Возведение в степень

Возведе́ние в сте́пень (устар. возвыше́ние в сте́пень^[1]) — арифметическая операция, первоначально определяемая как результат многократного умножения числа на себя. Степень с основанием ${\displaystyle a}$ и натуральным показателем ${\displaystyle b}$ обозначается как

${\displaystyle a^{b}=\underbrace {a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} _{b},}$

Графики четырёх функций вида ${\displaystyle y=a^{x}}$, ${\displaystyle a}$ указано рядом с графиком функции

где ${\displaystyle b}$ — количество множителей (умножаемых чисел)^{[2][К 1]}.

Например, ${\displaystyle 3^{2}=3\cdot 3=9;\quad 2^{4}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16}$

В языках программирования, где написание ${\displaystyle a^{b}}$ невозможно, применяются альтернативные обозначения.➤

Возведение в степень может быть определено также для отрицательных,➤ рациональных,➤ вещественных➤ и комплексных➤ степеней^[2].

Извлечение корня — одна из операций, обратных возведению в степень, она по известным значениям степени ${\displaystyle c=a^{b}}$ и показателя ${\displaystyle b}$ находит неизвестное основание ${\displaystyle a={\sqrt[{b}]{c}}}$. Вторая обратная операция — логарифмирование, она по известным значениям степени ${\displaystyle c=a^{b}}$ и основания ${\displaystyle a}$ находит неизвестный показатель ${\displaystyle b=\log _{a}c}$. Задача нахождения числа по известному его логарифму (потенцирование, антилогарифм) решается с помощью операции возведения в степень.

Существует алгоритм быстрого возведения в степень, выполняющий возведение в степень за меньшее, чем в определении, число умножений.

Употребление в устной речи

Запись ${\displaystyle a^{n}}$ обычно читается как «a в ${\displaystyle n}$-й степени» или «a в степени n». Например, ${\displaystyle 10^{4}}$ читается как «десять в четвёртой степени», ${\displaystyle 10^{3/2}}$ читается как «десять в степени три вторых (или: полтора)».

Для второй и третьей степени существуют специальные названия: возведение в квадрат и в куб соответственно. Так, например, ${\displaystyle 10^{2}}$ читается как «десять в квадрате», ${\displaystyle 10^{3}}$ читается как «десять в кубе». Такая терминология возникла из древнегреческой математики. Древние греки формулировали алгебраические конструкции на языке геометрической алгебры. В частности, вместо употребления слова «умножение» они говорили о площади прямоугольника или об объёме параллелепипеда: вместо ${\displaystyle a^{2}}$, ${\displaystyle a^{3}}$ древние греки говорили «квадрат на отрезке a», «куб на a». По этой причине четвёртую степень и выше древние греки избегали^[3].

Число, являющееся результатом возведения натурального числа в ${\displaystyle n}$-ую степень, называется точной ${\displaystyle n}$-ой степенью. В частности, число, являющееся результатом возведения натурального числа в квадрат (куб), называется точным квадратом (кубом). Точный квадрат также называется полным квадратом.

Свойства

Основные свойства

Все приведённые ниже основные свойства возведения в степень выполняются для натуральных, целых, рациональных и вещественных чисел^[4]. Для комплексных чисел, в силу многозначности комплексной операции, они выполняются только в случае натурального показателя степени.➤

• ${\displaystyle -a^{2}=(-a)*a,(-a)^{2}=a^{2}}$
• ${\displaystyle a^{0}=1,(a\neq 0)}$
• ${\displaystyle a^{1}=a}$
• ${\displaystyle \left(ab\right)^{n}=a^{n}b^{n}}$
• ${\displaystyle \left({a \over b}\right)^{n}={{a^{n}} \over {b^{n}}}}$
• ${\displaystyle a^{n}a^{m}=a^{n+m}}$
• ${\displaystyle \left.{a^{n} \over {a^{m}}}\right.=a^{n-m}}$
• ${\displaystyle \left(a^{n}\right)^{m}=a^{nm}}$
• ${\displaystyle a^{n}=(a^{m})^{n \over m}}$
• ${\displaystyle a^{n}={\sqrt[{m}]{a}}^{nm}}$
• ${\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},(a\neq 0)}$
• ${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{-n}=\left({\frac {b}{a}}\right)^{n},{\bigl (}a\neq 0,b\neq 0{\bigr )}}$

