Równanie funkcyjne

Równanie funkcyjne – równanie, w którym niewiadomą jest funkcja^[1].

Przykłady

• Wszystkie równania różniczkowe i równania całkowe.
• Równanie Abela ${\displaystyle \alpha (f(x))=\alpha (x)+1.}$
• Równanie ${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}$ spełniają funkcje addytywne.
• Równania ${\displaystyle f(x)=f(-x)}$ oraz ${\displaystyle f(x)=-f(-x)}$ spełniają odpowiednio funkcje funkcje parzyste i nieparzyste.
• Znajdźmy wszystkie funkcje ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,}$ dla których ${\displaystyle f(x+y)^{2}=f(x)^{2}+f(y)^{2}.}$

  Podstawiając ${\displaystyle x=y=0,}$ otrzymujemy ${\displaystyle f(0)^{2}=2f(0)^{2},}$ czyli ${\displaystyle f(0)=0.}$

  Niech ${\displaystyle y=-x,}$ wówczas

  ${\displaystyle 0=f(0)^{2}=f(x-x)^{2}=f(x)^{2}+f(-x)^{2}.}$

  Ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, a suma liczb nieujemnych jest równa zeru wtedy i tylko wtedy, gdy obie te liczby są równe zeru, więc równość ${\displaystyle f(x)=0}$ jest spełniona dla każdego ${\displaystyle x.}$ Zatem jedyną funkcją spełniającą dane równanie funkcyjne jest ${\displaystyle f(x)=0.}$

• Równania rekurencyjne: jedynym ciągiem spełniającym warunki ${\displaystyle a_{1}=1,a_{n+1}=(n+1)a_{n}}$ jest ciąg ${\displaystyle a_{n}=n!.}$
• Użycie układu równań funkcyjnych w alternatywnej definicji funkcji trygonometrycznych.

Równanie Cauchy’ego

Osobny artykuł: Równanie funkcyjne Cauchy’ego.

Ważnym przykładem równania funkcyjnego jest równanie Cauchy’ego ${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y).}$ Cauchy rozwiązał następujące równania funkcyjne w dziedzinie funkcji ciągłych.

Twierdzenie Cauchy’ego o rozwiązaniach ciągłych równania ${\displaystyle \mathbf {f(x+y)=f(x)+f(y)} .}$ Jedynymi ciągłymi rozwiązaniami równania ${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}$ są funkcje liniowe ${\displaystyle f(x)=ax.}$

Dowód. Na początek zauważmy dwie rzeczy. Stosując prostą indukcję można pokazać, że ${\displaystyle f(x_{1}+\ldots +x_{n})=f(x_{1})+\ldots +f(x_{n}).}$ Zauważmy dalej, że ${\displaystyle f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0),}$ czyli ${\displaystyle f(0)=0.}$

Niech teraz ${\displaystyle a=f(1).}$ Pokażemy, że równość ${\displaystyle f(x)=ax}$ zachodzi, gdy ${\displaystyle x}$ jest liczbą naturalną, całkowitą, wymierną, a w końcu rzeczywistą. Mamy

${\displaystyle f(n)=f(\underbrace {1+\ldots +1} _{n})=\underbrace {f(1)+\ldots +f(1)} _{n}=an}$

dla każdego ${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$

Dalej ${\displaystyle f(n)+f(-n)=f(n+(-n))=f(0)=0,}$ czyli ${\displaystyle f(-n)=-f(n)=a(-n).}$ To oznacza, że ${\displaystyle f(x)=ax}$ dla każdego ${\displaystyle x\in \mathbb {Z} ,}$ gdzie ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ oznacza zbiór liczb całkowitych.

Dalej mamy

${\displaystyle a=f(1)=f{\Big (}\underbrace {{\frac {1}{n}}+\ldots +{\frac {1}{n}}} _{n}{\Big )}=\underbrace {f{\Big (}{\frac {1}{n}}{\Big )}+\ldots +f{\Big (}{\frac {1}{n}}{\Big )}} _{n},}$

co daje ${\displaystyle f\left({\frac {1}{n}}\right)=a{\frac {1}{n}}.}$ Niech teraz ${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$ będzie dowolną liczbą wymierną.

Wówczas

${\displaystyle f\left({\frac {m}{n}}\right)=f{\bigg (}\underbrace {{\frac {1}{n}}+\ldots +{\frac {1}{n}}} _{m}{\bigg )}=\underbrace {f\left({\frac {1}{n}}\right)+\ldots +f\left({\frac {1}{n}}\right)} _{m}=a\cdot {\frac {m}{n}}.}$

Zatem równość ${\displaystyle f(x)=ax}$ została pokazana dla każdej liczby wymiernej ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} .}$

Z ciągłości funkcji ${\displaystyle f}$ wynika równość ${\displaystyle f(x)=ax}$ dla każdej liczby rzeczywistej ${\displaystyle x\in \mathbb {R} .}$

Twierdzenie Cauchy’ego o rozwiązaniach ciągłych równania ${\displaystyle \mathbf {f(x+y)=f(x)f(y)} .}$ Jedynymi niezerowymi ciągłymi rozwiązaniami równania ${\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y)}$ są funkcje wykładnicze ${\displaystyle f(x)=a^{x}.}$

Twierdzenie Cauchy’ego o rozwiązaniach ciągłych równania ${\displaystyle \mathbf {f(xy)=f(x)+f(y)} .}$ Jedynymi niezerowymi ciągłymi rozwiązaniami równania ${\displaystyle f(xy)=f(x)+f(y)}$ są funkcje logarytmiczne ${\displaystyle f(x)=\log _{a}x.}$

Twierdzenie Cauchy’ego o rozwiązaniach ciągłych równania ${\displaystyle \mathbf {f(xy)=f(x)f(y)} .}$ Jedynymi niezerowymi ciągłymi rozwiązaniami równania ${\displaystyle f(xy)=f(x)f(y)}$ są funkcje potęgowe ${\displaystyle f(x)=x^{a}.}$

Twierdzenie Cauchy’ego o rozwiązaniach ciągłych równania ${\displaystyle \mathbf {f(x+y)+f(y-x)=2f(x)f(y)} .}$ Jedynymi niezerowymi ciągłymi rozwiązaniami równania ${\displaystyle f(x+y)+f(y-x)=2f(x)f(y)}$ są funkcje cosinus ${\displaystyle f(x)=\cos x}$ i cosinus hiperboliczny ${\displaystyle f(x)=\cosh x.}$