Funkcja liniowa

Funkcja liniowa – dowolna funkcja matematyczna opisana równaniem liniowym, czyli postaci^[1]:

${\displaystyle x\mapsto ax+b,}$

Ten artykuł dotyczy funkcji w matematyce elementarnej. Zobacz też: przekształcenie liniowe w matematyce wyższej.

Wykres przykładowej funkcji liniowej w kartezjańskim układzie współrzędnych

gdzie argumentami ${\displaystyle x}$ są liczby rzeczywiste lub inne obiekty, które można dodawać i mnożyć, np. liczby zespolone. Parametry ${\displaystyle a,b}$ są dowolnymi stałymi znanymi jako współczynnik kierunkowy^[1] i wyraz wolny^[2]. O dwóch zmiennych, z których każda jest funkcją liniową drugiej, mówi się, że są liniowo zależne lub w zależności liniowej^[3]. Jest to uogólnienie:

• funkcji stałych, dla których ${\displaystyle a=0;}$
• proporcjonalności prostych, dla których ${\displaystyle b=0}$^[1].

Jeśli argumentami takiej funkcji są liczby rzeczywiste, to dziedziną może być cała oś rzeczywista, a wykresem w kartezjańskim układzie współrzędnych jest linia prosta^[1].

Funkcje liniowe mają zastosowania związane z ich regularną strukturą i znanymi własnościami – w szczególności geometrycznymi:

• korzysta się z nich podczas linearyzacji bardziej skomplikowanych zagadnień, np. przybliżania liniowego;
• w statystyce korzysta się z metody estymacji (szacowaniu) zależności między dwoma zbiorami danych nazywaną regresją liniową (popularną jej metodą jest metoda najmniejszych kwadratów), w której poszukuje się właśnie zależności będącej funkcją liniową przy jak najmniejszym błędzie standardowym.

Funkcje liniowe mają różne uogólnienia jak funkcje:

• przedziałami liniowe, zdefiniowane różnymi wzorami liniowymi na różnych przedziałach;
• wielomianowe, zawierające też wyższe potęgi zmiennej;
• homograficzne będące ilorazami funkcji liniowych.

W algebrze liniowej „liniowość” definiuje nie w oparciu o własności geometryczne, lecz o własności algebraiczne zachowujące strukturę tzw. przestrzeni liniowych. Funkcje mające tę własność nazywa się przekształceniami liniowymi lub odwzorowaniami liniowymi, a określenie „funkcja liniowa” rezerwuje się dla funkcji opisywanych w tym artykule. Funkcja liniowa jest przekształceniem liniowym, jeśli jest funkcją jednorodną, tj. gdy ${\displaystyle b=0;}$ mają one wówczas postać proporcjonalności prostej ${\displaystyle x\mapsto ax.}$

Definicja

Zobacz też: funkcja.

Niech ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ będzie funkcją zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych (o rzeczywistych dziedzinie i przeciwdziedzinie). Funkcję ${\displaystyle f}$ nazywa się liniową, jeżeli dana jest wzorem

${\displaystyle f(x)=ax+b,}$

gdzie ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ są ustalonymi stałymi rzeczywistymi. Niektóre źródła^[4] wymagają dodatkowo, aby ${\displaystyle f}$ była niezdegenerowana, tj.

${\displaystyle a\neq 0.}$

Większość źródeł nie stawia takich wymagań.

Własności

Jeśli ${\displaystyle a\neq 0,}$ to ${\displaystyle f}$ jest nieograniczona, nieokresowa i monotoniczna: rosnąca dla ${\displaystyle a>0}$ i malejąca dla ${\displaystyle a<0,}$ ponadto jest różnowartościowa i „na”, a co za tym idzie wzajemnie jednoznaczna. Jest więc odwracalna (jej funkcja odwrotna również jest liniowa). Jeśli ${\displaystyle b=0,}$ to ${\displaystyle f}$ jest nieparzysta.

Jeśli ${\displaystyle a=0,}$ to ${\displaystyle f}$ jest funkcją stałą i jako taka jest ograniczona, parzysta, nie jest również różnowartościowa ani „na”, czyli wzajemnie jednoznaczna. Nie jest więc odwracalna. Jeśli dodatkowo ${\displaystyle b=0,}$ to jest jednocześnie nieparzysta.