Запись ${\displaystyle a^{n^{m}}}$ не обладает свойством ассоциативности (сочетательности), то есть, в общем случае,${\displaystyle (a^{n})^{m}\neq a^{\left({n^{m}}\right)}}$ Например, ${\displaystyle (2^{2})^{3}=4^{3}=64}$, а ${\displaystyle 2^{\left({2^{3}}\right)}=2^{8}=256}$. В математике принято считать запись ${\displaystyle a^{n^{m}}}$ равнозначной ${\displaystyle a^{\left({n^{m}}\right)}}$, а вместо ${\displaystyle (a^{n})^{m}}$ можно писать просто ${\displaystyle a^{nm}}$, пользуясь предыдущим свойством. Впрочем, некоторые языки программирования не придерживаются этого соглашения^{[какой?]}.

Возведение в степень не обладает свойством коммутативности (переместительности): вообще говоря, ${\displaystyle a^{b}\neq b^{a}}$, например, ${\displaystyle 2^{5}=32}$, но ${\displaystyle 5^{2}=25.}$ Причём во втором случае, когда основание больше показателя, результат получается меньше, чем в обратном случае: иначе говоря, когда ${\displaystyle a>b}$, ${\displaystyle a^{b}<b^{a}.}$

Таблица натуральных степеней небольших чисел

n	n2	n3	n4	n5	n6	n7	n8	n9	n10	n∞
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1∞ = 1 (Абсолютная бесконечность и Бесконечность)
2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024	2∞
3	9	27	81	243	729	2187	6561	19 683	59 049	3∞
4	16	64	256	1024	4096	16 384	65 536	262 144	1 048 576	4∞
5	25	125	625	3125	15 625	78 125	390 625	1 953 125	9 765 625	5∞
6	36	216	1296	7776	46 656	279 936	1 679 616	10 077 696	60 466 176	6∞
7	49	343	2401	16 807	117 649	823 543	5 764 801	40 353 607	282 475 249	7∞
8	64	512	4096	32 768	262 144	2 097 152	16 777 216	134 217 728	1 073 741 824	8∞
9	81	729	6561	59 049	531 441	4 782 969	43 046 721	387 420 489	3 486 784 401	9∞
10	100	1000	10 000	100 000	1 000 000	10 000 000	100 000 000	1 000 000 000	10 000 000 000	10∞
∞	∞2	∞3	∞4	∞5	∞6	∞7	∞8	∞9	∞10	∞∞

Свойство степеней чисел

Всякая степень числа есть сумма сто́льких последовательных нечётных чисел, сколько единиц в основании степени.

Расширения

Целая степень

Операция обобщается на произвольные целые числа, включая отрицательные и ноль^[5]::

${\displaystyle a^{z}={\begin{cases}a^{z},&z>0\\1,&z=0,a\neq \;0\\{\dfrac {1}{a^{|z|}}},&z<0,a\neq \;0\end{cases}}}$

Результат не определён при ${\displaystyle a=0}$ и ${\displaystyle z\leqslant 0}$.

Рациональная степень

Возведение в рациональную степень ${\displaystyle m/n,}$ где ${\displaystyle m}$ — целое число, а ${\displaystyle n}$ — натуральное, положительного числа определяется следующим образом^[5]:

${\displaystyle a^{m \over n}=({\sqrt[{n}]{a}})^{m};\quad \forall a>0,a\in \mathbb {R} ,m\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} .}$.

Степень с основанием, равным нулю, определяют только для положительного рационального показателя.

${\displaystyle 0^{m \over n}=0;\quad m\in \mathbb {N} ,n\in \mathbb {N} .}$

Для отрицательных ${\displaystyle a}$ степень с дробным показателем не рассматривается.

