	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

考克斯特群[4,3,4]、产生15个排列均匀的镶嵌中，9个具有独特的的几何形状，包括交替立方体堆砌、扩展立方堆砌是几何上相同的立方体堆砌。

空间群	纤维流形	扩展 对称群	扩展 标记	阶	蜂巢体 （堆砌）
Pm3m (221)	4−:2	[4,3,4]		×1	1, 2, 3, 4, 5, 6
Fm3m (225)	2−:2	[1+,4,3,4] ↔ [4,31,1]	↔	Half	7, 11, 12, 13
I43m (217)	4o:2	[[(4,3,4,2+)]]		Half × 2	(7),
Fd3m (227)	2+:2	[[1+,4,3,4,1+]] ↔ [[3[4]]]	↔	Quarter × 2	10,
Im3m (229)	8o:2	[[4,3,4]]		×2	(1), 8, 9

考克斯特群[4,3^1,1], , 考克斯特群产生 9个排列均匀的镶嵌中，其中4个具有独特的的几何形状，包括交替立方体堆砌。

空间群	纤维流形	扩展 对称群	扩展 标记	阶	蜂巢体 （堆砌）
Fm3m (225)	2−:2	[4,31,1] ↔ [4,3,4,1+]	↔	×1	1, 2, 3, 4
Fm3m (225)	2−:2	<[1+,4,31,1]> ↔ <[3[4]]>	↔	×2	(1), (3)
Pm3m (221)	4−:2	<[4,31,1]>		×2	5, 6, 7, (6), 9, 10, 11

立方体堆砌是${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$考克斯特群中的五个结构特别的均匀堆砌^[4]之一，其对称性可以乘以环在考克斯特-迪肯符号的对称性：

空间群	纤维流形	方形 对称群	扩展 对称群	扩展 标记	扩展 阶	蜂巢体 （堆砌）
F43m (216)	1o:2	a1	[3[4]]		×1	(None)
Fd3m (227)	2+:2	p2	[[3[4]]]	↔	×2	3
Fm3m (225)	2−:2	d2	<[3[4]]> ↔ [4,3,31,1]	↔	×2	1, 2
Pm3m (221)	4−:2	d4	[2[3[4]]] ↔ [4,3,4]	↔	×4	4
Im3m (229)	8o:2	r8	[4[3[4]]] ↔ [[4,3,4]]	↔	×8	5,  (*)