Электромагнитный тензор энергии-импульса

В релятивистской физике электромагнитный тензор энергии-импульса является вкладом в тензор энергии-импульса обусловленный электромагнитным полем. ^[1] Тензор энергии-импульса описывает поток энергии и импульса в пространстве-времени. Электромагнитный тензор энергии-импульса содержит отрицательное значение классического тензора напряжений Максвелла, который регулирует электромагнитные взаимодействия.

Определение

В единицах СИ

В свободном пространстве и плоском пространстве-времени тензор электромагнитной энергии-импульса в единицах СИ равен ^[1]

${\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}\left[F^{\mu \alpha }F^{\nu }{}_{\alpha }-{\frac {1}{4}}\eta ^{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\right].}$

где ${\displaystyle F^{\mu \nu }}$ – электромагнитный тензор и где ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$ есть метрический тензор Минковского метрической сигнатуры (− + + +). При использовании метрики с сигнатурой (+ − − −) выражение справа от знака равенства будет иметь противоположный знак.

Явно в матричной форме:

${\displaystyle T^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)&{\frac {1}{c}}S_{\text{x}}&{\frac {1}{c}}S_{\text{y}}&{\frac {1}{c}}S_{\text{z}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{x}}&-\sigma _{\text{xx}}&-\sigma _{\text{xy}}&-\sigma _{\text{xz}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{y}}&-\sigma _{\text{yx}}&-\sigma _{\text{yy}}&-\sigma _{\text{yz}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{z}}&-\sigma _{\text{zx}}&-\sigma _{\text{zy}}&-\sigma _{\text{zz}}\end{bmatrix}},}$

где

${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} }$

— вектор Пойнтинга,

${\displaystyle \sigma _{ij}=\epsilon _{0}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)\delta _{ij}}$

– тензор напряжений Максвелла, c – скорость света. Таким образом, ${\displaystyle T^{\mu \nu }}$ выражается и измеряется в единицах давления СИ (паскалях).

Условные обозначения единиц СГС

Диэлектрическая проницаемость свободного пространства и магнитная проницаемость свободного пространства в единицах СГС-Гаусса равны

${\displaystyle \epsilon _{0}={\frac {1}{4\pi }},\quad \mu _{0}=4\pi ,}$

тогда:

${\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {1}{4\pi }}\left[F^{\mu \alpha }F^{\nu }{}_{\alpha }-{\frac {1}{4}}\eta ^{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\right].}$

и в явной матричной форме:

${\displaystyle T^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}{\frac {1}{8\pi }}\left(E^{2}+B^{2}\right)&{\frac {1}{c}}S_{\text{x}}&{\frac {1}{c}}S_{\text{y}}&{\frac {1}{c}}S_{\text{z}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{x}}&-\sigma _{\text{xx}}&-\sigma _{\text{xy}}&-\sigma _{\text{xz}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{y}}&-\sigma _{\text{yx}}&-\sigma _{\text{yy}}&-\sigma _{\text{yz}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{z}}&-\sigma _{\text{zx}}&-\sigma _{\text{zy}}&-\sigma _{\text{zz}}\end{bmatrix}},}$

где вектор Пойнтинга принимает вид:

${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {c}{4\pi }}\mathbf {E} \times \mathbf {B} .}$

Тензор энергии-импульса (ТЭИ) для электромагнитного поля в диэлектрической среде менее изучен.

Комментарий До последнего времени (2025 г.) в основном рассматривались два варианта ТЭИ ЭМ поля: релятивистский несимметричный тензор Минковского (1908 г.) и нерелятивистский симметричный тензор Абрахама (1909 г.). Однако первый не обеспечивает сохранения момента импульса свободного ЭМП, а второй не обеспечивает сохранения импульса свободного ЭМ поля. При этом большинство специалистов склонны считать правильным тензор Абрахама, объясняя несохранение импульса ЭМ поля наличием (сомнительной) распределенной силы Абрахама. В современных работах вместо названных тензоров предлагается новый корректный ТЭИ ЭМ поля.

