Prisekani oktaeder

Prisekani oktaeder je v geometriji konveksni polieder. Je arhimedsko telo, eno od trinajstih konveksnih izogonalnih neprizmatičnih teles skonstruirano z dvema ali več vrstami pravilnih mnogokotniških stranskih ploskev.

Prisekani oktaeder
(animacija)
vrsta	arhimedsko telo uniformni polieder
Elementi	F = 14, E = 36, V =24 (χ = 2)
stranske ploskve na stran	6{4} + 8{6}
Conwayjev zapis	tO bT
Schläflijevi simboli	t{3,4} tr{3,3} ali ${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}}$
	t0,1{3,4} ali t0,1,2{3,3}
Wythoffov simbol	2 4 | 3 3 3 2 |
Coxeter-Dinkinov diagram
simetrija	Oh, B3, [4,3], (*432), red 48 Th, [3,3] in (*332), red 24
vrtilna grupa	O, [4,3]+, (432), red 24
diedrski kot	4-6: cos(-1/√3) = 125º 15′ 51″ 6-6: cos(-1/3) = 109º 28′ 16″
sklici	U08, C20, W7
značilnosti	konveksen polpravilen zonoeder paraleloeder permutaeder
obarvane stranske ploskve	4.6.6 (slika oglišč)
tetrakisni heksaeder (dualni polieder)	mreža telesa

Ima štirinajst pravilnih stranskih ploskev, od tega šest kvadratnih in osem šestkotniških, ter 36 robov in 24 oglišč. Vsaka izmed stranskih ploskev ima točkovno simetrijo in je tako prisekani oktaeder ali zonoeder.

Če ima prvotni prisekani oktaeder enotski rob (rob z dolžino 1), ima njegov dualni tetrakisni heksaeder rob z dolžino ${\displaystyle {\tfrac {9}{8}}\scriptstyle {\sqrt {2}}}$ in ${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}\scriptstyle {\sqrt {2}}}$.

Konstrukcija

Prisekani oktaeder se lahko konstruira iz pravilnega oktaedra, ki ima dolžino stranice 3a, tako, da se odstrani šest kvadratnih piramid s pravimi koti, po eno za vsako oglišče. Te piramide imajo dolžino stranice a in stransko dolžino e pri a. Tako tvorijo enakostranične trikotnike. Ploščina osnovnice je a². Ta oblika je podobna polovici oktaedra Johnsonovega telesa J₁.

Iz značilnosti kvadratne piramide se lahko najde poševno višino s in višino piramide h:

${\displaystyle h={\sqrt {e^{2}-{\frac {1}{2}}a^{2}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}a\!\,,}$

${\displaystyle s={\sqrt {h^{2}+{\frac {1}{4}}a^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}a^{2}+{\frac {1}{4}}a^{2}}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}a\!\,.}$

Prostornina piramide je dana z V:

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}a^{2}h={\frac {\sqrt {2}}{6}}a^{3}\!\,.}$

Ker se je odstranilo šest piramid, se s tem izgubi prostornino ${\displaystyle \scriptstyle {{\sqrt {2}}a^{3}}}$.

Kartezične koordinate in permutoeder

Vse permutacije vrednosti (0, ±1, ±2) so kartezične koordinate oglišč prisekanega oktaedra z dolžino roba a = √ 2, ki leži v izhodišču. Oglišča so tako vogali 12 pravokotnikov, ki imajo daljše robove vzporedne s koordinatnimi osmi.

Vektorji na robovih imajo kartezične koordinate (0, ±1,±1) in njihove permutacije. Pravokotnice na stranske ploskve za šest kvadratnih stranskih ploskev so (0,0, ±1), (0, ±1, 0) in (±1,0,0). Pravokotnice na stranske ploskve za 8 šestkotniških stranskih ploskev je (±1/ 3√3, ±1/ 3√3,±1/ 3√3). Skalarni produkt dveh normal na stranske ploskve je enak kosinusu diedrskega kota med sosednjima stranskima ploskvama. To pa je -1/3 ali -1/3√3 Diedrski kot je približno 1,910633 radianov (to je 109,471 °) za robove med dvema šestkotnikoma in 2,186276 radianov (to je 125,263 °)

Prisekani oktaeder se lahko prikaže tudi z mnogo bolj simetričnimi koordinatami v štirih razsežnostih. Vse permutacije vrednosti (1, 2, 3, 4) tvorijo oglišča prisekanega oktaedra v trirazsežnem prostoru x + y + z + w = 10. To pa pomeni, da je prisekani oktaeder permutoeder reda 4.