Следствие: ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}=a^{1/n};\quad a>0,a\in \mathbb {R} .}$ Таким образом, понятие рациональной степени объединяет возведение в целочисленную степень и извлечение корня в единую операцию.

Вещественная степень

Множество вещественных чисел — непрерывное упорядоченное поле, обозначается ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Множество вещественных чисел не является счётным, его мощность называется мощностью континуума. Арифметические операции над вещественными числами представимых бесконечными десятичными дробями определяются как непрерывное продолжение^[6] соответствующих операций над рациональными числами.

Если даны два вещественных числа, представимые бесконечными десятичными дробями (где ${\displaystyle \alpha }$ — положительное):

${\displaystyle \alpha =a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots =\{a_{n}\},~~\alpha >0,}$

${\displaystyle \beta =\pm b_{0},b_{1}b_{2}\ldots b_{n}\ldots =\{b_{n}\},}$

определённые соответственно фундаментальными последовательностями рациональных чисел (удовлетворяющие условию Коши), обозначенные как: ${\displaystyle \alpha =[a_{n}]}$ и ${\displaystyle \beta =[b_{n}]}$, то их степенью называют число ${\displaystyle \gamma =[c_{n}]}$, определённое степенью последовательностей ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ и ${\displaystyle \{b_{n}\}}$:

${\displaystyle \gamma =\alpha ^{\beta }{=}[a_{n}]^{[b_{n}]}=[a_{n}{\widehat {}}b_{n}]}$,

вещественное число ${\displaystyle \gamma =\alpha ^{\beta }}$, удовлетворяет следующему условию:

${\displaystyle (a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Rightarrow ({(a')}^{b'}\leqslant \alpha ^{\beta }\leqslant {(a'')}^{b''})\Rightarrow ({(a')}^{b'}\leqslant \gamma \leqslant {(a'')}^{b''}),~~~\forall ~a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} ,~\forall \alpha >0,~\alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb {R} .}$

Таким образом степенью вещественного числа ${\displaystyle \alpha ^{\beta }}$ является такое вещественное число ${\displaystyle \gamma }$ которое содержится между всеми степенями вида ${\displaystyle {(a')}^{b'}}$ с одной стороны и всеми степенями вида ${\displaystyle {(a'')}^{b''}}$с другой стороны.

Степень с основанием, равным нулю, определяют только для положительного вещественного показателя.

${\displaystyle 0^{\beta }=0;\quad \beta \in \mathbb {R} ,\beta >0.}$

Для отрицательных ${\displaystyle \alpha }$ степень с вещественным показателем не рассматривается.

На практике для того, чтобы возвести число ${\displaystyle \alpha }$ в степень ${\displaystyle \beta }$, необходимо заменить их с требуемой точностью приближёнными рациональными числами ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$. За приближенное значение степени ${\displaystyle \alpha ^{\beta }}$ берут степень указанных рациональных чисел ${\displaystyle a^{b}}$. При этом не важно, с какой стороны (по недостатку или по избытку) взятые рациональные числа приближают ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$.

Пример возведения в степень ${\displaystyle \gamma =\pi ^{e}}$, с точностью до 3-го знака после запятой:

• Округляем данные числа до 4-го знака после запятой (для повышения точности вычислений);
• Получаем: ${\displaystyle \pi \approx 3.1416,\ e\approx 2.7183}$;
• возводим в степень: ${\displaystyle \gamma =\pi ^{e}\approx 3.1416^{2.7183}\approx 22.4592}$;
• Округляем до 3-го знака после запятой: ${\displaystyle \gamma \approx 22.459}$.

Полезные формулы:

${\displaystyle x^{y}=a^{y\log _{a}x}}$

${\displaystyle x^{y}=e^{y\ln x}}$

${\displaystyle x^{y}=10^{y\lg x}}$

Последние две формулы используют для возведения положительных чисел в произвольную степень на электронных калькуляторах (включая компьютерные программы), не имеющих встроенной функции ${\displaystyle x^{y}}$, и для приближённого возведения в нецелую степень или для целочисленного возведения в степень, когда числа слишком велики для того, чтобы записать результат полностью.

