Termin „harmonici” potiče od starogrčke reči , sa značenjem „vešt u muzici”.[1] U fizičkim problemima sopstvenih vrednosti, ovaj termin je počeo da označava talase čije su frekvencije celobrojni umnošci jedan drugog, kao što su frekvencije harmonika muzičkih nota, mada je taj pojam generalizovan izvan početnog značenja.
Klasična Furijeova transformacija na je još uvek oblast tekućih istraživanja, posebno u pogledu Furijeove transformacije na generalnijim objektima kao što su modifikovane raspodele. Na primer, ako se uslove izvesni zahtevi na distribuciju , može se pokušati da se oni transliraju u smislu Furijeove transformacije . Primer toga je Pali-Vinerova teorema. Ona neposredno podrazumeva da ako je nenulta raspodela kompaktnih nosaćih funkcija, onda njena Furijeova transformacija nikada nije kompaktno podržana. Ovo je vrlo elementarni oblik principa neodređenosti u okruženju harmonijske analize. Takođe pogledajte: konvergenciju Furijeove serije.
Mnoge primene harmonijske analize u nauci i inženjerstvu počinju idejom ili hipotezom da je fenomen ili signal sastavljen od sume pojedinačnih oscilatornih komponenti. Okeanska plima i vibrirajuće strune uobičajeni su i jednostavni primeri. Uobičajen teoretski pristup je da pokuša da se opiše sistem diferencijalnom jednačinom ili sistemom jednačina da bi se predvidele suštinske karakteristike, uključujući amplitudu, frekvenciju i faze oscilacionih komponenti. Specifične jednačine zavise od polja, mada teorije uglavnom pokušavaju da odaberu jednačine koje predstavljaju glavne primenljive principe.
Eksperimentalni pristup se obično sastoji od prikupljanja podataka koji tačno kvantifikuju fenomen. Na primer, u istraživanju plima, eksperimentalista bi pribavio podatke o dubini vode kao funkcije vremena u dovoljno blisko razmaknutim intervalima da se vidi svaka oscilacija i tokom dovoljno dugog perioda da su obuhvaćeni višestruki oscilacioni periodi. U izučavanju vibrirajućih struna, uobičajeno je da eksperimentalista pribavi uzorke zvučnih talasnih formi uzorkovane brzinom koja je najmanje dvostruko veća od najviše očekivane frekvencije i u trajanju mnogo puta većem od očekivane najniže frekvencije.
Na primer, gornji signal prikazan sa desne strane je zvučni talasni oblik bas-gitare koja je svirana otvorenom žicom i koja odgovara A noti sa osnovnom frekvencijom od 55 . Talasni oblik izgleda oscilatorno, ali je složeniji od jednostavnog sinusnog talasa, što ukazuje na prisustvo dodatnih talasa. Različite talasne komponente koje doprinose zvuku mogu se otkriti primenom tehnike matematičke analize poznate kao Furijeova transformacija, čiji je rezultat prikazan na donjoj slici. Uočljivo je da postoji istaknuti pik na 55 , kao i da postoje i drugi pikovi na 110 , 165 i na drugim frekvencijama koje odgovaraju celobrojnim umnošcima od 55 . U ovom slučaju je 55 identifikovano kao osnovna frekvencija vibracije niza, a celobrojni umnošci su poznati kao harmonici.
Jedna od najmodernijih grana harmonijske analize, koji koreni su formirani sredinom 20. veka, jeste analizatopoloških grupa. Osnovne motivišuće ideje su razne Furijeove transformacije, koje se mogu generalizovati do transformacije funkcija definisanih na Hausdorfovim lokalno kompaktnim topološkim grupama.
Teorija za abelove lokalno kompaktne grupe naziva se Pontrjaginova dualnost. Harmonijska analiza proučava svojstva te dualnosti i Furijeove transformacije i pokušava da proširi te karakteristike na različita podešavanja, na primer na slučaj neabelovskih Lijevih grupa.
