ஸ்டெயினர் உள்நீள்வட்டம்

வடிவவியலில் ஒரு முக்கோணத்தின் ஸ்டெயினர் உள்நீள்வட்டம் (Steiner inellipse),^[1][2] என்பது அம்முக்கோணத்தினுள் முக்கோணத்தின் பக்கங்களை, அவற்றின் நடுப்புள்ளிகளில் தொட்டவாறு வரையப்படும் தனித்த நீள்வட்டமாகும். இந்நீள்வட்டமானது, நடுப்புள்ளி உள்நீள்வட்டம் அல்லது நடுப்புள்ளி நீள்வட்டம் என்றும் அழைக்கப்படும். இந்நீள்வட்டம் ஒரு உட்கூம்புவெட்டாகும்.

ஸ்டெயினர் உள்நீள்வட்டம்

உள்வட்டமும், மான்டார்ட் உள்நீள்வட்டமும் முக்கோணத்தின் உட்கூம்புவெட்டுகள். ஆனால் சமபக்க முக்கோணங்களைத் தவிர ஏனைய முக்கோணங்களில் இவற்றின் தொடுபுள்ளிகள் முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகள் அல்ல. ஸ்டெயினர் நீள்வட்டத்தின் தனித்தன்மையை கணிதவியலாளர் கல்மான் நிறுவியுள்ளார்.^[3]

முக்கோணத்தின் வெளிப்புறமாக அதன் உச்சிகளின் வழியே செல்லுமாறு வரைப்படும் தனித்த நீள்வட்டம் ஸ்டெயினர் சுற்றுநீள்வட்டமாகும். வெளிநீள்வட்டத்தின் மையமானது முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டுச்சந்தியாக இருக்கும்..^[4]

முந்நேரியல் சமன்பாடு

a, b, c பக்க நீளங்கள் கொண்ட முக்கோணத்தின் முந்நேரியல் சமன்பாடு:^[1]

${\displaystyle a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}+c^{2}z^{2}-2abxy-2bcyz-2cazx=0}$

பண்புகள்

ஒரு முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டுச்சந்தியே அம்முக்கோணத்தின் ஸ்டெயினர் உள்நீள்வட்டத்தின் மையமாக இருக்கும்^[1][5]. ஸ்டெயினர் உள்நீள்வட்டம் மட்டுமே அம்முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டுச்சந்தியை மையமாகக் கொண்ட ஒரேயொரு உள்நீள்வட்டமாக இருக்கும். ^[5]:p.142

ஒரு முக்கோணத்தின் உள்நீள்வட்டங்களிலேயே அதிகபட்சப் பரப்பளவு கொண்டது ஸ்டெயினர் நீள்வட்டமாகும். அதன் பரப்பளவு முக்கோணத்தின் பரப்பளவைப்போல ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}}$ மடங்காகும்.^{[5]:p.146 [6]:Corollary 4.2}. இப்பரப்பளவானது ஸ்டெயினர் வெளிநீள்வட்டத்தின் பரப்பளவில் நான்கில் ஒரு பங்காகும்.

ஒரு முக்கோணத்தினுள் வரையப்படும் உள்நீள்வட்டங்களிலேயே முக்கோணத்தின் பக்கங்களை அவற்றின் நடுப்புள்ளிகளில் தொடுகின்ற உள்நீள்வட்டம் ஸ்டெயினர் உள்நீள்வட்டம் மட்டுமே.^[5]

ஒரு முக்கோணத்தின் ஸ்டெயினர் உள்நீள்வட்டம் அம்முக்கோணத்தின் நடுப்புள்ளி முக்கோணத்தின் ஸ்டெயினர் வெளிநீள்வட்டமாக இருக்கும்.

முக்கோணத்தின் பக்க நீளங்கள் a, b, c எனில் ஸ்டெயினர் உள்நீள்வட்டத்தின் அரை-நெட்டச்சு, அரைச்-சிற்றச்சின் நீளங்கள் முறையே^[1]:

${\displaystyle {\frac {1}{6}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}\pm 2Z}},}$

இதில்,

${\displaystyle Z={\sqrt {a^{4}+b^{4}+c^{4}-a^{2}b^{2}-b^{2}c^{2}-c^{2}a^{2}}}.}$

முக்கோணத்தின் மூன்று உச்சிகளும் ஒரு முப்படிப் பல்லுறுப்புக்கோவையின் சிக்கலெண் தீர்வுகளாக இருந்தால், அம்முக்கோணத்தின் ஸ்டெயினர் உள்நீள்வட்டத்தின் குவியமானது அந்தப் பல்லுறுக்கோவையின் வகைக்கெழுப் பல்லுறுப்புக்கோவையின் தீர்வுகளாக இருக்கும்.

G, F₊, F₋ மூன்றும் முறையே முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டுச்சந்தி, முதல், இரண்டாவது பெர்மா புள்ளிகள் எனில்:

∠F₊GF₋ கோணத்தின் உட்கோண இருசமவெட்டியாக ஸ்டெயினர் உள்நீள்வட்டத்தின் நெட்டச்சு அமையும். ஸ்டெயினர் உள்நீள்வட்டத்தின் நெட்டச்சு, சிற்றச்சின் நீளங்கள் முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டுச்சந்திக்கும் இரு பெர்மா புள்ளிகளுக்கும் இடைப்பட்ட தூரங்களின் கூடுதலாகவும் வித்தியாசமாகவும் இருக்கும்^{[7]:Thm. 1}.

|GF₋| ± |GF₊|

ஸ்டெயினர் உள்நீள்வட்டத்தின் இரு அச்சுகளும் முக்கோணத்தின் பக்கங்களைத் தொடுமாறு வரையப்பட்ட தனித்த பரவளையமான கீப்பெர்ட் பரவளையத்திற்குத் தொடுகோடுகளாகவும் முக்கோணத்தின் ஆய்லர் கோடு அப்பரவளையத்தின் இயக்குவரையாகவும் அமைகின்றன.^{[7]:Thm. 3}

ABC முக்கோணத்தினுள் வரையப்பட்ட ஏதேனுமொரு உள்நீள்வட்டத்தின் குவியங்கள் P , Q எனில்:^[8]

${\displaystyle {\frac {{\overline {PA}}\cdot {\overline {QA}}}{{\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {PB}}\cdot {\overline {QB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac {{\overline {PC}}\cdot {\overline {QC}}}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1.}$

பொதுமைப்படுத்தல்

முக்கோணத்துக்குள் வரையப்படும் ஸ்டெயினர் உள்நீள்வட்டத்தை பலகோணங்களுக்கும் பொதுமைப்படுத்தலாம். சில பலகோணங்கள் (n-gons) அவற்றின் பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளைத் தொடுமாறு வரையப்பட்ட உள்நீள்வட்டங்களைக் கொண்டுள்ளன. அந்த உள்நீள்வட்டங்களின் குவியங்கள் அப்பலகோணத்தின் உச்சிகளைத் தீர்வுகளாகக் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவையின் வகைக்கெழுப் பல்லுறுப்புக்கோவையின் தீர்வுகளாக அமையும்.^[9]