Комплексная степень

Возведение комплексного числа в натуральную степень выполняется обычным умножением в тригонометрической форме. Результат однозначен:

${\displaystyle z^{n}=r^{n}(\cos \varphi +i\sin \varphi )^{n}=r^{n}(\cos n\varphi +i\sin n\varphi );\quad \forall n\in \mathbb {N} ,z\in \mathbb {C} ,r\in \mathbb {R} }$ , (формула Муавра)^[7].

Для нахождения степени произвольного комплексного числа в алгебраической форме ${\displaystyle a+bi}$ можно воспользоваться формулой бинома Ньютона (справедливой и для комплексных чисел):

${\displaystyle (a+bi)^{n}=a^{n}+C_{n}^{1}a^{n-1}bi+C_{2}^{n}a^{n-2}b^{2}i^{2}+...+C_{n}^{n-1}ab^{n-1}i^{n-1}+b^{n}i^{n},\quad \forall n\in \mathbb {N} }$ .

Заменяя степени ${\displaystyle i^{k}}$ в правой части формулы их значениями в соответствии с равенствами: ${\displaystyle i^{4k}=1,i^{4k+1}=i,i^{4k+2}=-1,i^{4k+3}=-i,k\in \mathbb {N} }$, получим:

${\displaystyle (a+bi)^{n}=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}C_{n}^{2k}a^{n-2k}b^{2k}+i\sum _{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^{k}C_{n}^{2k+1}a^{n-2k-1}b^{2k+1}.}$^[8]

Основой для более общего определения комплексной степени служит экспонента ${\displaystyle e^{z}}$, где ${\displaystyle e}$ — число Эйлера, ${\displaystyle z=x+iy}$ — произвольное комплексное число^[9].

Определим комплексную экспоненту с помощью такого же ряда, как и вещественную:

${\displaystyle e^{z}=1+z+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}+\cdots .}$

Этот ряд абсолютно сходится для любого комплексного ${\displaystyle z,}$ поэтому его члены можно как угодно перегруппировывать. В частности, отделим от него часть для ${\displaystyle e^{iy}}$:

${\displaystyle e^{iy}=1+iy+{\frac {(iy)^{2}}{2!}}+{\frac {(iy)^{3}}{3!}}+{\frac {(iy)^{4}}{4!}}+\cdots =\left(1-{\frac {y^{2}}{2!}}+{\frac {y^{4}}{4!}}-{\frac {y^{6}}{6!}}+\cdots \right)+i\left(y-{\frac {y^{3}}{3!}}+{\frac {y^{5}}{5!}}-\cdots \right).}$

В скобках получились известные из вещественного анализа ряды для косинуса и синуса, и мы получили формулу Эйлера:

${\displaystyle e^{z}=e^{x}e^{yi}=e^{x}(\cos y+i\sin y)}$

Общий случай ${\displaystyle a^{b}}$, где ${\displaystyle a,b}$ — комплексные числа, определяется через представление ${\displaystyle a}$ в показательной форме: ${\displaystyle a=re^{i(\theta +2\pi k)}}$ согласно определяющей формуле^[9]:

${\displaystyle a^{b}=(e^{\operatorname {Ln} (a)})^{b}=(e^{\operatorname {ln} (r)+i(\theta +2\pi k)})^{b}=e^{b(\operatorname {ln} (r)+i(\theta +2\pi k))}.}$

Здесь ${\displaystyle \operatorname {Ln} }$ — комплексный логарифм, ${\displaystyle \ln }$ — его главное значение.

