Numerus transcendens

Numerus transcendens^[1] vel transcendentalis^[1] est numerus realis vel complexus, qui algebraicus non est.

Systemata Numerica Mathematicae

Numeri Elementarii
Naturales ${\displaystyle \mathbb {N} }$ {0,1,2,3,...} sive {1,2,3,...} Primi ${\displaystyle \mathbb {P} }$ {2,3,5,7,11,...} Abundantes Amicabiles Compositi Defectivi Perfecti Sociabiles Integri ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ {...,-2,-1,0,+1,+2,...} Pares {...,-2,0,+2,...} Impares {...,-3,-1,+1,+3,...} Rationales ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ Reales ${\displaystyle \mathbb {R} }$ Irrationales Numerus pi ${\displaystyle \pi =3.14159265358979\ldots }$ Numerus Euleri ${\displaystyle e=2.718281828459045\ldots }$ Complexi ℂ Algebraici Transcendentes Numerus imaginarius ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$ Quaterni ${\displaystyle \mathbb {H} }$ Octoni ${\displaystyle \mathbb {O} }$ Infinitas ${\displaystyle \infty }$
Variae radices
Radix binaria(2) Radix octalis(8) Radix decimalis(10) Radix sedecimalis(16)

Sit ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ numerus transcendens. Tunc nullus est ${\displaystyle n\in \mathbb {N} \setminus \lbrace 0\rbrace }$ et nulli sunt ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Q} \ (0\leq i\leq n-1)}$, ut ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}{a_{i}\cdot x^{i}}+x^{n}=0}$ sit.

Confirmatum est certos numeros transcendentes esse posse per argumenta anno millesimo octingentesimo quadragesimo quarto ab Iosepho Liouville proposita, qui genus numerorum transcendentium (Liouville numeri) construxit; inter hos Liouville constans invenitur:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }10^{-k!}=0,110001000000000000000001000\ldots }$

Exempla notarum quantitatum transcendentium:

• Numeri π et e et omnes numeri eis multiplicati sunt transcendentes (ad demonstrationem videndam).

Functio transcendentalis definitur ut functio quae non sit algebraica; functio algebraica est polynomium vel ratio polynomiorum vel alia functio ex potestatibus rationalibus facta. Functiones exponentialis, logarithmica, trigonometricae, hyperbolicae et gamma exempla sunt functionum transcendentium.

Si ${\displaystyle f(x)}$ est functio algebraica, et x est numerus algebraicus, tunc valor ${\displaystyle y=f(x)}$ numerus quoque algebraicus erit. Si vero x est numerus transcendentalis, ${\displaystyle f(x)}$ potest etiam transcendentalis esse.

Attamen, si ${\displaystyle f(x)}$ est functio transcendentalis, ${\displaystyle y=f(x)}$ potest numerus transcendentalis vel numerus algebraicus esse. Exempli gratia, ${\displaystyle \sin(\pi )=1}$ (x est numerus transcendentalis, y numerus algebraicus), et ${\displaystyle \sin(1)\approx 0.8414709848}$ (x est numerus algebraicus, y numerus transcendentalis).

Praeterea, omnes numeri transcendentes sunt irrationales, sed non omnes numeri irrationales sunt transcendentes. Numeri irrationales algebraici ex aequationibus polynomialibus cum coefficientibus rationalibus oriri possunt, sicut numerus ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, qui radix aequationis ${\displaystyle x^{2}-2=0}$ est, sed numeri transcendentes eiusmodi vinculis non tenentur.