Jeśli ${\displaystyle a\neq 0,}$ to ${\displaystyle f}$ ma dokładnie jedno miejsce zerowe postaci ${\displaystyle -{\tfrac {b}{a}}.}$ Jeśli ${\displaystyle a=0,}$ to ${\displaystyle f}$ nie ma miejsc zerowych, gdy ${\displaystyle b\neq 0}$ i ma nieskończenie miejsc zerowych, gdy ${\displaystyle b=0.}$

Funkcję liniową wystarczy określić dla dowolnych dwóch różnych argumentów. Istotnie, jeśli ${\displaystyle y_{1}=f(x_{1}),\;y_{2}=f(x_{2}),}$ to:

${\displaystyle f(x)={\tfrac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}x+{\tfrac {y_{1}x_{2}-y_{2}x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.}$

Funkcja liniowa (jako funkcja wielomianowa) jest ciągła i różniczkowalna (a więc także gładka), przy czym pierwsza pochodna jest równa ${\displaystyle a,}$ a kolejne są tożsamościowo równe zeru.

Wykres funkcji liniowej

Wykresy trzech funkcji liniowych. Funkcje o równoległych wykresach zaznaczonych kolorami czerwonym i niebieskim mają ten sam współczynnik kierunkowy, z kolei funkcje o wykresami w kolorach czerwonym i zielonym mają równe wyrazy wolne, skąd mają ten sam punkt przecięcia z osią ${\displaystyle OY.}$

Zobacz też: wykres funkcji i układ współrzędnych.

W układzie współrzędnych prostoliniowych (na płaszczyźnie) funkcja liniowa ${\displaystyle x\mapsto ax+b}$ ma wykres będący prostą, przy czym

• przecina ona oś ${\displaystyle OY}$ w punkcie ${\displaystyle (0,b)}$
• przecina ona oś ${\displaystyle OX}$ w punkcie ${\displaystyle (-{\tfrac {b}{a}},0)}$ dla ${\displaystyle a\neq 0,}$ nie przecina tej osi, gdy ${\displaystyle a=0,\,\,b\neq 0.}$

W układzie współrzędnych prostokątnych (tzn. o prostopadłych osiach) z równymi jednostkami (tzn. wektorami jednostkowymi definiującymi osie) zachodzi

${\displaystyle a={\text{tg}}\ \alpha ,}$

gdzie ${\displaystyle \alpha }$ jest kątem skierowanym między wykresem i osią ${\displaystyle OX.}$

Oznacza to, że współczynnik kierunkowy jest tangensem kąta skierowanego ${\displaystyle \alpha ,}$ co tłumaczy nazwę tego współczynnika.

Każda prosta nierównoległa do osi ${\displaystyle OY}$ jest wykresem pewnej funkcji liniowej.

Własności grupowe i reprezentacja macierzowa

• Złożenie dwóch funkcji liniowych jest funkcją liniową. Niech:

${\displaystyle f(x)=ax+b,\;\;g(x)=a_{1}x+b_{1}.}$

Wówczas

${\displaystyle (g\circ f)\,(x)=a_{1}(ax+b)+b_{1}=a_{1}ax+a_{1}b+b_{1}}$

także jest funkcją liniową.

• Dla funkcji ${\displaystyle f(x)=ax+b}$ i ${\displaystyle e(x)=x}$ zachodzi

${\displaystyle (f\circ e)\,(x)=(e\circ f)\,(x)=f(x).}$

• Ponadto dla funkcji ${\displaystyle f(x)=ax+b,}$ w której ${\displaystyle a\neq 0,}$ funkcja ${\displaystyle g(x)={\tfrac {1}{a}}x-{\tfrac {b}{a}}}$ jest funkcją odwrotną:

${\displaystyle (f\circ g)\,(x)=(g\circ f)\,(x)=e(x).}$

Ponieważ niezdegenerowana funkcja liniowa jest bijekcją, więc działanie składania takich funkcji jest działaniem łącznym. Oznacza to, że zbiór niezdegenerowanych funkcji liniowych jest grupą.

Funkcję liniową ${\displaystyle f(x)=ax+b}$ można reprezentować jako macierz postaci:

${\displaystyle F={\begin{bmatrix}a&b\\0&1\end{bmatrix}}.}$

przy tym mnożeniu takich macierzy odpowiada składanie funkcji liniowych.

Własności algebraiczne zbioru funkcji liniowych wynikają z własności pierścienia macierzy górnotrójkątnych powyższej postaci. Jeśli dodatkowo ${\displaystyle a\neq 0,}$ to macierze te tworzą grupę ze względu na mnożenie^[a].

Własności geometryczne i uogólnienia

Niezdegenerowana funkcja liniowa ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ postaci ${\displaystyle f(x)=ax+b}$ jest podobieństwem prostej ${\displaystyle \mathbb {R} }$ na siebie, przy tym ${\displaystyle |a|}$ jest skalą tego podobieństwa.

Ponadto:

• dla ${\displaystyle a=1,\,b=0}$ jest to tożsamość,
• dla ${\displaystyle a=1,\,b\neq 0}$ jest to translacja o przesunięciu ${\displaystyle b,}$
• dla ${\displaystyle a=-1}$ jest to symetria środkowa względem punktu ${\displaystyle {\tfrac {b}{2}}.}$

Dla ${\displaystyle a>0}$ jest to podobieństwo parzyste (z zachowaniem orientacji), dla ${\displaystyle a<0}$ jest to podobieństwo nieparzyste (ze zmianą orientacji)^[b].