При этом комплексный логарифм — многозначная функция, так что, вообще говоря, комплексная степень определена неоднозначно^[9]. Неучёт этого обстоятельства может привести к ошибкам. Пример: возведём известное тождество ${\displaystyle e^{2\pi i}=1}$ в степень ${\displaystyle i.}$ Слева получится ${\displaystyle e^{-2\pi },}$ справа, очевидно, 1. В итоге: ${\displaystyle e^{-2\pi }=1,}$ что, как легко проверить, неверно. Причина ошибки: возведение в степень ${\displaystyle i}$ даёт и слева, и справа бесконечное множество значений (при разных ${\displaystyle k}$), поэтому правило ${\displaystyle \left(a^{b}\right)^{c}=a^{bc}}$ здесь неприменимо. Аккуратное применение формул определения комплексной степени даёт слева и справа ${\displaystyle e^{-2\pi k};}$ отсюда видно, что корень ошибки — путаница значений этого выражения при ${\displaystyle k=0}$ и при ${\displaystyle k=1.}$

Степень как функция

Разновидности

Поскольку в выражении ${\displaystyle x^{y}}$ используются два символа (${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$), то его можно рассматривать как одну из трёх функций.

• Функция переменной ${\displaystyle x}$ (при этом ${\displaystyle y}$ — постоянная-параметр). Такая функция называется степенной. Обратная функция — извлечение корня.
• Функция переменной ${\displaystyle y}$ (при этом ${\displaystyle x}$ — постоянная-параметр). Такая функция называется показательной (частный случай — экспонента). Обратная функция — логарифм.
• Функция двух переменных ${\displaystyle f(x,y)=x^{y}.}$ Отметим, что в точке ${\displaystyle (0,0)}$ эта функция имеет неустранимый разрыв. В самом деле, вдоль положительного направления оси ${\displaystyle X,}$ где ${\displaystyle y=0,}$ она равна единице, а вдоль положительного направления оси ${\displaystyle Y,}$ где ${\displaystyle x=0,}$ она равна нулю.

Ноль в степени ноль

Основная статья: Ноль в нулевой степени

Выражение ${\displaystyle 0^{0}}$ (ноль в нулевой степени) многие учебники считают неопределённым и лишённым смысла, поскольку, как указано выше, функция ${\displaystyle f(x,y)=x^{y}}$ в точке (0, 0) разрывна. Некоторые авторы предлагают принять соглашение о том, что это выражение равно 1. В частности, тогда разложение в ряд экспоненты:

${\displaystyle e^{x}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{x^{n} \over n!}}$

можно записать короче:

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}.}$

Следует предостеречь, что соглашение ${\displaystyle 0^{0}=1}$ чисто символическое, и оно не может использоваться ни в алгебраических, ни в аналитических преобразованиях из-за разрывности функции в этой точке.

История

Обозначение

В Европе сначала степень величины записывали словесными сокращениями (q или Q обозначало квадрат, c или C — куб, bq или qq — биквадрат, то есть 4-я степень и т. д.) или как произведение — например, ${\displaystyle x^{4}}$ изображалось как ${\displaystyle xxxx.}$ Отред записывал ${\displaystyle x^{5}-15x^{4}}$ следующим образом: ${\displaystyle 1qc-15qq}$ (если неизвестная всего одна, ей часто не присваивался буквенный значок)^[10]. Немецкая школа коссистов для каждой степени неизвестной предлагала особый готический значок.

В XVII веке постепенно стала преобладать идея явно указывать показатель степени. Жирар (1629 год) для возведения в степень числа ставил показатель в круглых скобках перед этим числом, а если числа правее показателя не было, то это значило, что подразумевается наличие неизвестного в указанной степени^[11]; например, ${\displaystyle (2)2+1(2)}$ у него означало ${\displaystyle 2^{2}+x^{2}}$. Варианты размещения показателя степени предлагали Пьер Эригон и шотландский математик Джеймс Юм, они записывали ${\displaystyle x^{4}}$ в виде ${\displaystyle x4}$ и ${\displaystyle x^{IV}}$ соответственно^[12].