Для корректного определения ТЭИ предлагается введение новых показателей напряженности ЭМ поля в виде двух векторов L и M, соответственно для электрической и магнитной составляющих поля^{[2] [3]}. В случае покоящейся среды указанные векторы отвечают выражениям ${\displaystyle \mathbf {L} ={\sqrt {\varepsilon }}\,\mathbf {E} }$ и ${\displaystyle \mathbf {M} ={\sqrt {\mu }}\,\mathbf {H} }$.

В релятивистском представлении используется антисимметричный тензор ${\displaystyle G^{ik}}$, образованный на основе указанных векторов L и M подобно тензору вакуумного ЭМ поля ${\displaystyle F^{ik}}$, образованному на основе векторов E и H. При этом уравнения ЭМ поля рассматриваются в модифицированном 4-пространстве, где обобщенная временная переменная ${\displaystyle \tau *=ct/{\sqrt {\varepsilon \mu }}}$. В то же время при переходе в подвижную ИСО используются известные преобразования Лоренца, где обобщенная временная переменная имеет привычный вид ${\displaystyle \tau =ct}$.

Тензор энергии-импульса ЭМ поля в релятивистском представлении имеет вид $${\displaystyle T_{ij}=-{\frac {1}{4\pi }}G_{i}^{k}G_{jk}+{\frac {\eta _{ij}}{16\pi }}G_{kl}G^{kl}.}$$ Компоненты тензора энергии-импульса в векторном L M представлении в случае однородной диэлектрической среды без дисперсии имеют вид $${\displaystyle T_{00}={\frac {1}{8\pi }}(L^{2}+M^{2}),}$$ $${\displaystyle T_{0\alpha }=T_{\alpha 0}=-{\frac {1}{4\pi }}(\mathbf {L} \times \mathbf {M} )_{\alpha },}$$ $${\displaystyle T_{\alpha \beta }=-{\frac {1}{4\pi }}(L_{\alpha }L_{\beta }+M_{\alpha }M_{\beta })+{\frac {\delta _{\alpha \beta }}{8\pi }}(L^{2}+M^{2}).}$$ Компоненты ТЭИ ЭМП в случае неподвижной однородной диэлектрической среды в векторном E H представлении имеют вид $${\displaystyle T_{00}={\frac {1}{8\pi }}(\varepsilon E^{2}+\mu H^{2}),}$$ $${\displaystyle T_{0\alpha }=T_{\alpha 0}=-{\frac {1}{4\pi }}{\sqrt {\varepsilon \mu }}\,(\mathbf {E} \times \mathbf {H} )_{\alpha }=-{\frac {\sqrt {\varepsilon \mu }}{c}}S_{\alpha },}$$ $${\displaystyle T_{\alpha \beta }=-{\frac {1}{4\pi }}(\varepsilon E_{\alpha }E_{\beta }+\mu H_{\alpha }H_{\beta })+{\frac {\delta _{\alpha \beta }}{8\pi }}(\varepsilon E^{2}+\mu H^{2}).}$$

Здесь ${\displaystyle S_{\alpha }}$ - компоненты вектора Пойтинга.

Выражения, справедливые для неподвижной среды, впервые были указаны для ${\displaystyle \mu =1}$ в 2010 г ^[4].

Элемент ${\displaystyle T^{\mu \nu }\!}$ тензора энергии-импульса представляет собой поток µ-й компоненты четырёхимпульса электромагнитного поля, ${\displaystyle P^{\mu }\!}$, проходящий через гиперплоскость (${\displaystyle x^{\nu }}$ является постоянным). Он представляет собой вклад электромагнетизма в источник гравитационного поля (искривление пространства-времени) в общей теории относительности.

