Prisekani kubooktaeder

Prisekani kubooktaeder je v geometriji konveksni polieder. Je arhimedsko telo, eno od trinajstih konveksnih izogonalnih neprizmatičnih teles skonstruirano z dvema ali več vrstami pravilnih mnogokotniških stranskih ploskev.

Prisekani kubooktaeder
(animacija)
vrsta	arhimedsko telo uniformni polieder
elementi	F = 26, E = 72, V = 4 8 (χ = 2)
stranske ploskve na stran	12{4} + 8{6} + 6{8}
Conwayjev zapis	bC ali taC
Schläflijevi simboli	tr{4,3} ali ${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$
	t0,1,2{4,3}
Wythoffov simbol	2 3 4 |
Coxeter-Dinkinov diagram
simetrija	Oh, B3, [4,3], (*432), red 48
vrtilna grupa	O, [4,3]+, (432), red 24
diedrski kot	4-6: arccos(-√6/3 = 144º 44′ 08″ 4-8: arccos(-√2/3) = 135º 6-8: arccos(-√3/3) = 125º 15′ 51″
sklici	U11, C23, W15
značilnosti	konveksen polpravilen zonoeder
obarvane stranske ploskve	4.6.8 (slika oglišč)
disdiakisni dodekaeder (dualni polieder)	mreža telesa

Ima šestindvajset pravilnih stranskih ploskev, od tega dvanajst kvadratnih, osem šestkotniških in šest osemkotniških, ter 72 robov in 48 oglišč. Ker ima vsaka stranska ploskev točkovno simetrijo, kar je enakovredno vrtilni simetriji, je to telo tudi zonoeder.

Druga imena

Izmenoma se uporabljajo tudi drugačna imena za prisekani kubooktaeder:

• rombiprisekani kubooktaeder ^[1]
• veliki rombikubooktaeder ^[2]
• veliki rombkubooktaeder ^[3]

Ime prisekani kubooktaeder je dal telesu nemški astrolog, astronom in matematik Johannes Kepler (1571–1630). To ime je malo zavajoče. Če se priseka kubooktaeder tako, da se odstrani oglišča, se ne dobi takšnega uniformnega telesa. Nekatere stranske ploskve bi bile pravokotniki. Rezultirajoče telo je topološko enakovredno prisekanemu kubooktaedru, ki se ga vedno lahko spremeni, dokler so stranske ploskve pravilne.

Drugo ime "veliki rombikubooktaeder" se nanaša na dejstvo, da 12 kvadratnih stranskih ploskev leži v istih ravninah kot stranske ploskve rombskega dodekaedra, 6 osemkotnih v istih ravninah kot stranske ploskve kocke, 8 šestkotnih pa v istih ravninah kot stranske ploskve oktaedra.

Ameriški matematik Norman Johson (*1930) je telo imenoval omniprisekana kocka ali kantiprisekana kocka.

Kartezične koordinate

Kartezične koordinate oglišč prisekanega kubooktaedra, ki ima dolžino roba 2 in leži v izhodišču, so vse permutacije vrednosti:

(±1, ±(1+√2), ±(1+2√2)).

Površina in prostornina

Površina P in prostornina V prisekanega oktaedra z dolžino roba a sta:

${\displaystyle P=12(2+{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})a^{2}\approx 61,7551724a^{2}\!\,,}$

${\displaystyle V=(22+14{\sqrt {2}})a^{3}\approx 41,7989899a^{3}\!\,.}$

Oglišča

Da se poišče število oglišč, je pomembno to, da je vsako oglišče stičišče kvadrata, šestkotnika in osemkotnika.

Dualno telo

Uniformna barvanja

Obstaja samo ena oblika uniformnega barvanja stranskih ploskev tega poliedra. To vključuje po eno barvo za vsako stransko ploskev.

2-uniformno barvanje tudi obstaja z izmenoma obarvanimi šestkotniki.

Pravokotne projekcije

Prisekani kubooktaeder ima dva posebni pravokotni projekciji v Coxeterjevih ravninah A₂ in B₂ s projektivno simetrijo [6] in [8]. Številne simetrije se lahko konstruira iz različnih projektivnih ravnin v odvisnosti od elementov poliedrov.

Pravokotne projekcije

usrediščeno na	oglišče	rob 4-6	rob 4-8	rob 6-8	pravokotnico na stransko ploskev 4-6
slika
projektivna simetrija	[2]+	[2]	[2]	[2]	[2]
disdiakisni dodekaeder
usrediščeno na	pravokotnico na stransko ploskev – kvadrat	pravokotnico na stransko ploskev – osemkotnik	stransko ploskev – kvadrat	stransko ploskev – šestkotnik	stransko ploskev – osemkotnik
slika
projektivna simetrija	[2]	[2]	[2]	[6]	[8]
disdiakisni dodekaeder

Sorodni poliedri in tlakovanja

Vsak prisekani kubooktaeder je eden izmed članov družine uniformnih poliedrov, ki so sorodni kocki in pravilnemu oktaedru.

Družina uniformnih oktaederskih poliedrov

{4,3}	t0,1{4,3}	t1{4,3}	t0,1{3,4}	{3,4}	t0,2{4,3}	t0,1,2{4,3}	{4,3}	h0{4,3}	h1,2{4,3}

Ta polieder se lahko obravnava kot zaporedje uniformnih vzorcev, ki imajo sliko oglišč (4.6.2p) ter Coxeter-Dinkinov diagram . Za p < 6 so člani zaporedja omniprisekani poliedri (zonoedri), ki so prikazani spodaj kot sferno tlakovanje. Za p > 6 so to tlakovanja hiperbolične ravnine, ki se prične s trisedemkotnim tlakovanjem.

simetrija	sferna				ravninska	hiperbolična
	*232 [2,3] D3h	*332 [3,3] Td	*432 [4,3] Oh	*532 [5,3] Ih	*632 [6,3] P6m	*732 [7,3]	*832 [8,3]	*∞32 [∞,3]
red	12	24	48	120	∞
omniprisekana oblika	4.6.4	4.6.6	4.6.8	4.6.10	4.6.12	4.6.14	4.6.16	4.6.∞
Coxeter Schläfli	t0,1,2{2,3}	t0,1,2{3,3}	t0,1,2{4,3}	t0,1,2{5,3}	t0,1,2{6,3}	t0,1,2{7,3}	t0,1,2{8,3}	t0,1,2{∞,3}
omniprisekani duali	V4.6.4	V4.6.6	V4.6.8	V4.6.10	V4.6.12	V4.6.14	V4.6.16	V4.6.∞
Coxeter

Glej tudi

• graf prisekanega kubooktaedra
• kocka
• kubooktaeder
• oktaeder
• prisekani ikozidodekaeder
• prisekani oktaeder - prisekani tetraeder