Matrico

Matrico estas ortangula tabelo kun datenoj nomataj elementoj aŭ koeficientoj.

Ĉi tiu artikolo temas pri matematika objekto. Koncerne aliajn signifojn aliru la apartigilon Matrico (apartigilo).

Difinita sur aro da matricoj, algebra strukturo ebligas fari algebrajn operaciojn per matricoj. Plej ofte, koeficientoj de matrico estas elementoj de ia kampo aŭ alispeca ringo, sed ĝenerale sufiĉas duonringo aŭ eĉ pli ĝenerala tipo de algebra strukturo, kies elementojn eblas adicii kaj multipliki.

Matricoj estas uzataj por priskribi sistemojn de linearaj ekvacioj kaj linearajn transformojn.

Aroteoria difino

Matrico ${\displaystyle \mathbf {A} }$ de tipo ${\displaystyle m\times n}$, por ${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }$ estas funkcio

${\displaystyle \mathbf {A} \colon \{1,2,\dots ,m\}\times \{1,2,\dots ,n\}\to X}$,

kie ${\displaystyle X}$ estas iu ajn ne malplena aro. Argumentaro ${\displaystyle \{1,2,\dots ,m\}\times \{1,2,\dots ,n\}}$ estas kartezia produto de aroj ${\displaystyle \{1,2,\dots ,m\}}$ kaj ${\displaystyle \{1,2,\dots ,n\}}$.

Pri matrico ${\displaystyle \mathbf {A} }$ oni diras, ke estas difinita sur aro ${\displaystyle X\,}$.

Se R estas Ringo, (n,p)-Matrico super R estas ortangula skemo de n·p elementoj de R, skribebla

${\displaystyle R={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1p}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2p}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{np}\end{bmatrix}}}$

Oni ankaŭ povas vidi matricon kiel bildigo de indeksita aro I×J al R (kie I = {1, ... p}, J = {1,...n} aŭ inverse), aŭ kiel p-opo de n-opo (aŭ inverse) de elementoj el R.

La aro da ĉiuj (n,p)-matricoj estas modulo super R (aŭ vektora spaco, se R estas kampo.)

Terminologio

Kolumnoj de matrico

Linioj de matrico

Unuopaj valoroj de funkcio nomiĝas elementoj de matrico. La aro de elementoj de matrico orditaj horizontale estas nomita linio (aŭ verso) de la matrico, kaj la aro de elementoj de matrico orditaj vertikale estas nomita kolumno de la matrico. Matrico kun ${\displaystyle m}$ linioj kaj ${\displaystyle n}$ kolumnoj nomiĝas ${\displaystyle m\times n}$-matrico.

Elementoj de matrico difiniĝas per orda duopo de nombroj, kiu nomiĝas montrilojn aŭ indeksojn. La unua nombro de elemento montras ĝian linion kaj la dua ĝian kolumnon. Alivorte elemento, kiu lokiĝas en la kruciĝo de la ${\displaystyle i}$-a linio kaj de la ${\displaystyle j}$-a kolumno, estas la ${\displaystyle (i,j)}$ elemento.

Se unu el dimensioj de matrico egalas unu, ĝi ofte nomiĝas vektoro. Matrico de tipo ${\displaystyle m\times 1}$ (unu kolumno kaj ${\displaystyle m}$ versoj) nomiĝas kolumna vektoro, kaj matrico de tipo ${\displaystyle 1\times n}$ (unu linio kaj ${\displaystyle n}$ kolumnoj) nomiĝas linia vektoro.

Ekzemploj

Matrico

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}9&8&6\\1&2&7\\4&9&2\\6&0&5\end{bmatrix}}}$

estas tipo ${\displaystyle 4\times 3}$. Laŭ aroteoria difino, tiu matrico estas funkcio ${\displaystyle \mathbf {A} \colon \{1,2,3,4\}\times \{1,2,3\}\to \mathbb {R} }$

Elemento je indeksoj 2, 3 estas ${\displaystyle 7\,}$ alivorte ${\displaystyle \mathbf {A} ((2,3))=7}$. Tria linio havas elementojn ${\displaystyle \mathbf {4} ,9,2}$.

Matrico

${\displaystyle \mathbf {R} ={\begin{bmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8&9\end{bmatrix}}}$

estas ${\displaystyle 1\times 9}$ -matrico aŭ 9-elementa linia vektoro.

Simboloj por matricoj

Estas diversaj skribmanieroj por matricoj - kutime oni uzas rondajn krampojn ^[1] aŭ kvadrata, malofte ^[2] skribmaniero en du vertikalaj strekoj ekz.:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1&-1\\0&0&-1\end{pmatrix}},\qquad {\begin{bmatrix}0&1&-1\\0&0&-1\end{bmatrix}},\qquad {\begin{Vmatrix}0&1&-1\\0&0&-1\end{Vmatrix}}.}$

Matricoj preskaŭ ĉiam estas skribata per granda litero ekz.: ${\displaystyle \mathbf {A} }$. Por indiki tipo de matrico uzas signojn sub simbolo de matrico, ekz.:${\displaystyle {\underset {m\times n}{\mathbf {A} }}}$.

Por indiki elementoj de matrico oni uzas sama litero kiel por matrico sed nur malgranda kun du subaj indeksoj ^[3] ekz.: ${\displaystyle (i,j)\,}$-elemento de matrico ${\displaystyle \mathbf {A} }$ oni skribas kutime kiel ${\displaystyle a_{i,j}\,}$, foje ankaŭ ${\displaystyle \mathbf {A} [i,j]}$ aŭ ${\displaystyle \mathbf {A} _{i,j}}$

Por indiki linio aŭ kolumno de matrico ${\displaystyle \mathbf {A} }$ oni uzas ${\displaystyle \mathbf {A} _{i}}$ (kun indiko ĉu temas pri linio ĉu kolumno).

Multaj aŭtoroj por signi matricojn uzas specialan stilo de tipografo, plej ofte dika (ne kursiva) por ke distingi ilin disde ceteraj variabloj. Laŭ ĉi tiu ${\displaystyle \mathbf {A} }$ estas matrico kaj ${\displaystyle A}$ estas skalaro.

Por difini matrico de tipo ${\displaystyle m\times n}$, ofte oni skribas ${\displaystyle \mathbf {A}$ :=(a_{i,j})_{i=1,\dots ,m;\;j=1,\dots ,n}} lub ${\displaystyle \mathbf {A}$ :=(a_{i,j})_{m\times n}} . Laŭ tiu indeksoj ${\displaystyle a_{i,j}\,}$ estas difinata sendepende por ĉiuj entjeroj ${\displaystyle 1\leqslant i\leqslant m}$ kaj ${\displaystyle 1\leqslant j\leqslant m}$ ^[4].

Aro de ĉiuj ${\displaystyle m\times n}$-matricoj super aro ${\displaystyle X\,}$ oni skribas per simbolo ${\displaystyle X^{m\times n}}$, ${\displaystyle X_{m}^{n}}$ aŭ ${\displaystyle M_{m,n}(X)\,}$.