Za opšte neabelovske lokalno kompaktne grupe, harmonijska analiza je usko povezana sa teorijom reprezentacija unitarnih grupa. Za kompaktne grupe, Peter-Vajlova teorema objašnjava kako se mogu dobiti harmonici odabirom jednog nereducibilnog prikaza iz svake ekvivalentne klase reprezentacija. Ovaj izbor harmonika ima neka od korisnih svojstava klasične Furijeove transformacije u smislu prenošenja konvolucija do tačno određenih proizvoda, ili na neki drugi način pokazuje određeno razumevanje ishodišne strukture grupa. Takođe pogledajte nekomutativnu harmonijsku analizu.
Ako grupa nije ni abelovska, ni kompaktna, za sada nije poznata opšte zadovoljavajuća teorija („zadovoljavajuća” u smislu da je barem jaka, koliko i Planšerelova teorema). Međutim, analizirani su mnogi konkretni slučajevi, na primer . U ovom slučaju reprezentacije u beskonačnim dimenzijama igraju presudnu ulogu.
Harmonijska analiza na Euklidskim prostorima bavi se svojstvima Furijeove transformacije na koja nemaju analoge na opštim grupama. Na primer, činjenica da je Furijeova transformacija rotaciono-invarijantna. Dekompozicija Furijeove transformacije u njene radijalne i sferne komponente dovodi do tema kao što su Beselove funkcije i sferni harmonici.
Harmonijska analiza na cevnim domenima bavi se uopštavanjem svojstava Hardijevih prostora na više dimenzije.
Elias Stein with Timothy S. Murphy, Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals, Princeton University Press, 1993.
Elias Stein, Topics in Harmonic Analysis Related to the Littlewood-Paley Theory, Princeton University Press, 1970.
Yitzhak Katznelson, An introduction to harmonic analysis, Third edition. Cambridge University Press, 2004. 0-521-83829-0; 0-521-54359-2
Terence Tao, Fourier Transform. (Introduces the decomposition of functions into odd + even parts as a harmonic decomposition over ℤ₂.)
Yurii I. Lyubich. Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups. Translated from the 1985 Russian-language edition (Kharkov, Ukraine). Birkhäuser Verlag. 1988.
Knuth, Donald E. (1997). The Art of Computer Programming Volume 2: Seminumerical Algorithms (3rd изд.). Addison-Wesley Professional. Section 4.3.3.C: Discrete Fourier transforms, pg.305. ISBN978-0-201-89684-8.
Clozel, Laurent; Delorme, Patrice (1985), „Sur le théorème de Paley-Wiener invariant pour les groupes de Lie réductifs réels”, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I, 300: 331—333
Hewitt, Edwin; Ross, Kenneth A. (1970), Abstract harmonic analysis, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 152, Vol. II: Structure and analysis for compact groups. Analysis on locally compact Abelian groups, Springer, MR0262773
Hörmander, L. (1976), Linear Partial Differential Operators, Vol. 1, Springer, ISBN978-3-540-00662-6
Paley, R.E.A.C.; Wiener, Norbert (1934), Fourier Transforms in the Complex Domain, American Mathematical Society Colloquium Publications (19), Providence, Rhode Island: American Mathematical Society
Press, William H.; Flannery, Brian P.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T. (1992), Numerical Recipes in C: The Art of Scientific Computing, Second Edition (2nd изд.), Cambridge University Press
Rudin, Walter (1987), Real and Complex Analysis (3rd изд.), Singapore: McGraw Hill, ISBN978-0-07-100276-9
Simonen, P.; Olkkonen, H. (1985), „Fast method for computing the Fourier integral transform via Simpson's numerical integration”, Journal of Biomedical Engineering, 7 (4): 337—340, doi:10.1016/0141-5425(85)90067-6
Wiener, Norbert (1949), Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series With Engineering Applications, Cambridge, Mass.: Technology Press and John Wiley & Sons and Chapman & Hall
Wilson, R. G. (1995), Fourier Series and Optical Transform Techniques in Contemporary Optics, New York: Wiley, ISBN978-0-471-30357-2