Современная запись показателя степени — правее и выше основания — введена Декартом в его «Геометрии» (1637), правда, только для натуральных степеней, больших 2 (возведение в квадрат ещё долгое время обозначалось по-старому, произведением). Позднее Валлис и Ньютон (1676) распространили декартову форму записи степени на отрицательные и дробные показатели, трактовка которых к этому времени уже была известна из трудов Орема, Шюке, Стевина, Жирара и самого Валлиса. К началу XVIII столетия альтернативы для записи степеней «по Декарту», как выразился Ньютон в «Универсальной арифметике», «вышли из моды» (out of fashion). Показательная функция, то есть возведение в переменную степень, появилась сначала в письмах, а потом и в трудах Лейбница (1679). Возведение в мнимую степень обосновал Эйлер (1743)^[12][13].

Запись возведения в степень в языках программирования

С появлением компьютеров и компьютерных программ возникла проблема, состоящая в том, что в тексте компьютерных программ невозможно записать степень в «двухэтажном» виде. В связи с этим изобрели особые значки для обозначения операции возведения в степень. Первым таким значком были две звёздочки: «**», используемые в языке Фортран. В появившемся несколько позже языке Алгол использовался значок стрелки: «↑» (стрелки Кну́та). Во второй редакции ASCII символ стрелки был заменён символом «циркумфлекс» (^, на жаргоне его также называют «шапочка» (hat) и «карет»). Разработчикам языков программирования было предложено использовать комбинацию из циркумфлекса и вертикальной черты, чтобы изобразить стрелку, однако такой вариант не получил распространения, и в этом качестве стали использовать просто символ циркумфлекса^[14]. Примеры:

3^2 = 9; 5^2 = 25; 2^3 = 8; 5^3 = 125.

Иногда в компьютерных системах и языках программирования значок возведения в степень имеет левую ассоциативность, в отличие от принятого в математике соглашения о правой ассоциативности возведения в степень. То есть некоторые языки программирования (например, программа Excel) могут воспринимать запись a^b^c, как (a^b)^c, тогда как другие системы и языки (например, Haskell, Perl, Wolfram|Alpha и многие другие) обработают эту запись справа налево: a^(b^c), как это принято в математике: ${\displaystyle a^{b^{c}}=a^{\left(b^{c}\right)}}$.

Некоторые знаки возведения в степень в языках программирования и компьютерных системах:

• x ↑ y: Алгол, некоторые диалекты Бейсика;
• x ^ y: Бейсик, J, MATLAB, R, Microsoft Excel, TeX, bc^{[К 2]}, Haskell^{[К 3]}, Lua, MathML и большинство систем компьютерной алгебры;
• x ^^ y: Haskell^{[К 4]}, D;
• x ** y: Ада, Bash, Кобол, Фортран, FoxPro, Gnuplot, OCaml, Perl, PL/I, PHP^{[К 5]}, Python, REXX, Ruby, SAS, Seed7, Tcl, ABAP, Haskell^{[К 6]}, Turing^[англ.], VHDL, ECMAScript^{[К 7][К 8]}, AutoHotkey^{[К 8]}, JavaScript;
• x⋆y: APL.

Во многих языках программирования (например, в Java, Си и Паскале) отсутствует операция возведения в степень, и для этой цели используют стандартные функции.

Вариации и обобщения

Возведение в степень с натуральным показателем можно определить не только для чисел, но и для нечисловых объектов, для которых определено умножение — например, к матрицам, линейным операторам, множествам (относительно декартова произведения, см. декартова степень).

Обычно эта операция рассматривается в некотором мультипликативном моноиде ${\displaystyle M}$ (полугруппе с единицей) и определяется индуктивно^[15] для любого ${\displaystyle x\in M}$:

• ${\displaystyle x^{0}=e}$ (где ${\displaystyle e}$ — единица моноида).
• ${\displaystyle x^{n+1}=x^{n}x}$, где ${\displaystyle n\geqslant 0}$
• Если ${\displaystyle n<0,}$ то ${\displaystyle x^{n}}$ определён только для обратимых элементов ${\displaystyle x.}$

Особенную ценность представляет применение возведения в степень к группам и полям, где возникает прямой аналог отрицательных степеней.

Гипероператор возведения в степень — тетрация.