Ułamek łańcuchowy, ułamek ciągły[1] (skończony) to wyrażenie postaci:
gdzie jest liczbą całkowitą, a wszystkie pozostałe liczby są naturalne i dodatnie. Liczby nazywamy mianownikami częściowymi ułamka łańcuchowego. W niektórych źródłach zezwala się, by liczby były rzeczywiste, a ułamki, w których i , nazywa się dodatkowo arytmetycznymi.[2]
Zamiast powyższej „piętrowej” notacji ułamki łańcuchowe najczęściej zapisuje się w postaci ciągu Spotykane są również inne notacje, między innymi notacja wprowadzona przez Pringsheima:
- .
Ułamek łańcuchowy nieskończony definiujemy jako granicę ciągu ułamków skończonych (granica ta zawsze istnieje):
Każdą liczbę rzeczywistą można zapisać w postaci ułamka łańcuchowego. Liczbom wymiernym odpowiadają ułamki skończone, natomiast liczbom niewymiernym – ułamki nieskończone.[3] Dla ułamków łańcuchowych skończonych reprezentujących liczby wymierne zachodzi
czyli ich rozwinięcie w ułamek łańcuchowy nie jest jednoznaczne. Staje się ono jednoznaczne przy założeniu, że ta ostatnia liczba jest większa od 1, tzn.
każdą liczbę wymierną można jednoznacznie przedstawić w postaci gdzie jest liczbą całkowitą, są liczbami naturalnymi, a Rozwinięcie liczby niewymiernej w (nieskończony) ułamek łańcuchowy zawsze jest jednoznaczne.[3]
Każdy okresowy ułamek łańcuchowy przedstawia pewną niewymierność kwadratową, tzn. niewymierny pierwiastek równania kwadratowego o współczynnikach całkowitych. Każda niewymierność kwadratowa rozwija się w okresowy arytmetyczny ułamek łańcuchowy.[3]
Algorytm znajdowania reprezentacji liczby w postaci ułamka łańcuchowego można opisać następująco:
- JEŚLI – STOP
- PRZEJDŹ DO 2
Dla otrzymujemy na przykład:
Zatem:
Niech będzie ułamkiem łańcuchowym (skończonym lub nieskończonym), wówczas liczbę nazywamy -tym reduktem tego ułamka łańcuchowego.[2]
Dla zdefiniowanych rekurencyjnie wzorami:
zachodzi [2][3] Ponadto jest to postać nieskracalna tego ułamka.[2]
Kolejne redukty rozwinięcia danej liczby w ułamek łańcuchowy są najlepszymi przybliżeniami wymiernymi tej liczby o możliwie małych mianownikach. Dokładniej, jeżeli ułamek jest -tym reduktem rozwinięcia liczby w ułamek łańcuchowy, to dla każdej liczby wymiernej spełniającej warunek zachodzi nierówność
- .[2]
Ponadto redukty parzyste przybliżają liczbę od dołu (z niedomiarem), a nieparzyste od góry (z nadmiarem).[2][3]
JerzyJ. Rutkowski JerzyJ., Teoria liczb w zadaniach, Wydanie I, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2018, s. 37-52, ISBN 978-83-01-19874-9 [dostęp 2024-01-21].