Najlepsze pytania
Chronologia
Czat
Perspektywa
Podstawa logarytmu naturalnego
stała matematyczna Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Remove ads
Podstawa logarytmu naturalnego, liczba , liczba Eulera, liczba Nepera – stała matematyczna wykorzystywana w wielu dziedzinach matematyki i fizyki. W przybliżeniu wynosi 2,718281828459[1], oznacza się ją literą [2].
Remove ads
Definicja
Podsumowanie
Perspektywa
Liczba może być zdefiniowana na kilka równoważnych sposobów.
Granica ciągu
Jako granica ciągu, jest określana przez
- Dowód zbieżności
Wykażemy, że ciąg gdzie jest niemalejący i ograniczony z góry, a zatem jest zbieżny.
Przypomnijmy, że dla dodatnich liczb zachodzi następująca nierówność Cauchy’ego między ich średnią arytmetyczną a geometryczną:
(1) |
Rozważając oraz otrzymujemy
a stąd
- więc również i
Czyli ciąg jest niemalejący.
Podłóżmy i zauważmy, że
Z nierówności (1) zastosowanej do oraz otrzymujemy, że:
Stąd a więc też
Czyli ciąg jest niemalejący. Ponieważ to możemy wywnioskować, że ciąg jest nierosnący, a stąd
Ciąg jest więc niemalejący i ograniczony z góry (np. przez ), a więc jest zbieżny.
Suma szeregu
Jako suma szeregu, jest określana przez
gdzie jest silnią liczby
Za pomocą całki

Liczbę można także zdefiniować jako jedyną liczbę rzeczywistą taką że:
(to znaczy, że liczba to taka, że pole powierzchni pod hiperbolą od 1 do jest równe 1).
Za pomocą funkcji

Liczbę można również zdefiniować jako taki argument funkcji
dla którego jej wartość jest największa.
Remove ads
Własności
- jest liczbą niewymierną (co udowodnił Leonhard Euler), a nawet przestępną (co udowodnił Charles Hermite w 1873 roku, w dziele „Sur la fonction expentielle”[3] – prosty dowód opublikował Adolf Hurwitz w 1894[4]).
- jest podstawą takiej funkcji wykładniczej, że styczna do jej wykresu w punkcie (0, 1) ma współczynnik kierunkowy równy 1
- jest podstawą takiego logarytmu, że styczna do wykresu funkcji logarytmicznej o tej podstawie w punkcie (1,0) ma współczynnik kierunkowy równy 1.
- pochodna funkcji
- całka funkcji gdzie C jest dowolną stałą całkowania.
- z definicji wprost wynika, że funkcja wykładnicza o podstawie jest odwrotną do logarytmu naturalnego:
- Jest jednym z elementów wzoru Eulera (zwanego też „najpiękniejszym wzorem matematyki”), wiążącej z innymi słynnymi liczbami: jednostką urojoną , , jednością i zerem:
Remove ads
Wzory na obliczenie e
Podsumowanie
Perspektywa
Granice ciągów
(oba to tzw. wzory Stirlinga)
gdzie to podsilnia, definiowana kombinatorycznie jako liczba nieporządków zbioru –elementowego, algebraicznie zaś jako
Szeregi nieskończone
Iloczyny nieskończone
W 1980 roku, Nick Pippenger udowodnił wzór[5][6]
gdzie n!!, to silnia podwójna.
Remove ads
Kultura e {\displaystyle \mathrm {e} }
W celu zapamiętania kolejnych cyfr dziesiętnych liczby tworzone są wierszyki, a nawet opowiadania (podobnie jak o liczbie π), w których długość każdego kolejnego słowa równa się kolejnej cyfrze w rozwinięciu dziesiętnym
„We present a mnemonic to memorize a constant so exciting that Euler exclaimed: '!' when first it was found, yes, loudly '!'. My students perhaps will compute e, use power or Taylor series, an easy summation formula, obvious, clear, elegant!”
- Gdzie znak „!” oznacza cyfrę 0.
Remove ads
Inne interpretacje liczby e {\displaystyle \mathrm {e} }
Wkładamy do pewnego banku jedną złotówkę. Załóżmy, że oprocentowanie wkładu (stopa procentowa) w skali rocznej wynosi 100%. Ale odsetki mogą być doliczane do kwoty podstawowej w różnorodny sposób. Jeśli będą obliczane po upływie roku, to na koniec roku będziemy mieli 2 złote. Jeśli będą dwa okresy kapitalizacji (czyli odsetki obliczane dwa razy w roku), to na koniec roku będziemy mieć czyli 2,25 złotego. W przypadku kapitalizacji co kwartał otrzymamy co w przybliżeniu wynosi 2,44 zł. Jeśli kapitalizacja odbywała się w sposób ciągły (czyli liczba okresów dąży do nieskończoności) to na koniec roku otrzymamy czyli złotych.
Remove ads
Dowód niewymierności e {\displaystyle \mathrm {e} }
Podsumowanie
Perspektywa
Używamy -tego przybliżenia które zapisujemy
Szacujemy błąd
Z tego wynika, że gdzie
Dowód przez sprowadzenie do sprzeczności:
Załóżmy, że jest liczbą wymierną. Czyli da się ją przedstawić w postaci gdzie
W tym wzorze bierzemy tak duże żeby było większe od
Wówczas:
Mnożąc stronami przez dostajemy:
więc
więc
Zostały same liczby całkowite poza która całkowita nie jest.
To dowodzi sprzeczności, a więc i nieprawdziwości twierdzenia, że „ jest wymierne”.
Remove ads
Zobacz też
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne
Wikiwand - on
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Remove ads