Površina in prostornina

Površina P in prostornina V prisekanega oktaedra z dolžino roba a sta:

${\displaystyle P=(6+12{\sqrt {3}})a^{2}\approx 26,7846097a^{2}\!\,,}$

${\displaystyle V=8{\sqrt {2}}a^{3}\approx 11,3137085a^{3}\!\,.}$

Pravokotne projekcije

Prisekani oktaeder ima pet posebnih pravokotnih projekcij usrediščenih na oglišče, dve vrsti robov in dve vrsti stranskih ploskev (šestkotniki in kvadrati). Zadnji dve odgovarjata Coxeterjevima ravninama B₂ in A₂.

pravokotne projekcije

usrediščeno na	oglišče	rob 4-6	rob 6-6	stransko ploskev – kvadrat	stransko ploskev – šestkotnik
prisekani oktaeder
projektivna simetrija	[2]	[2]	[2]	[4]	[6]
tetrakisni heksaeder

Uniformno barvanje

Obstajata dve uniformni barvanji, eno s tetraedrsko, drugo pa z oktaedrsko simetrijo:

oktaedrska simetrija	tetraedrska simetrija (omniprisekani tetraeder)
barvanje 122 Wythoffov simbol: 2 4 | 3	barvanje 123 Wythoffov simbol: 3 3 2 |

Sorodni poliedri in tlakovanja

Družina uniformnih oktaederskih poliedrov

{4,3}	t0,1{4,3}	t1{4,3}	t0,1{3,4}	{3,4}	t0,2{4,3}	t0,1,2{4,3}	{4,3}	h0{4,3}	h1,2{4,3}

Družina uniformnih tetraedrskih poliedrov

{3,3}	t0,1{3,3}	t1{3,3}	t1,2{3,3}	t2{3,3}	t0,2{3,3}	t0,1,2{3,3}	s{3,3}

simetrija	sferna				ravninska	hiperbolična
	*232 [2,3] D3h	*332 [3,3] Td	*432 [4,3] Oh	*532 [5,3] Ih	*632 [6,3] P6m	*732 [7,3]	*832 [8,3]	*∞32 [∞,3]
red	12	24	48	120	∞
omniprisekana oblika	4.6.4	4.6.6	4.6.8	4.6.10	4.6.12	4.6.14	4.6.16	4.6.∞
Coxeter Schläfli	t0,1,2{2,3}	t0,1,2{3,3}	t0,1,2{4,3}	t0,1,2{5,3}	t0,1,2{6,3}	t0,1,2{7,3}	t0,1,2{8,3}	t0,1,2{∞,3}
omniprisekani duali	V4.6.4	V4.6.6	V4.6.8	V4.6.10	V4.6.12	V4.6.14	V4.6.16	V4.6.∞
Coxeter

Ta polieder se lahko obravnava kot član uniformnih vzorcev s sliko oglišča (4.6.2p) in s Coxeter-Dinkinovim diagramom . Za p < 6 so člani zaporedja omniprisekani poliedri (zonoedri), ki so spodaj prikazani kot sferno tlakovanje. Za p > 6 je to tlakovanje hiperbolične ravnine, ki se prične s prisekano trojno sedemkotno tlakovanje.

simetrija	sferna				ravninska	hiperbolična...
	*232 [2,3] D3h	*332 [3,3] Td	*432 [4,3] Oh	*532 [5,3] Ih	*632 [6,3] P6m	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]
red	12	24	48	120	∞
prisekane oblike	2.6.6	3.6.6	4.6.6	5.6.6	6.6.6	7.6.6	8.6.6	3.4.∞.4
Coxeter Schläfli	t0,1{3,2}	t0,1{3,3}	t0,1{3,4}	t0,1{3,5}	t0,1{3,6}	t0,1{3,7}	t0,1{3,8}	t0,1{3,∞}
N-kisne oblike	V2.6.6	V3.6.6	V4.6.6	V5.6.6	V6.6.6	V7.6.6
Coxeter

Tlakovanja

Prisekani oktaeder obstaja v treh različnih oblikah konveksnih uniformnih satovij (v tlakovanjih, ki zapolnjujejo prostor).

Celično prehodno dvojno prisekano kubično satovje se lahko gleda tudi kot Voronojevo tlakovanje telesno centrirane kubične mreže. Prisekani oktaeder je eden izmed petih trirazsežnih osnovnih paraleloedrov

dvojno prisekana kubična	kantiprisekana kubična	prisekana alternirana kubična.

Glej tudi

• graf prisekanega oktaedra

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Truncated Octahedron«. MathWorld.
• Weisstein, Eric Wolfgang. »Permutohedron«. MathWorld.
• Trirazsežni konveksni uniformni poliedri (angleško)
• Mreža prisekanega oktaedra (angleško)