Loading AI tools
stała matematyczna Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Stała Eulera, stała Eulera-Mascheroniego (γ) – stała matematyczna wynosząca około 0,5772156649.
Stałą po raz pierwszy zapisał szwajcarski matematyk Leonhard Euler w dziele zatytułowanym De Progressionibus harmonicis Observationes. Oznaczał ją za pomocą C i O. W 1790 r. włoski matematyk Lorenzo Mascheroni używał liter A i a. Znak nie pojawia się w pismach Eulera ani Mascheroniego i został użyty później ze względu na związek stałej Eulera z funkcją gamma. Na przykład niemiecki matematyk Carl Anton Bretschneider używał symbolu γ w 1835 roku[1].
Stała Eulera pojawia się w analizie matematycznej jako granica ciągu
gdzie oznacza odpowiednią liczbę harmoniczną.
Inaczej można ją zdefiniować za pomocą funkcji ζ Riemanna:
lub za pomocą następującej całki:
Występuje też jako wartość wielu innych całek oznaczonych.
Średnia wartość części ułamkowych z dzielenia liczby naturalnej N przez kolejne liczby mniejsze od N (albo kolejne liczby pierwsze mniejsze od N) dąży do wartości przy wzroście N[2].
Stała Eulera bardzo często pojawia się w teorii liczb np. przy asymptotycznych oszacowaniach niektórych funkcji arytmetycznych (twierdzenie Dirichleta o sumie dzielników liczb naturalnych, czy też twierdzenie Mertensa). Pojawia się też często przy rozważaniu szeregu harmonicznego. W tych rozważaniach często występuje:
Do dzisiaj (stan na rok 2024) wymierność tej stałej nie została udowodniona ani podważona, lecz wykazano, że jeśli liczba γ jest liczbą wymierną, to jej mianownik musi mieć ponad 10242080 cyfr[3].
Wartość przybliżona stałej Eulera γ ≈ 0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 35988 05…[4]
Do obliczania wartości liczby γ można użyć wzoru:
Stała Eulera występuje m.in. w:
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.