Jeśli ${\displaystyle f}$ nie jest translacją, tj. ${\displaystyle a\neq 1,}$ to ma ona punkt stały ${\displaystyle {\tfrac {b}{1-a}}.}$

Funkcja liniowa niezdegenerowana ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ma swoje uogólnienie na płaszczyznę ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ i ogólniej – na ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ i nazywa się wówczas przekształceniem afinicznym (w przypadku prostej przekształcenia afiniczne sprowadzają się do podobieństw):

${\displaystyle f(x)=ax+b,}$

gdzie ${\displaystyle x,b\in \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle a}$ jest nieosobliwą macierzą ${\displaystyle n\times n.}$

Jest to najogólniejsza struktura, w której możliwe jest zdefiniowanie funkcji o tym wzorze.

Innym uogólnieniem niezdegenerowanej funkcji liniowej jest funkcja ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ postaci

${\displaystyle f(x)=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\ldots +a_{n}x_{n}+b,}$

gdzie nie wszystkie ${\displaystyle a_{i}}$ są zerowe.

Jej wykresem jest pewna hiperpłaszczyzna w przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Przykłady zależności liniowych

Matematyka

• Wartość ${\displaystyle n}$-tego wyrazu ${\displaystyle a_{n}}$ ciągu arytmetycznego jest liniową funkcją jego numeru ${\displaystyle n{:}}$

${\displaystyle a_{n}=rn+a_{1}-r,}$

gdzie ${\displaystyle r}$ jest różnicą ciągu, ${\displaystyle a_{1}}$ jego pierwszym wyrazem.

Fizyka

• Temperatura ${\displaystyle T_{F}}$ w skali Fahrenehita jest liniową funkcją temperatury ${\displaystyle T_{C}}$ w skali Celsjusza:

${\displaystyle T_{\mathrm {F} }={\tfrac {9}{5}}T_{\mathrm {C} }+32.}$

• W kinematyce: w ruchu jednostajnym prostoliniowym położenie ${\displaystyle x_{t}}$ jest liniową funkcją czasu ${\displaystyle t{:}}$

${\displaystyle \mathrm {x} _{t}=\mathbf {v} t+\mathrm {x} _{0},}$

gdzie ${\displaystyle v}$ jest prędkością, ${\displaystyle x_{0}}$ położeniem początkowym.

W ruchu jednostajnie przyspieszonym prędkość ${\displaystyle v_{t}}$ jest liniową funkcją czasu ${\displaystyle t.}$

${\displaystyle v_{t}=at+v_{0},}$

gdzie ${\displaystyle a}$ jest przyspieszeniem, ${\displaystyle v_{0}}$ jest prędkością początkową.

• Efekt Dopplera: jeśli obserwator zbliża się z prędkością ${\displaystyle v_{o}}$ do nieruchomego źródła fali o częstotliwości ${\displaystyle f_{z},}$ to częstotliwość ${\displaystyle f_{o}}$ odbieranej przez niego fali jest funkcją liniową jego własnej prędkości ${\displaystyle v_{o}{:}}$

${\displaystyle f_{o}={\tfrac {f_{z}}{v}}v_{o}+f_{z},}$

gdzie ${\displaystyle v}$ jest prędkością fali w ośrodku.

Uwagi

1. Wszystkie omówione w tej sekcji własności zachowują się dla dowolnego ciała.
2. Funkcja liniowa określona dla liczb zespolonych ustala na płaszczyźnie zespolonej podobieństwo parzyste, tj. nie można wygenerować np. symetrii osiowej.

Przypisy

1. funkcja liniowa, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-09-16].
2. wyraz wolny, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-09-16].
3. zależność liniowa, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-09-16].
4. Waliszewski 1988 ↓, s. 312.

Bibliografia

• Włodzimierz Waliszewski: Encyklopedia szkolna. Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1988. ISBN 83-02-02551-8.

Literatura dodatkowa

• Jacek Gancarzewicz: Algebra liniowa i jej zastosowanie. Kraków: Uniwersytet Jagielloński, 2014. ISBN 83-233-1832-8. Brak numerów stron w książce
• Marek Kordos, Lesław Szczerba: Geometria dla nauczycieli. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976. Brak numerów stron w książce

Linki zewnętrzne

Zobacz multimedia związane z tematem: Funkcja liniowa

• Tomasz Wójtowicz, Funkcja liniowa – pojęcie, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej, zpe.gov.pl [dostęp 2024-09-16].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Linear Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-03-07].
• Linear function (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-09-16].

Kontrola autorytatywna (rodzaj funkcji matematycznej):

• GND: 4744418-6