Алгебраические свойства

Электромагнитный тензор энергии-импульса обладает несколькими алгебраическими свойствами:

• Он является симметричным тензором:$${\displaystyle T^{\mu \nu }=T^{\nu \mu }}$$

• Тензор ${\displaystyle T^{\nu }{}_{\alpha }}$ бесследен:$${\displaystyle T^{\alpha }{}_{\alpha }=0}$$

Доказательство

Начиная с $${\displaystyle T_{\mu }^{\mu }=\eta _{\mu \nu }T^{\mu \nu },}$$

используем явную форму тензора, $${\displaystyle T_{\mu }^{\mu }={\frac {1}{4\pi }}\left[\eta _{\mu \nu }F^{\mu \alpha }F^{\nu }{}_{\alpha }-\eta _{\mu \nu }\eta ^{\mu \nu }{\frac {1}{4}}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }\right].}$$

Снижение индексов и использование того, что ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }\eta _{\mu \nu }=\delta _{\mu }^{\mu }}$ $${\displaystyle T_{\mu }^{\mu }={\frac {1}{4\pi }}\left[F^{\mu \alpha }F_{\mu \alpha }-\delta _{\mu }^{\mu }{\frac {1}{4}}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }\right].}$$

Затем, используя ${\displaystyle \delta _{\mu }^{\mu }=4}$, $${\displaystyle T_{\mu }^{\mu }={\frac {1}{4\pi }}\left[F^{\mu \alpha }F_{\mu \alpha }-F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }\right].}$$

Обратите внимание, что в первом выражении μ, α и просто фиктивные индексы, поэтому мы переименовываем их в α и β, соответственно. $${\displaystyle T_{\alpha }^{\alpha }={\frac {1}{4\pi }}\left[F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }-F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }\right]=0.}$$

• Плотность энергии положительно-определённая:$${\displaystyle T^{00}\geq 0}$$

Симметрия тензора такая же, как у общего тензора энергии-импульса в общей теории относительности. След тензора энергии-импульса есть скаляр Лоренца; электромагнитное поле (и, в частности, электромагнитные волны) не имеет лоренц-инвариантной энергетической шкалы, поэтому его тензор энергии-импульса должен иметь исчезающий след. Эта бесследность в конечном счёте связана с безмассовостью фотона . ^[5]

Законы сохранения

Электромагнитный тензор энергии-импульса позволяет компактно записать законы сохранения линейного количества движения и энергии в электромагнетизме. Дивергенция тензора энергии-импульса:

${\displaystyle \partial _{\nu }T^{\mu \nu }+\eta ^{\mu \rho }\,f_{\rho }=0,}$

где ${\displaystyle f_{\rho }}$ - (4D) сила Лоренца на единицу объема вещества .

Это уравнение эквивалентно следующим трёхмерным законам сохранения

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial u_{\mathrm {em} }}{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {S} +\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} &=0,\\{\frac {\partial \mathbf {p} _{\mathrm {em} }}{\partial t}}-\mathbf {\nabla } \cdot \sigma +\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} &=0\ \Leftrightarrow \ \epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}-\nabla \cdot \mathbf {\sigma } +\mathbf {f} =0,\end{aligned}}}$

соответственно, описывая поток плотности электромагнитной энергии

${\displaystyle u_{\mathrm {em} }={\frac {\epsilon _{0}}{2}}E^{2}+{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\,}$

и плотность электромагнитного импульса

${\displaystyle \mathbf {p} _{\mathrm {em} }={\mathbf {S} \over {c^{2}}},}$

где J — плотность электрического тока, ρ — плотность электрического заряда, ${\displaystyle \mathbf {f} }$ - плотность силы Лоренца.

См. также

• Исчисление Риччи
• Ковариантная формулировка классического электромагнетизма
• Математические описания электромагнитного поля
• Уравнения Максвелла
• Уравнения Максвелла в искривлённом пространстве-времени
• Общая теория относительности
• Уравнения поля Эйнштейна
• Магнитогидродинамика
• Векторное исчисление